Для однопараметрических семейств преобразований конфигурационного пространства вводятся возможные перемещения, совместные с наложенными на систему связями. С использованием этих перемещений из принципа Даламбера – Лагранжа получены утверждения, обобщающие основные теоремы динамики и распространяющие теорему Нетер на систему с неголономными связями. С помощью доказанных в работе утверждений решена задача о движении острого однородного диска по горизонтальному льду.

1. Обобщение основных теорем динамики. Рассмотрим механическую систему $n$ материальных точек с массами $m_{i}$, декартовы координаты которых обозначим через $x_{i}, y_{i}, z_{i}$. Предположим, что на систему наложены линейные связи, вообще говоря, неинтегрируемые. Тогда возможные перемещения системы удовлетворяют соотношениям
\[
\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i j} \delta x_{i}+b_{i j} \delta y_{i}+c_{i j} \delta z_{i}\right)=0, \quad j=1, \ldots, m<3 n
\]

Коэффициенты в этих равенствах – функции координат и времени. На точки $m_{i}$ действуют активные силы $\mathbf{F}_{i}$ с проекциями на оси координат $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$. Действительные движения определяются из принципа Даламбера – Лагранжа
\[
\sum_{i=1}^{n}\left[\left(m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}-X_{i}\right) \delta x_{i}+\left(m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}-Y_{i}\right) \delta y_{i}+\left(m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}-Z_{i}\right) \delta z_{i}\right]=0
\]

Рассмотрим зависящее от времени и параметра $\alpha$ семейство обратимых преобразований $3 n$-мерного конфигурационного пространства
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{i}\left(x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, z_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}, y_{n}^{\prime}, z_{n}^{\prime}, t, \alpha\right), \\
\mathbf{r}_{i}=\left\{x_{i}, y_{i}, z_{i}\right\} .
\end{array}
\]

Скорости точек системы преобразуются по обычному правилу
\[
\frac{d \mathbf{r}_{i}}{d t}=\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial x_{j}^{\prime}} \frac{d x_{j}^{\prime}}{d t}+\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial y_{j}^{\prime}} \frac{d y_{j}^{\prime}}{d t}+\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial z_{j}^{\prime}} \frac{d z_{j}^{\prime}}{d t}\right) .
\]

Возможными перемещениями системы, связанными с семейством преобразований (1.3), назовем
\[
\delta \mathbf{r}_{i}=\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial \alpha} \delta \alpha
\]

Будем говорить, что семейство преобразований (1.3) совместно со связями (1.1), если возможные перемещения (1.5) удовлетворяют уравнениям связей (1.1).

Лемма 1. Имеет место следующее соотношение ( $T$ – кинетическая энергия) :
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{n}\left(m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial \alpha}+m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial y_{i}}{\partial \alpha}+m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial z_{i}}{\partial \alpha}\right)=\frac{d S}{d t}-\frac{\partial T}{\partial \alpha}, \\
S=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{i}} \frac{\partial x_{i}}{\partial \alpha}+\frac{\partial T}{\partial \dot{y}_{i}} \frac{\partial y_{i}}{\partial \alpha}+\frac{\partial T}{\partial \dot{z}_{i}} \frac{\partial z_{i}}{\partial \alpha}\right), \\
T=\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}}{2}\left[\left(\dot{x}_{i}\right)^{2}+\left(\dot{y}_{i}\right)^{2}+\left(\dot{z}_{i}\right)^{2}\right] .
\end{array}
\]

Справедливость этого тождества вытекает из следующих очевидных перестановочных соотношений:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial \alpha}=\frac{\partial}{\partial \alpha} \frac{\mathbf{r}_{i}}{d t} .
\]

Лемма 2. Если семейство (1.3) совместно с наложенными на систему связями, то
\[
\frac{d S}{d t}-\frac{\partial T}{\partial \alpha}=\sum, \quad \sum=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial \alpha}+Y_{i} \frac{\partial y_{i}}{\partial \alpha}+Z_{i} \frac{\partial z_{i}}{\partial \alpha}\right) .
\]

Для доказательства этого соотношения надо подставить возможные перемещения (1.5) в уравнения Даламбера-Лагранжа и использовать формулу (1.6).

