18.7.3. Функция корреляции амплитуды поля и спектральная плотность

Рассмотрим функцию корреляции второго порядка комплексной амплитуды лазерного поля которая в наших обозначениях задается формулой

где частота, на которую настроен резонатор. С учетом (18.7.4), получаем в пределе больших времен

Результирующая функция корреляции может быть записана в виде

где обозначено

задается выражением (18.3.27).

Поскольку оказывается действительной величиной, и для стационарного поля, экспоненты в (18.7.12) должны зависеть только от модуля Полагая в обеих частях данного выражения, сразу получаем, что коэффициенты нормированы так, что

Более того, нормированная функция корреляции второго порядка (комплексная степень автокогерентности) лазерного поля задается формулой

и фурье-преобразование от дает, как обычно, нормированную спектральную плотность В данном случае

Таким образом, спектральная плотность лазерного поля представляет собой сумму лоренцевых спектральных плотностей, каждая из которых центрирована на частоте но имеет свою ширину Важность членов высшего порядка в ряду (18.7.15) опять определяется величиной коэффициентов Вычисления показывают, что намного больше всех остальных коэффициентов, сумма которых не превышает от и еще меньше вдали от порога. Следовательно, спектральная плотность хорошо аппроксимируется одной лоренцевой функцией с шириной

На рис. 18.21 показана собственное значение как функция параметра накачки а. Видно, что оно монотонно убывает по мере увеличения а. В первом приближении, можно считать, что обратно пропорционально средней интенсивности света и записать

где величина порядка единицы, которая существенно не меняется. Это подчеркивает тот факт, что спектральная ширина лазера становится все более узкой по мере увеличения возбуждения и интенсивности света. В пределе поле становится строго монохроматичным. Однако, этот предел недостижим, так что, практически, часто оказывается, что при значительном превышении порога спектральная ширина лазера ограничивается колебаниями резонатора, а не этими более фундаментальными соображениями. Тем не менее, соблюдая большую осторожность, можно получить спектральные ширины менее Это означает, что частота может быть задана с относительной точностью, превышающей

Рис. 18.30. Зависимость параметра ширины линии от параметра накачки a (Risken, 1970)

Зависимость от а, задаваемая формулой (18.7.17), показана на рис. 18.30. Видно, что меняется от 2 в области ниже порога до 1 в области выше порога. Уменьшение спектральной ширины наполовину выше порога можно рассматривать как отражение того факта, что в этой области остаются только фазовые флуктуации, а флуктуации интенсивности пропадают. Последние, таким образом, перестают вносить вклад в спектральную ширину лазера выше порога, тогда как и фазовые флуктуации, и флуктуации интенсивности вносят одинаковый вклад в спектральную ширину ниже порога.

Эти предсказания теории были проверены в экспериментах по интерференции и гетеродинированию (Siegman, Daino and Manes, 1967; Siegman and Arrathoon, 1968; Manes and Siegman, 1971; Gerhardt, Welling and Giittner, 1972; Giittner, Welling, Gericke and Seifert, 1978). Несмотря на то, что функции корреляции близки к экспоненциальным, наблюдались малые предсказываемые отклонения от экспоненциальной формы и были определены значения нескольких первых констант

Рис. 18.31. Зависимость первых четырех собственных значений от параметра накачки (верхняя горизонтальная ось) (Gtittner, Welling, Gericke and Seifert, 1978). Точки — экспериментальные значения, кривые — результаты теоретического расчета

Рис. 18.32. Зависимость коэффициентов задаваемых выражением (18.7.13), от параметра накачки (верхняя горизонтальная ось) (Gtittner, Welling, Gericke and Seifert, 1978). Точки — экспериментальные значения, кривые — результаты теоретического расчета

в разложении (18.7.15). На рис. 18.31 в логарифмическом масштабе показаны результаты измерений Кетнера, Веллинга, Герике и Сейферта первых четырех собственных значений как функций параметра накачки а. Видно, что изменение, предположенное на рис. 18.30, наблюдается на графике и что, в общем, имеется хорошее согласие между теорией и экспериментом. На рис. 18.32 показаны значения коэффициентов , полученные из экспериментов. Вследствие малости величин и трудности выделения их значений из данных эксперимента, результаты имеют намного больший разброс, но, в общем, остаются в согласии с теоретическими предсказаниями.