18.8. Нестабильности лазера и хаос

В предыдущих параграфах мы исследовали различные свойства лазерного поля, как классически, так и квантово-механически. Квантовое рассмотрение автоматически включает флуктуации и вводит в описание

Рис. 18.33. Теоретическая зависимость , (обозначенная здесь через от (обозначенные здесь через а — ниже порога (параметр накачки равен —1) и б - выше порога (параметр накачки равен 3) (Cantrell, Lax and Smith, 1973a)

Рис. 18.34. Нормированная корреляционная функция интенсивности треьего порядка (обозначена здесь через параметр накачки равен —2; б - параметр накачки равен 2.8. Точки — экспериментальные значения, кривые — результаты теоретического расчета. (Из работы Corti and Degiorgio, 1974)

стохастические свойства. Иногда эти статистические свойства моделируются полуклассически посредством искусственного введения ланжевеновских сил в уравнения движения, но их происхождение, тем не менее, является квантово-механическим. Мы видели, что в отсутствии квантовых эффектов поведение лазера является детерминированным, и что стационарное состояние всегда достигается по истечении достаточно большого промежутка времени.

Однако было обнаружено, что даже когда лазер рассматривается полу классически при помощи детерминированных уравнений, последние допускают квазипериодическое или даже хаотическое поведение, но это не имеет ничего общего с квантовыми флуктуациями (Uspenskii, 1963; Buley and Cummings, 1964; Risken and Nummendal, 1968a, b). Вместо этого поведение лазера напоминает турбулентность, которая моделируется классическими уравнениями динамики жидкости (Lorenz, 1963; Haken, 1975а, b, 1985). Однако, для получения этих особенностей необходимо выйти за рамки некоторых упрощающих приближений, использованых в полуклассическом рассмотрении в разд. 18.2. В частности, нужно избежать адиабатического исключения атомных переменных, позволяющего связать среднее значение атомного дипольного момента в момент с электрическим полем в тот же момент времени, если поле изменяется относительно медленно Чтобы продемонстрировать возможность хаотического поведения, будем исходить из связанной системы уравнений движения для системы одинаковых двухуровневых атомов, резонансно взаимодействующих с одномодовым полем лазерного резонатора. Уравнением движения для амплитуды в приближении вращающейся волны опять является уравнение (18.2.13). Для упрощения вычислений

будем полагать, что поле представляет собой бегущую плоскую волну и задается модовой функцией

в резонаторе длиной и площадью поперечного сечения А, а атомная плотность постоянна. Как и прежде, атомная поляризация определяется выражением с учетом (15.2.16), имеем

где составляющие атомного вектора Блоха. Переходя во вращающуюся систему координат, как описано в разд. 15.3.2, при помощи (15.3.176) найдем

где медленно меняющиеся составляющие вектора Блоха, зная которые можно найти положительно-частотную часть Тогда из уравнения (18.2.13) получаем следующее дифференциальное уравнение

В частном случае, когда матричный элемент дипольного момента перехода и амплитуда являются действительными величинами, вектор Блоха вращается в -плоскости и Уравнение движения для поля сводится тогда к следующему

или

Здесь мы использовали (18.2.18), чтобы представить амплитуду поля через частоту Раби исходя из предположения, что она может быть положительной или отрицательной, и записали

для скорости затухания резонатора и для константы взаимодействия между полем резонатора и атомом.

Далее нам потребуются уравнения движения для атомного вектора Блоха, которые будут дополнять уравнение (18.8.4). Они представляют собой уравнения Блоха (15.3.19) во вращающейся системе координат, с учетом принятых упрощающих предположений Однако мы добавим в уравнения Блоха феноменологические релаксационные члены для и атомной инверсии В результате три связанных уравнения движения лазера примут вид

где есть равновесное значение в отсутствии поля.

Хотя данные уравнения сильно отличаются от уравнения для осциллятора ван дер Поля (18.8.25), которое мы вывели ранее, они действительно сводятся к уравнению данного типа после адиабатического исключения атомных переменных. Обычный порог лазера, при котором скорость усиления равна скорости потерь, соответствует условию

Однако в процессе сведения задачи с тремя переменными к задаче с одной переменной мы также исключаем возможность обнаружения некоторых нестабильностей, которые не могут быть смоделированы одномерными уравнениями.

18.8.1. Связь с моделью Лоренца

В 1963 году Лоренц (Lorenz, 1963) разработал упрощенную модель конвективного течения жидкости, которая имеет вид следующей системы связанных уравнений трех переменных

Хотя вопрос о течении жидкости нас прямо не касается, обратим внимание на тот факт, что эти уравнения могут описывать турбулентное движение и хаос, когда Термин «хаос» стал использоваться для обозначения поведения, которое описывается детерминированными уравнениями (но, тем не менее, является нерегулярным и как бы случайным), решение которых на больших временах чувствительно к заданию начальных условий. Нерегулярность движения отражает также тот факт, что спектры, или фурье-образы от являются непрерывными функциями частоты.

Хакен (Haken, 1975а, Ь) впервые обнаружил, что лазерные уравнения (18.8.6) действительно изоморфны уравнениям Лоренца, так что лазер, описываемый этими уравнениями, может проявить аналогичное хаотическое поведение. Для доказательства этого соответствия сделаем в уравнениях (18.8.6) подстановки

в результате которых эти уравнения становятся тождественными (18.8.7). Условие требуемое для хаоса, преобразуется в следующее условие для констант затухания

Это означает, что скорость затухания резонатора должна превышать атомные скорости затухания. Последнее как раз противоположно обычному условию, которое предполагалось в разд. 18.2 для адиабатического исключения атомных переменных. Теперь ясно, почему хаос не проявлялся в рамках предыдущего детерминированного рассмотрении лазера: для него необходим «плохой резонатор», в котором спектральная ширина поля превышает атомную однородную ширину линии. Кроме того, трехмерная система уравнений типа (18.8.6) имеет наименьшую размерность, при которой может проявиться хаос.