7.1. Уравнения движения и их первые интегралы. Рассмотрим движение без скольжения тяжело-о круглого диска, опирающегося о горизонтальную плоскость. Пусть $m$ — масса диска, $a$ — радиус, $A_1$ и $A_3$ — соответственно экваториальный и осевой моменты инерции, g ускорение свободного падения.

Следуя предложенному ранее подходу $[18,34]$, будем определять положение диска декартовыми координатами $x$ и $y$ проекции его центра на горизонтальную плоскость и углами Эйлера $\theta ,\psi$ и $\phi (\theta$ — угол между плоскостью диска и опорной плоскостью, $\psi$ — угол прецессии, $\phi$ — угол собственного вращения). При этом высота центра диска над опорной плоскостью определяется соотношением $h=a\sin \theta$. Тогда функция Лагранжа и уравнения связей, выражающие отсутствие проскальзывания диска в точке его контакта с опорной плоскостью, примут вид
$$\begin{array}{rl}2L=& m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+(A_1+m{a}^2{\cos }^2\theta ){\dot{\theta }}^2+\\ & +A_1{\dot{\psi }}^2{\sin }^2\theta +A_3(\dot{\phi }+\dot{\psi }\cos \theta {)}^2-2mga\sin \theta ,\\ \dot{x}=& a\dot{\theta }\sin \theta \sin \psi -a(\dot{\phi }+\dot{\psi }\cos \theta )\cos \psi ,\\ \dot{y}=& -a\dot{\theta }\sin \theta \cos \psi -a(\dot{\phi }+\dot{\psi }\cos \theta )\sin \psi .\end{array}$$

Функция Лагранжа и коэффициенты связей не зависят от координат $x$ и $y$, скорости которых стоят в левых частях этих связей, т.е. рассматриваемая система представляет собой консервативную неголономную систему Чаплыгина с тремя степенями свободы. Уравнения движения этой системы в форме Чаплыгина имеют вид [18]
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \dot{\theta }}-\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \theta }=0,\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \dot{\phi }}=m{a}^2\dot{\psi }\dot{\theta }\sin \theta ,\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \dot{\psi }}=-m{a}^2\dot{\phi }\dot{\theta }\sin \theta \end{array}$$

Функция $\mathrm{\Lambda }$ получается из функции $L$ исключением из последней

зависимых скоростей $\dot{x}$ и $\dot{y}$ с помощью уравнений связи:
$$2\mathrm{\Lambda }=(A_1+m{a}^2){\dot{\theta }}^2+A_1{\dot{\psi }}^2{\sin }^2\theta +(A_3+m{a}^2)(\dot{\phi }+\dot{\psi }\cos \theta {)}^2-2mga\sin \theta .$$

В явном виде уравнения (7.1) записываются следующим образом
$$\begin{array}{c}(A_1+m{a}^2)\ddot{\theta }=A_1{q}^2\mathrm{ctg}\theta -(A_3+m{a}^2)qr-mga\cos \theta ,\\ (A_3+m{a}^2)\dot{r}=m{a}^{2}q\dot{\theta },A_1\frac{d}{dt}(q\sin \theta )=A_{3}r\sin \theta \dot{\theta }.\end{array}$$

Здесь через $q$ и $r$ обозначены выражения
$$q=\dot{\psi }\sin \theta ,r=\dot{\phi }+\dot{\psi }\cos \theta ,$$

представляющие собой проекции угловой скорости диска на линию наибольшего ската и на нормаль к плоскости диска.
Полученная система уравнений имеет интеграл энергии
$$2H=(A_1+m{a}^2){\dot{\theta }}^2+A_1{q}^2+(A_3+m{a}^2)r^2+2mga\sin \theta ={\mathrm{c}}_0=\text{ const. }$$

Покажем, что помимо данного интеграла уравнения движения имеют еще два первых интеграла. Для этого перейдем в уравнениях (7.2) к новой независимой переменной — углу $\theta$. Тогда эти уравнения примут вид
$$(A_3+m{a}^2)\frac{dr}{d\theta }=m{a}^{2}q,A_1\frac{d}{d\theta }(q\sin \theta )=A_{3}r\sin \theta .$$

