10.6.2. Разложение полного момента количества движения

Из классической электродинамики известно, что полный момент количества движения поля всегда может быть представлен в виде суммы двух слагаемых, одно из которых представляет собой орбитальную, а другое — собственную составляющую полного момента количества движения (ср., например, Gottfried, 1966 и Jackson, 1975). Чтобы осуществить классическое разложение, запишем сначала компоненту вектора Пойнтинга в виде

Расписывая тройное векторное произведение и учитывая, что можно переписать это выражение следующим образом

подразумевая суммирование по повторяющимся индексам. Воспользовавшись полностью антисимметричным тензором для записи компонент векторного произведения, получим

Учитывая, что получим

Выражение (10.6.1) для полного момента количества движения можно, следовательно, записать в виде

где мы использовали теорему Гаусса для превращения второго интеграла по объему в интеграл по поверхности нормировочного куба с ребром В пределе достаточно больших для электромагнитного поля полностью локализованного внутри куба, поверхностным членом часто пренебрегают, и полный момент количества движения разлагается на две составляющие

где

и

Составляющая не зависит от о или от выбора начала координат и, таким образом, представляет собой собственный или спиновый момент количества движения электромагнитного поля. Составляющая зависит от выбора и содержит хорошо знакомый дифференциальный оператор ассоциирующийся с моментом количества движения относительно следовательно, представляет собой орбитальный момент количества движения поля. Сравнение выражений (10.6.1) и (10.6.11а) показывает, что орбитальный момент количества движения всегда можно представить в виде

В случае квантованного электромагнитного поля мы аналогичным образом можем разложить полный момент количества движения. Определим соответствующие эрмитовы операторы спинового и орбитального моментов количества движения с помощью симметризованных выражений

и

где

Мы пренебрегли вкладом интеграла по поверхности в по тем же причинам, что и раннее, при рассмотрении так как этот член может быть записан в виде нормально упорядоченного оператора, среднее значение которого обращается в нуль для любого состояния, в котором возбуждения поля локализованы внутри нормировочного куба. Длина стороны этого куба в конечном счете, полагается стремящейся к бесконечности.