2.4.4. Взаимные корреляции и взаимные спектральные плотности

Функция взаимной корреляции двух действительных случайных процессов определяется, по аналогии с определением автокорреляционной функции, как среднее произведения в два различных момента времени Если два процесса являются комплексными, то мы определяем взаимную функцию корреляции по формуле

Если совместно стационарны, то так же, как и является функцией только и можно обозначить эту функцию через Она удовлетворяет условию

которое можно легко получить из определения при помощи переноса начала отсчета. Однако для взаимной корреляционной функции не характерны многие интересные свойства автокорреляционной функции Например, в общем случае не имеет свойства характеристической функции.

Пусть множество различных совместно стационарных случайных процессов. Тогда

представляет собой -матрицу, известную как взаимная корреляционная матрица. Если все средние для равны нулю, то часто называют ковариационной матрицей множества случайных процессов. Нетрудно показать, что удовлетворяет условию неотрицательной определенности, которое похоже на условие (2.3.4) для автокорреляционной функции. Для получения этого условия заметим, что для произвольного множества моментов времени и для произвольного множества комплексных чисел

Вычисляя математическое ожидание обеих частей неравенства и используя уравнение (2.4.13), получим

По аналогии с определением (2.4.14) для спектральной плотности можно определить так называемую взаимную спектральную плотность (или взаимный спектр мощности) совместно стационарных случайных процессов по формуле

В этой формуле (обобщенный) образ Фурье от [см. (2.4.16)]. Формула (2.4.35) показывает, что (обобщенные) фурье-компоненты, принадлежащие различным частотам, некоррелированы. Взаимная спектральная плотность очевидно, представляет собой меру корреляций между флуктуациями разных компонент на одной и той же частоте. При взаимная спектральная плотность сводится к спектральной плотности, т.е.

где спектральная плотность случайного процесса

Используя тот же способ, который был использован при выводе уравнения (2.4.15), можно легко показать, что

т.е. функция взаимной спектральной плотности от есть фурье-образ от функции их взаимной корреляции. Выражение (2.4.37) вместе с обратным для него преобразованием Фурье

очевидно, можно рассматривать как обобщенную теорему Винера — Хинчина.

Отметим некоторые свойства взаимной спектральной плотности. также, как и представляет собой элемент -матрицы. Однако в отличие от эрмитова, так как из уравненний (2.4.32) и (2.4.37) следует, что

Несмотря на то, что, в отличие от спектральной плотности, взаимная спектральная плотность в общем случае не является действительной и положительной, можно показать, что имеет место следующее условие неотрицательной определенности для взаимной спектральной плотности, похожее на условие (2.4.34), а именно:

Здесь положительное целое, произвольные комплексные числа. Для доказательства этого неравенства (2.4.40) начнем с очевидного неравенства

где — любая заданная частота и произвольные числа. Из этого неравенства следует, что

Если поменять местами порядок усреднения, интегрирования и суммирования, то это неравенство можно переписать в виде

Далее подставим в это неравенство математическое ожидание (2.4.35) и выполним обычное интегрирование по переменной Тогда получим более простое неравенство

Поскольку произвольные неотрицательные величины при условии, что непрерывные функции от условие неотрицательной определенности (2.4.40) непосредственно следует из этой формулы.

В специальном случае, когда неравенство (2.4.40) вместе с уравнением (2.4.36) означают, что

т.е., как мы выяснили ранее, спектральная плотность является действительной и неотрицательной. Если взять то неравенство (2.4.40) и уравнение (2.4.44) означают, что детерминант

или, если также учесть эрмитовость определяемую уравнением (2.4.39), то

Можно определить нормированную функцию взаимной корреляции по формуле

которая будет иметь смысл коэффициента корреляции между величинами [см. (1.3.35)]. Этот коэффициент является нормированным, так что

Верхний предел, равный единице, достигается тогда, когда два процесса полностью коррелированы. В общем случае Обозначим фурье-образ от как

Эту величину иногда называют нормированной взаимной спектральной плотностью, несмотря на то, что она не нормируется естественным образом. Для задач, в которых случайный процесс имеет нулевое среднее, часто бывает полезна другая нормированная функция взаимной спектральной плотности. Она нормируется так же, как корреляционный коэффициент [см. (1.3.35)] и задается (Wolf, 1982, 1986; см. также Carter and Wolf, 1975; Wolf and Carter, 1975, 1976; Mandel and Wolf, 1976, 1981) формулой

или, при помощи выражения (2.4.36),

измеряет степень корреляции между двумя фурье-компонентами от на частоте и. Из неравенства (2.4.45) следует, что

Нормированные функции корреляции и спектральной плотности будут обсуждаться более детально в контексте оптики (см. разд. 4.3 ниже).