Из (7.4) получаем для $r$ следующее дифференциальное уравнение второго порядка
$$\frac{d^{2}r}{d{\theta }^2}+\mathrm{ctg}\theta \frac{dr}{d\theta }-Br=0,B=\frac{m{a}^2{A}_3}{A_1(A_3+m{a}^2)}.$$

Вводя в это уравнение вместо угла $\theta$ новую независимую переменную $z$, определяемую равенством [34]
$$\cos \theta =1-2z,$$

окончательно получим
$$z(1-z)\frac{d^{2}r}{d{z}^2}+(1-2z)\frac{dr}{dz}-Br=0.$$

Уравнение (7.5) представляет собой гипергеометрическое уравнение Гаусса [35]. Таким образом, рассматриваемая задача о движении диска интегрируется при помощи гипергеометрических функций.

Если обозначить через $F(\xi ,\eta ,\zeta ;z)$ гипергеометрический ряд Гаусca $[35]$
$$\begin{array}{rl}F(\xi ,\eta ,\zeta ;z)& =1+\frac{\xi \eta }{1\cdot \zeta }z+\frac{\xi (\xi +1)\eta (\eta +1)}{1\cdot 2\cdot \zeta (\zeta +1)}{z}^2+\cdots +\\ & +\frac{\xi (\xi +1)\cdots (\xi +n)\eta (\eta +1)\cdots (\eta +n)}{1\cdot 2\cdots (n+1)\zeta (\zeta +1)\cdots (\zeta +n)}{z}^{n+1}+\cdots \end{array}$$

то уравнение
$$z(1-z)\frac{d^{2}r}{d{z}^2}+[\zeta -(\xi +\eta +1)z]\frac{dr}{dz}-\xi \eta r=0$$

допускает [35] следующие частные решения
$$F(\xi ,\eta ,\zeta ;z),F(\xi ,\eta ,\xi +\eta -\zeta +1;1-z).$$

Для уравнения (7.5)
$$\zeta =1,\xi +\eta =1,\xi \eta =B$$

и, следовательно, его общее решение имеет вид
$$r={\mathrm{c}}_{1}F(\xi ,\eta ,1;z)+{\mathrm{c}}_{2}F(\xi ,\eta ,1;1-z),$$

где ${\mathrm{c}}_1,{\mathrm{c}}_2$ — произвольные постоянные, а $\xi$ и $\eta$ — корни квадратного уравнения $s^2-s+B=0$.

В дальнейшем будем предполагать, что $\xi$ и $\eta$ являются комплексно сопряженными числами, т.е. справедливо неравенство $B>1/4$, которое заведомо выполнено для однородного диска ( $A_3=2A_1=m{a}^2/2,B=4/3$ ). Отметим [35], что ряд (7.6) сходится равномерно на любом отрезке числовой оси, лежащем внутри интервала $-1<z<1$.

Возвращаясь от $z$ к прежней независимой переменной $\theta$, получим функцию $r(\theta )$ в виде
$$r=\sum _{i=1}^2{\mathrm{c}}_i{u}_i,u_i=F(\xi ,\eta ,1;(1+(-1{)}^i\cos \theta )/2),i=1,2.$$

Функцию $q=q(\theta )$ находим из соотношений (7.4) и (7.7)
$$\begin{array}{c}q=\frac{A_3}{2A_1}\sin \theta \sum _{i=1}^2(-1{)}^{i+1}{\mathrm{c}}_i{v}_i\\ v_i=F(\xi +1,\eta +1,2;(1+(-1{)}^i\cos \theta )/2),i=1,2\end{array}$$

с учетом выражения для производной гипергеометрической функции
$$\frac{d}{dz}F(\xi ,\eta ,\zeta ;z)=\frac{\xi \eta }{\zeta }F(\xi +1,\eta +1,\zeta +1;z).$$

Таким образом, уравнения движения допускают, помимо интеграла энергии, еще два первых интеграла, которые заданы неявно соотношениями (7.7) и (7.8) и представляются в виде гипергеометрических рядов.