Функция $f\left(t, x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, \dot{x}_{1}, \dot{y}_{1}, \dot{z}_{1}, \ldots\right)$ инвариантна относительно преобразований (1.3), если функция $g$, полученная из $f$ заменой координат и скоростей точек по формулам (1.3) и (1.4), не зависит от $\alpha$.

Теорема 1. Если кинетическая энергия инвариантна относительно семейства преобразований (1.3), совместного со связями, то
\[
d S / d t=\Sigma .
\]

Так как кинетическая энергия инвариантна относительно семейства преобразований (1.3), то $\partial T / \partial \alpha=0$ и соотношение (1.8) вытекает из (1.7).

Кинетическая энергия инвариантна относительно сдвигов вдоль неподвижного направления и поворотов вокруг неподвижной оси. Следовательно, в этих случаях теорема 1 совпадает с классическими теоремами об изменении количества движения и момента количества движения системы [1].
2. Случай потенциальных сил. Предположим, что внешние силы $\mathbf{F}_{i}$, действующие на систему, допускают силовую функцию $V\left(t, x_{1}, y_{1}\right.$, $z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$ ).

Теорема 2. Если функция $L=T+V$ инвариантна относительно семейства преобразований (1.3) совместно со связями, то уравнения движения имеют первый интеграл
\[
S=\text { const. }
\]

Это утверждение следует из формул (1.7). При этом используется соотношение
\[
\Sigma=\partial V / \partial \alpha
\]

и инвариантность функции $L=T+V: \partial L / \partial \alpha=0$.
Для голономных связей теорема 2 совпадает с известной теоремой Нетер [2]. Подчеркнем, что семейство преобразований (1.3) не обязано быть группой.
3. Обобщение теорем об измерении количества движения и момента количества движения. Выясним, когда кинетическая энергия инвариантна относительно сдвигов вдоль прямой $l$, заданной направляющими косинусами $a, b, c$, которая. может менять со временем направление. Формулы преобразования в этом случае, очевидно, следующие:
\[
\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{i}^{\prime}+\alpha \mathbf{l}, \quad \mathbf{l}=(a, b, c) .
\]

Можно проверить, что
\[
\frac{\partial T}{\partial \alpha}=\frac{d a}{d t} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{d b}{d t} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{d c}{d t} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d z_{i}}{d t} .
\]

В этом случае условие инвариантности $T$ относительно семейства сдвигов записывается в виде $(\mathbf{P}, d \mathbf{l} / d t)=0$, где $\mathbf{P}-$ вектор количества движения системы. Если это равенство выполнено и связи допускают поступательное перемещение системы как одного твердого тела вдоль оси $l$, то по теореме 1
\[
\frac{d}{d t}(\mathbf{P}, \mathbf{l})=\left(\sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_{i}, \mathbf{l}\right) .
\]

Выясним также, когда кинетическая энергия инвариантна относительно вращений вокруг прямой $l$, которая в общем случае подвижна. Снова обозначим через $a, b, c$ ее направляющие косинусы и пусть прямая $l$ проходит через точку с координатами $x_{0}, y_{0}, z_{0}$. Величины $a, b, c, x_{0}, y_{0}, z_{0}$ – заданные функции времени.
Пусть $\alpha$ – угол поворота. Можно проверить, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial \alpha}=\sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d x_{i}}{d t} \frac{d}{d t}\left[b\left(z_{i}-z_{0}\right)-c\left(y_{i}-y_{0}\right)\right]+ \\
+\sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d y_{i}}{d t} \frac{d}{d t}\left[c\left(x_{i}-x_{0}\right) a-\left(z_{i}-z_{0}\right)\right]+ \\
+\sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d z_{i}}{d t} \frac{d}{d t}\left[a\left(y_{i}-y_{0}\right)-b\left(x_{i}-x_{0}\right)\right]
\end{array}
\]

После преобразований условие инвариантности функции относительно семейства поворотов записывается в виде
\[
\left(\mathbf{P}, \frac{d}{d t}\left[\mathbf{r}_{0}, \mathbf{l}\right]\right)+\left(\mathbf{K}, \frac{d \mathbf{l}}{d t}\right)=0, \quad \mathbf{r}_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right),
\]

где $\mathbf{K}$ – вектор момента количества движения системы относительно начала координат.

