10.4.1. Фоковские состояния

До сих пор мы рассматривали только одну моду поля излучения. Все вместе операторы формируют полный набор коммутирующих наблюдаемых для поля. Так как операторы, соответствующие различным -модам, действуют на различных подпространствах гильбертова пространства, мы можем сформировать вектор состояния, характеризующий поле в целом, как прямое произведение векторов состояния по всем модам:

Такое состояние известно как фоковское состояние поля излучения, характеризующееся бесконечным множеством чисел заполнения для всех мод. Используя сокращенное обозначение для множества всех запишем

Отсюда следует, что фоковское состояние является собственным состоянием оператора числа частиц -моды, т.е.

Определив оператор полного числа частиц как сумму по всем модам

находим

так что фоковское состояние является также собственным состоянием оператора а соответствующее собственное значение представляет собой полное число заполнения

Состояние для которого все числа заполнения равны нулю и которому соответствует наименьшее собственное значение оператора известно как вакуумное состояние Любое фоковское состояние можно получить, неоднократно действуя оператором на вакуумное состояние. Следовательно, из выражения (10.4.6) получим

Так как энергия поля, определяемая выражением (10.3.16), представляет собой линейную комбинацию множества операторов отсюда сразу следует, что фоковские состояния являются также собственными состояниями оператора энергии т.е.

Собственные значения оператора энергии определяются выражением Эти собственные значения являются вырожденными, и, в общем случае, каждому собственному значению соответствует много фоковских состояний. В пределе непрерывного разложения по модам, вырождение становится бесконечно большим.

Дискретные возбуждения или кванты электромагнитного поля, соответствующие числам заполнения обычно называют фотонами. Таким образом, состояние соответствует одному фотону с волновым вектором к и поляризацией Иногда бывает удобно обозначить это состояние выражая этим то, что число заполнения для явно выделенной -моды равно 1, тогда как все остальные моды не заполнены. Операторы уменьшающие либо увеличивающие число заполнения состояния на единицу, называются понижающим оператором или оператором уничтожения фотонов и повышающим оператором или оператором рождения фотонов, соответственно. Собственные значения оператора числа фотонов неограничены, так что в одном и том же квантовом состоянии может находится сколь угодно большое число фотонов, откуда следует, что фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Выражение для собственного значения энергии в формуле (10.4.17) означает, что каждый из фотонов -моды несет энергию Эта энергия не зависит ни от поляризации фотона ни от направления его волнового вектора к; она зависит только от частоты