7.2. Эффективный потенциал и стационарные движения. Хотя явный вид дополнительных первых интегралов в данной задаче неизвестен, тем не менее, учитывая тот факт, что эти интегралы линейны относительно квазискоростей и, используя выражения (7.7) и (7.8), удается построить в данной задаче эффективный потенциал (см. §1-3) и с его помощью провести полное исследование стационарных движений диска $[36,37]$.

Пусть $W=W(\theta )$ — минимум функции $H$ (интеграла энергии (7.3)) по переменным $\dot{\theta },q$ и $r$ на уровнях с и ${}_1$ и с ${}_2$ интегралов, заданных неявно соотношениями (7.7)-(7.8). Таким образом,
$$W(\theta )=\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^2[(A_3+m{a}^2)u_i{u}_j+(-1{)}^{i+j}\frac{A_3^2}{4A_1}{\sin }^2\theta v_i{v}_j]{\mathrm{c}}_i{\mathrm{c}}_j+m\mathrm{ga}\sin \theta .$$

Полагая $A_1=km{a}^2,A_3=2km{a}^2,x_i=c_i\sqrt{a/g},(i=1,2)$, выражение для $W(\theta )$ можно переписать в обезразмеренном виде
$$W(\theta )=(1/2)\sum _{i,j=1}^2{w}_{ij}{x}_i{x}_j+\sin \theta ,w_{ij}=(2k+1)u_i{u}_j+(-1{)}^{i+j}k{\sin }^2\theta v_i{v}_j.$$

Неравенство $B>1/4$ перейдет при этом в неравенство $k<3.5$ (для однородного диска $k=1/4$ ).

Известно (см. $[18,34,38]$ ), что диск может совершать стационарные движения, определяемые соотношениями
$$\theta =\alpha =\text{ const, }\dot{\theta }=0,q=q_0=\text{ const, }r=r_0=\text{ const, }$$

Рис. 6. $x_2=0.5x_1$.
Рис. 7. $x_2=x_1$.

где угол $\alpha$ выражается из уравнения $dW/{d\theta |}_{\theta =\alpha }=0$. Соотношения (7.9) отвечают стационарным движениям, при которых угол между плоскостью диска и опорной плоскостью постоянен.

В явном виде условие существования стационарных движений (7.9) $dW/{d\theta |}_{\theta =\alpha }=0$ записывается следующим образом
$$\sum _{i,j=1}^2{a}_{ij}{x}_i{x}_j-\cos \alpha =0,$$
$$a_{ij}=a_{ji}=\sin \alpha [(k+1/2)((-1{)}^i{u}_j{\hat{v}}_i+(-1{)}^j{u}_i{v}_j)+(-1{)}^{i+j}k\cos \alpha v_i{v}_j].$$

С помощью компьютерной программы MAPLE V Release 5.1 можно построить поверхность, задаваемую уравнением (7.10) в пространстве переменных $x_1,x_2$ и $\alpha$ при фиксированном значении параметра $k$, а

также сечения этой поверхности плоскостями $x_2=l{x}_1$, где постоянная $l$ принимает различные значения (рис. 4-9). На приведенных рисунках $k=1/4$, что соответствует случаю однородного диска. Отметим, что сечения, аналогичные приведенным на рис. 4-9 были построены в работе [39].

Легко видеть, что при каждом фиксированном $\alpha$ уравнение (7.10) задает некоторую кривую второго порядка. Анализ инвариантов этой кривой показывает, что при $\alpha eq\pi /2$ она представляет собой гиперболу, а при $\alpha =\pi /2$ — пару пересекающихся прямых. Эти прямые определяются равенствами $x_1=x_2$ и $x_1=-x_2$ и соответствуют двум однопараметрическим подсемействам стационарных движений диска вида
$$\begin{array}{l}\theta =\pi /2,\dot{\theta }=0,r=2u_{\ast }{\mathrm{c}}_1=\mathrm{\Omega },q=0;u_{\ast }=F(\xi ,\eta ,1;1/2),(7.11)\\ \theta =\pi /2,\dot{\theta }=0,q=2v_{\ast }{\mathrm{c}}_1=\omega ,r=0;v_{\ast }=F(\xi +1,\eta +1,2;1/2).\end{array}$$

