18.7.3. Функция корреляции амплитуды поля и спектральная плотность
Рассмотрим функцию корреляции второго порядка комплексной амплитуды лазерного поля
которая в наших обозначениях задается формулой
где
частота, на которую настроен резонатор. С учетом (18.7.4), получаем в пределе больших времен
Результирующая функция корреляции может быть записана в виде
где обозначено
задается выражением (18.3.27).
Поскольку
оказывается действительной величиной, и
для стационарного поля, экспоненты
в (18.7.12) должны зависеть только от модуля
Полагая
в обеих частях данного выражения, сразу получаем, что коэффициенты
нормированы так, что
Более того, нормированная функция корреляции второго порядка (комплексная степень автокогерентности) лазерного поля задается формулой
и фурье-преобразование от
дает, как обычно, нормированную спектральную плотность
В данном случае
Таким образом, спектральная плотность лазерного поля представляет собой сумму лоренцевых спектральных плотностей, каждая из которых центрирована на частоте
но имеет свою ширину
Важность членов высшего порядка в ряду (18.7.15) опять определяется величиной коэффициентов
Вычисления показывают, что
намного больше всех остальных коэффициентов, сумма которых не превышает
от
и еще меньше вдали от порога. Следовательно, спектральная плотность хорошо аппроксимируется одной лоренцевой функцией с шириной
На рис. 18.21 показана собственное значение
как функция параметра накачки а. Видно, что оно монотонно убывает по мере увеличения а. В первом приближении, можно считать, что
обратно пропорционально средней интенсивности света
и записать
где
величина порядка единицы, которая существенно не меняется. Это подчеркивает тот факт, что спектральная ширина лазера становится все более узкой по мере увеличения возбуждения и интенсивности света. В пределе поле становится строго монохроматичным. Однако, этот предел недостижим, так что, практически, часто оказывается, что при значительном превышении порога спектральная ширина лазера ограничивается колебаниями резонатора, а не этими более фундаментальными соображениями. Тем не менее, соблюдая большую осторожность, можно получить спектральные ширины менее
Это означает, что частота может быть задана с относительной точностью, превышающей
Рис. 18.30. Зависимость параметра ширины линии
от параметра накачки a (Risken, 1970)
Зависимость
от а, задаваемая формулой (18.7.17), показана на рис. 18.30. Видно, что меняется от 2 в области ниже порога до 1 в области выше порога. Уменьшение спектральной ширины наполовину выше порога можно рассматривать как отражение того факта, что в этой области остаются только фазовые флуктуации, а флуктуации интенсивности пропадают. Последние, таким образом, перестают вносить вклад в спектральную ширину лазера выше порога, тогда как и фазовые флуктуации, и флуктуации интенсивности вносят одинаковый вклад в спектральную ширину ниже порога.
Эти предсказания теории были проверены в экспериментах по интерференции и гетеродинированию (Siegman, Daino and Manes, 1967; Siegman and Arrathoon, 1968; Manes and Siegman, 1971; Gerhardt, Welling and Giittner, 1972; Giittner, Welling, Gericke and Seifert, 1978). Несмотря на то, что функции корреляции близки к экспоненциальным, наблюдались малые предсказываемые отклонения от экспоненциальной формы и были определены значения нескольких первых констант
Рис. 18.31. Зависимость первых четырех собственных значений
от параметра накачки (верхняя горизонтальная ось) (Gtittner, Welling, Gericke and Seifert, 1978). Точки — экспериментальные значения, кривые — результаты теоретического расчета
Рис. 18.32. Зависимость коэффициентов
задаваемых выражением (18.7.13), от параметра накачки (верхняя горизонтальная ось) (Gtittner, Welling, Gericke and Seifert, 1978). Точки — экспериментальные значения, кривые — результаты теоретического расчета
в разложении (18.7.15). На рис. 18.31 в логарифмическом масштабе показаны результаты измерений Кетнера, Веллинга, Герике и Сейферта первых четырех собственных значений
как функций параметра накачки а. Видно, что изменение, предположенное на рис. 18.30, наблюдается на графике
и что, в общем, имеется хорошее согласие между теорией и экспериментом. На рис. 18.32 показаны значения коэффициентов
, полученные из экспериментов. Вследствие малости величин
и трудности выделения их значений из данных эксперимента, результаты имеют намного больший разброс, но, в общем, остаются в согласии с теоретическими предсказаниями.