13.1.4. Спектральные распределения

С помощью (13.1.8) можно получить функцию спектрального распределения такую, что величина равна плотности фотонов, находящихся в частотном интервале Используя значение плотности мод получаем следующее выражение для плотности фотонов, приходящихся на бесконечно малый интервал

Рис. 13.1. Распределение энергии излучения по длине волны согласно закону Планка при трех различных температурах (Halliday and Resnick, 1970, с. 759)

Полагая затем, что где есть элемент телесного угла, и интегрируя по всем направлениям, сразу получим

С другой стороны, поскольку каждый фотон частоты несет энергию можно записать соответствующее выражение для плотности энергии приходящейся на частотный интервал

Это распределение энергии называется распределением Планка и иллюстрируется на рис. 13.1 как функция длины волны. Оно было получено Планком 1901а, на основе эмпирических данных и использовалось им для обоснования квантования энергии электромагнитного поля. При малых значениях распределение пропорционально что соответствует закону Рэлея, но оно достигает максимума на частоте порядка а затем опять спадает к нулю. Положение максимума определяется законом смещения Вина. Окончательно, интегрируя по всем частотам, приходим к плотности полной энергии и электромагнитного поля при температуре

где

— дзета-функция Римана. Можно показать, что Пропорциональность и температуре в четвертой степени, задаваемая формулой (13.1.17а), называется законом Стефана — Больцмана.

Совершенно аналогично, можно проинтегрировать по всем частотам и получить среднюю плотность фотонов при температуре В результате находим, что

Как будет показано ниже, корреляции в поле излучения черного тела имеют место в области, линейный размер которой порядка так что величина имеет порядок объема когерентности. Формула (13.1.176) выражает интересный результат, состоящий в том, что среднее число фотонов в объеме когерентности излучения черного тела по порядку величины всегда равно единице (Mandel, 1979).