Данные подсемейства отвечают соответственно равномерному качению вертикально расположенного диска вдоль прямой (7.11) и равномерному верчению диска вокруг вертикально расположенного диаметра (7.12). Первое устойчиво (неустойчиво) при
$${\mathrm{\Omega }}^2>{\mathrm{\Omega }}_0^2=\frac{\mathrm{g}}{2a(2k+1)}({\mathrm{\Omega }}^2<{\mathrm{\Omega }}_0^2),$$

а второе — при
$${\omega }^2>{\omega }_0^2=\frac{\mathrm{g}}{a(k+1)}({\omega }^2<{\omega }_0^2)$$
(подробнее см. [18,34,38]).

7.3. Условие устойчивости стационарных движений и его анализ. Условие устойчивости стационарных движений (7.9), полученное на основании модифицированной теоремы Рауса-Сальвадори $[10,11,18]$, имеет вид $d^{2}W/{d{\theta }^2|}_{\theta =\alpha }⩾0$, или
$$\begin{array}{c}\sum _{i,j}{b}_{ij}{x}_i{x}_j-\sin \alpha ⩾0,\\ b_{ij}=b_{ji}=2(2k+1)u_i{u}_j+(3k+1/2)\cos \alpha ((-1{)}^i{u}_j{v}_i+(-1{)}^j{u}_i{v}_j)+\\ +(-1{)}^{i+j}((k+1){\sin }^2\alpha +3k{\cos }^2\alpha )v_i{v}_j.\end{array}$$

При каждом фиксированном $\alpha$ границей области устойчивости (т.е. кривой, задаваемой уравнением $d^{2}W/{d{\theta }^2|}_{\theta =\alpha }=0$ ) также будет некоторая кривая второго порядка. Анализ ее инвариантов показывает, что при всех $k>1/\sqrt{3}-1/2$, данная кривая представляет собой эллипс с центром в начале координат (т.е. в точке $x_1=x_2=0$ ). Вне соответствующего эллипса будет область устойчивости стационарных движений (7.9), а внутри — область неустойчивости.

Таким образом, можно указать на следующую геометрическую интерпретацию условий существования и устойчивости стационарных движений диска [40] (рис. 10-11). Те стационарные движения, которые на плоскости безразмерных констант первых интегралов $x_1$ и $x_2$ соответствуют точкам гиперболы (см. пункт 7.2.), лежащим вне эллипса, очевидно, являются устойчивыми. Если для некоторого $\alpha$ эллипс и гипербола не пересекаются, то все стационарные движения, существующие для данного $\alpha$, являются устойчивыми, независимо от того, какие значения принимают величины $x_1$ и $x_2$.

Полученные условия существования и устойчивости стационарных движений диска детально анализировались в работах [36, 37]. В частности, в указанных работах было показано, что стационарные движения диска (7.9) являются устойчивыми при всех значениях $\alpha$, удовлетворяющих условию
$${\cos }^2\alpha ⩾{\cos }^2{\alpha }_{\ast }=\frac{2(2k+1)[(4k+3)-\sqrt{6(2k+1)(k+1)}]}{(2k+3{)}^2+3(2k+1{)}^2}.$$

В частности, для однородного диска $(k=1/4)$ имеем
$${\cos }^2\alpha >(24-9\sqrt{5})/38\approx 0.102,{\alpha }_{\ast }\approx 1.2457.$$

При других значениях $\alpha$ стационарные движения диска (7.9) будут устойчивы, если величина $x_1$ превосходит по модулю некоторое критическое значение, явный вид которого здесь не приводится вследствие

его громоздкости. Полученные в работах $[36,37]$ результаты полностью согласуются с приведенными в статье [39] и в настоящем обзоре бифуркационными диаграммами.