17.1.2. Многовременные средние значения

Хотя с первого взгляда кажется, что та же самая процедура не может быть использована для вычисления двухвременных средних значений, ибо меняется во времени, данная трудность исчезает, если один из моментов времени равен при котором факторизуется согласно выражению (17.1.5).

Пусть три динамические переменные системы и мы хотим вычислить среднее значение при Тогда, поскольку в картине Гейзенберга

получаем, что

Вставим теперь единичные проекторы в виде после в выражении (17.1.14) и получим

Удобно ввести обозначения

для матричных элементов динамических переменных в картине Шредингера. Взяв след по переменным системы будем иметь

В заключение воспользуемся разложением (17.1.7) для и возьмем след по переменным системы как в выражении (17.1.9). Это приводит к уравнению

Таким образом, для вычисления среднего значения многовременнбго произведения операторов может быть использована такая же, как и раньше, функция Грина, при условии, что определены матричные элементы этих операторов. Этот результат, известный как квантовая теорема регрессии, означает, что флуктуации регрессируют во времени так же, как макроскопические средние. Уравнение (17.1.16) является точным, однако, при его выводе существенную роль сыграла факторизация оператора плотности в момент времени

Если взаимодействие фактически включается в момент времени или если для полной системы в этот момент времени состояния известны по отдельности, то теорема регрессии также применима и уравнение (17.1.16) можно использовать для вычисления корреляционной функции. Однако, практически, теорема часто применяется в приближенном смысле, когда точной факторизации нет, но полная система является марковской. Это означает, что даже если взаимодействуют, результат этого взаимодействия оказывает достаточно слабое влияние на временную эволюцию системы и не приводит к большому различию между случаями связанного и несвязанного начального состояния. Данное допущение справедливо, когда резервуар имеет много степеней свободы, и состояния, относящиеся к большинству степеней свободы, остаются в значительной степени незатронутыми системой Далее мы проиллюстрируем на нескольких примерах применение теоремы регрессии.