Если связи допускают повороты системы как одного твердого тела вокруг оси $l$ и выполнено равенство (3.2), то по теореме 1
\[
d / d t\left(\mathbf{K}^{\prime}, \mathbf{l}\right)=\left(\mathbf{M}^{\prime}, \mathbf{l}\right)
\]

где $\mathbf{K}^{\prime}$ и $\mathbf{M}^{\prime}$ – соответственно момент количества движения и суммарный момент сил относительно точки $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$. Иными словами, если выполнено условие (3.2), то относительно подвижной оси $l$ справедлива теорема об изменении момента количества движения.

Если, в частности, ось $l$ не меняет направления в пространстве, т.е. $d a / d t=d b / d t=d c / d t=0$, то это утверждение совпадает с известным обобщением теоремы площадей $[3,4]$.

В случае, когда ось $l$ проходит через центр тяжести системы, условие (3.2) можно упростить
\[
\left(\mathbf{K}^{\prime}, \frac{d^{\prime} \mathbf{l}}{d t}\right)=0 .
\]
4. Пример из динамики неголономных систем. В качестве примера на приложение доказанных выше утверждений рассмотрим задачу о движении круглого диска с острым краем по гладкому горизонтальному льду. На систему тем самым наложена неголономная связь: скорость точки касания диска параллельна его горизонтальному диаметру. Диск предполагается динамически симметричным, центр его тяжести совпадает с геометрическим центром.

Введем ось Кенига $O x_{1} y_{1} z_{1}$, причем ось $O z_{1}$ вертикальна. В другой подвижной системе координат $O x y z$ ось $O z$ перпендикулярна плоскости диска, ось $O x$ горизонтальна, а ось $O y$ проходит через точку касания $H$. Обозначим через $M$ некоторую точку на окружности диска. Пусть $m$ – масса диска, $a$ – его радиус, моменты инерции относительно осей $O x, O y$ и $O z$ обозначим соответственно через $A$ и $C$.

Проекции угловой скорости диска $\omega$ на оси Oxyz обозначим через $p, q, r$, а проекции скорости центра масс на те же оси – через $u, v, w$. Проектируя скорость $V_{H}=V_{0}+[\omega, O H]$ на оси трехгранника и используя параллельность $V_{H}$ оси $O x$, получим
\[
v=0, \quad w-a p=0 .
\]

Докажем, что $r=$ const. За подвижную ось $l$ примем $O z$. Связи допускают поворот диска вокруг этой оси.

Покажем, что выполнено условие (3.4). Действительно, проекции $\mathbf{K}^{\prime}$ на оси $O x y z$ суть $A p, A q, C r$, а вектора $d \mathbf{l} / d t: q,-p, 0$. Следовательно, они ортогональны. Так как сила тяжести не дает момента относительно оси $O z$, то по формуле (3.3) $d(C r) / d t=0$, т. е. $r=r_{0}=$ const.

Связи допускают поворот диска относительно вертикальной оси $O z_{1}$. Так как $O$ – центр тяжести, то, согласно формуле (3.3) (теорема Кенига), проекция момента количества движения относительно точки $O$ на

вертикаль постоянна
\[
A q \sin \theta+C r \cos \theta=c_{1} \quad \text { или } \quad q(\theta)=\frac{c_{1}}{A \sin \theta}-\frac{C r_{o}}{A} \operatorname{ctg} \theta .
\]

Диск можно поступательно перемещать вдоль подвижной оси $O x$. Кинетическая энергия диска не инвариантна относительно этих сдвигов, однако можно применить лемму 2 , которая дает уравнение $m d u / d t-$ $-m w q=0$, или, с использованием (4.1), $d u / d t-a p q=0$. Так как $p=$ $=d \theta / d t$, то, учитывая (4.2), получим
\[
d u=a\left(\frac{c_{1}}{A \sin \theta}-\frac{C r_{0}}{A} \operatorname{ctg} \theta\right) d \theta .
\]

Следовательно
\[
u(\theta)=c_{2}+\frac{a c_{1}}{A} \ln \operatorname{tg} \frac{\theta}{2}-\frac{a C r_{0}}{A} \ln \sin \theta .
\]

Полная энергия диска сохраняется
\[
\frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(A p^{2}+A q^{2}+C r^{2}\right)+m g a \sin \theta=h .
\]

