19.1.1. Учет флуктуаций спонтанного излучения

Как было показано в разд. 18.3 и разд. 18.5, можно учесть эффекты спонтанного атомного излучения, добавляя шумовые члены в уравнение движения, и прийти к результатам, которые почти не отличаются от результатов полностью квантово-полевой теории. Поскольку полу классическая теория намного проще, воспользуемся здесь тем же приемом и заменим уравнения (19.1.10) следующими

где представляют два независимых, комплексных, гауссовских, белых шума с одинаковой средней амплитудой, так что

Нам потребовались два независимых шума, поскольку спонтанное излучение происходит почти независимо в каждую моду резонатора. Как и раньше, дельта-коррелированный вид является приближением, отражающим тот факт, что временной масштаб спонтанного излучения, обычно, меньше, чем времена, за которые изменяются амплитуды поля.

Как и в разд. 18.3, удобно заменить различные величины обезразмеренными переменными. Если рассматривать резонатор, настроенный на частоту атомного перехода и положить

то перенормированные шумовые функции будут иметь корреляции

а перенормированные амплитуды поля будут подчиняться уравнениям движения

Параметры являются безразмерными параметрами накачки, имеющими тот же вид, что и параметр а, введенный в разд. 18.3. Далее мы будем работать с перенормированными уравнениями, поскольку их структура немного проще. Однако для упрощения обозначений, мы в дальнейшем отбросим знак , понимая, что масштабные множители, использованные в (19.1.14), должны быть возвращены в уравнения, как только понадобятся размерные переменные.

Из-за наличия членов квантового шума, комплексные амплитуды мод являются теперь случайными процессами с некоторой плотностью вероятности . В отличие от подчиняющихся стохастическим уравнениям движения (19.1.16), подчиняется четырехмерному уравнению Фоккера — Планка, имеющему общий вид (Singh, 1984, разд. 2.1)

Две комплексные амплитуды мод заменены действительной, четырехмерной векторной амплитудой х, компоненты которой характеризуют состояние лазерного поля в произвольный момент времени и связаны с соотношениями

Вектор дрейфа А имеет компоненты

и вследствие (19.1.15) тензор диффузии имеет простой диагональный вид

Как было показано в разд. 18.3, общее решение уравнения Фоккера — Планка позволяет вычислить любое, интересующее нас среднее, включая многовременные корреляционные функции. Однако, четырехмерное уравнение преподносит более серьезные проблемы, чем соответствующее двумерное уравнение для одномодового лазера, которое рассматривалось в гл. 18.