Приведем явное выражение для характеристического полинома линеаризации системы (2) вблизи равномерных вращений параболоида вокруг вертикальной оси, которые для уравнений (2) являются неподвижными точками с координатами $\boldsymbol{\omega}=\left(0,0, \omega_{0}\right), \gamma=(0,0,1)$. Он имеет вид $[1,4]$
\[
\begin{array}{l}
\chi(\lambda)=\lambda^{2}\left(k_{0} \lambda^{4}+k_{1} \lambda^{3}+k_{2} \lambda^{2}+k_{3} \lambda+k_{4}\right), \quad k_{0}=\left(I_{1}+m h^{2}\right)\left(I_{2}+m h^{2}\right), \\
k_{1}=\omega_{0} m h\left(a_{1}-a_{2}\right) I_{12}, \quad k_{3}=\omega_{0}^{3} m h\left(a_{1}-a_{2}\right) I_{12}, \\
k_{2}=\omega_{0}^{2}\left(\left(I_{3}-I_{2}\right)\left(I_{3}-I_{1}\right)+m h\left(\left(I_{3}-I_{11}\right)\left(a_{2}-h\right)+\right.\right. \\
\left.\left.+\left(I_{3}-I_{22}\right)\left(a_{1}-h\right)\right)+m^{2} h^{2}\left(a_{1}-h\right)\left(a_{2}-h\right)\right)+ \\
+m g\left(\left(I_{22}+m h^{2}\right)\left(a_{2}-h\right)+\left(I_{11}+m h^{2}\right)\left(a_{1}-h\right)\right), \\
k_{4}=\omega_{0}^{4}\left(\left(I_{3}-I_{2}\right)\left(I_{3}-I_{1}\right)+m h\left(\left(I_{3}-I_{11}\right)\left(a_{2}-h\right)+\right.\right. \\
\left.\left.+\left(I_{3}-I_{22}\right)\left(a_{1}-h\right)\right)+m^{2} h^{2}\left(a_{1}-h\right)\left(a_{2}-h\right)\right)+ \\
+\omega_{0}^{2} m g\left(\left(I_{3}-I_{11}\right)\left(a_{2}-h\right)+\left(I_{3}-I_{22}\right)\left(a_{1}-h\right)+\right. \\
\left.+2 m h\left(a_{1}-h\right)\left(a_{2}-h\right)\right)+m^{2} g^{2}\left(a_{1}-h\right)\left(a_{2}-h\right),
\end{array}
\]

$I_{i j}$ — компоненты матрицы (7). Линейная устойчивость определяется вещественными частями решений (13). На каждом уровне энергии существует два вертикальных вращения в разные стороны с одной и той же по величине частотой $\omega_{0}$.

По теореме Рауса — Гурвица могут быть получены следующие условия устойчивости вертикальных вращений.

Теорема (Астапов, Карапетян [1, 4]).
Вертикальные вращения параболоида устойчивы при выполнении следующих условий
\[
\begin{array}{l}
1^{\circ} .\left(I_{1}+I_{2}+I_{3}\right)\left(a_{1}+a_{2}-2 h\right)-m h\left(4 h^{2}-3 h\left(a_{1}+a_{2}\right)+2 a_{1} a_{2}\right)=F_{G D}>0 \\
2^{\circ} . \omega_{0}<-\omega_{\text {* }}, \text { где } \omega_{*}^{2}=F_{G D}^{-1} m g\left(a_{1}-h\right)\left(a_{2}-h\right),
\end{array}
\]

где $F_{G D}$ — мы обозначим указанную геометро-динамическую функцию.
Уровень энергии, соответствующий $\omega_{*}$, обозначим через $E_{*}$.
Основным динамическим выводом из этой теоремы является зависимость устойчивости вращений при $\delta
eq 0$ от направления вращения. Эmo, в частности, отличает неголономные системы от гамильтоновых.

Кроме того, для существования устойчивости вращений необходимо специальное распределение масс $F_{G D}>0$ и достаточно большая по абсолютной всличинс угловая скорссть. При этом сущсствуют тсла, всртикальные вращения которых в обе стороны неустойчивы.

На рис. 2 приведены графики вещественных частей характеристических показателей при выполнении и невыполнении геометро-динамического неравенства $1^{\circ}$.

Из приведенных графиков следует, что при энергиях $E$, для которых $\omega_{0}<\omega_{*}$ всегда существует неустойчивое вертикальное вращение, к которому асимптотически стремится система при $t \rightarrow-\infty$. Характерный фазовый портрет точечного отображения для параболоида при $E>E_{*}$ приведен на рис. 3 . При этом все траектории при $t \rightarrow+\infty$ наматываются на устойчивое равномерное вращение, а при $t \rightarrow-\infty$ на неустойчивое. Как показывают расчеты, других аттракторов в фазовом пространстве не существует.