В работе собраны все известные на данный момент случаи существования инвариантной меры, интегралов, пуассоновой структуры для уравнений неголономного качения твердого тела по плоскости и сфере. Из всего мыслимого набора ситуаций мы не обнаружили случая, при котором существуют два интеграла, но отсутствует мера. Возможно, что это связано со спецификой уравнений неголономной механики.

В зависимости от наличия тогс или иного набора инвариантов имеются качественные различия в поведении системы, которая может проявить как типично гамильтоновые свойства, так и свойства консервативных систем, реализующиеся на примере кельтских камней. Для анализа указанных ситуаций мы предложили использовать метод трехмерных отображений Пуанкаре, который, собственно, и позволил нам первоначально численно обнаружить существование интегралов (2.2), (3.2), (3.5) а затем и найти их в явной форме. Несомненно, что исследование трехмерных точечных отображений для случая наличия и отсутствия меры, как с аналитической, так и с вычислительной точки зрения, позволяет обнаружить многие замечательные эффекты в неголономных системах.

Особенно интересна здесь задача о глобальной динамике кельтского камня $[14,21]$, которая на уровне трехмерных отображений (не сохраняющих площадь!) означает исследование инвариантных и асимптотических многообразий, которые реализуются при различных ограничениях на параметры системы.

Авторы благодарят А.В.Карапетяна за полезные замечания и А. А. Килина за помощь при проведении численных экспериментов.