Учитывая соотношения (4.1)-(4.3), это равенство можно записать в следующем виде:
\[
\frac{1}{2}\left(A+m a^{2}\right)\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}=h-m g a \sin \theta-\frac{m}{2} u^{2}(\theta)-\frac{A}{2} q^{2}(\theta)-\frac{C r_{0}^{2}}{2} .
\]

Отсюда угол $\theta$ находится квадратурой.
Если $c_{1}
eq C r_{0}$, то правая часть равенства (4.4) стремится к $-\infty$, когда $\theta \rightarrow \theta, \pi$. Следовательно, в этом случае $0<\theta<\pi$ и $\theta(t)-$ периодическая функция времени с некоторым периодом $\tau$. В частности, диск никогда не упадет на плоскость. Заметим, что диск может упасть при $c_{1}=C r_{0}$, но только тогда, когда он поставлен невертикально и отпущен без начальной скорости.

Предположим опять, что $c_{1}
eq C r_{0}$. Тогда $p, q, r, u, v, w$ – периодические функции времени с тем же периодом $\tau$. Чтобы дать качественную картину движения, осталось выяснить зависимость от времени угла $\varphi$ между $O H$ и $O M$ и угла $\psi$ между $O x$ и $O x_{1}$, а также найти закон движения точки касания по плоскости.

Из кинематических соотношений
\[
q=\frac{d \psi}{d t} \sin \theta, \quad r=\frac{d \varphi}{d t}+\frac{d \psi}{d t} \cos \theta
\]

следует, что
\[
\psi=\lambda_{1} t+f_{1}(t), \quad \varphi=\lambda_{2} t+f_{2}(t),
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ – постоянные, зависящие от начальных условий, а $f_{1}, f_{2}$ периодические функции времени с периодом $\tau$.

Пусть $\xi, \eta$ – декартовы координаты точки касания $H$ на плоскости, при этом оси $\xi, \eta$ параллельны осям $O x_{1}, O y_{1}$. Можно показать, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \xi}{d t}=u \cos \psi+w \sin \theta \sin \psi+\frac{d}{d t}(a \cos \theta \sin \psi)=\left(u+a \cos \theta \frac{d \psi}{d t}\right) \cos \psi, \\
\frac{d \eta}{d t}=u \sin \psi-w \sin \theta \cos \psi-\frac{d}{d t}(a \cos \theta \cos \psi)=\left(u+a \cos \theta \frac{d \psi}{d t}\right) \sin \psi
\end{array}
\]

Функция $u+a \cos \theta d \psi / d t$ периодична по $t$ с периодом $\tau$. Обозначим еe $g(t)$. Тогда, учитывая (4.5), получим
\[
d \zeta / d t=g(t) \exp \left[i\left(\lambda_{1} t+f_{1}(t)\right)\right], \quad \zeta=\xi+i \eta .
\]

Функция $g(t) \exp \left[i f_{1}(t)\right]$ периодическая с периодом $\tau$. Разложим ее в сходящийся ряд Фурье
\[
\sum_{-\infty}^{\infty} a_{n} \exp \left(i \frac{2 \pi n}{\tau} t\right)
\]

Тогда
\[
\zeta=c+\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{a_{n}}{i\left(2 \pi n / \tau+\lambda_{1}\right)} \exp \left(i \frac{2 \pi n t}{\tau}\right) \exp \left(i \lambda_{1} t\right)
\]

где $c=c_{1}+i c_{2}-$ некоторая постоянная. Если $2 \pi n / \tau+\lambda_{1}
eq 0$ при целых $n$, то
\[
G(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{a_{n}}{i\left(2 \pi n / \tau+\lambda_{1}\right)} \exp \left(i \frac{2 \pi n}{\tau} t\right)
\]
– аналитическая периодическая функция с периодом $\tau$. В этом случае $\zeta=G(t) \exp \left(i \lambda_{1} t\right)+c$. Введем подвижную систему отсчета, вращающуюся с угловой скоростью $-\lambda_{1}$ вокруг точки $c$. Тогда в подвижной системе

тока $\zeta(t)$ будет двигаться периодически по замкнутой аналитической кривой $\zeta=G(t)$. В неподвижной плоскости $(\xi, \eta)$ точка касания будет совершать сложное движение: она движется периодически по некоторой замкнутой аналитической кривой, которая вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной точки.

Авторы благодарны В.В.Румянцеву за внимание и советы.