7.1. Уравнения движения и их первые интегралы. Рассмотрим движение без скольжения тяжело-о круглого диска, опирающегося о горизонтальную плоскость. Пусть $m$ – масса диска, $a$ – радиус, $A_{1}$ и $A_{3}$ – соответственно экваториальный и осевой моменты инерции, g ускорение свободного падения.

Следуя предложенному ранее подходу $[18,34]$, будем определять положение диска декартовыми координатами $x$ и $y$ проекции его центра на горизонтальную плоскость и углами Эйлера $\theta, \psi$ и $\varphi(\theta$ – угол между плоскостью диска и опорной плоскостью, $\psi$ – угол прецессии, $\varphi$ – угол собственного вращения). При этом высота центра диска над опорной плоскостью определяется соотношением $h=a \sin \theta$. Тогда функция Лагранжа и уравнения связей, выражающие отсутствие проскальзывания диска в точке его контакта с опорной плоскостью, примут вид
\[
\begin{aligned}
2 L= & m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\left(A_{1}+m a^{2} \cos ^{2} \theta\right) \dot{\theta}^{2}+ \\
& +A_{1} \dot{\psi}^{2} \sin ^{2} \theta+A_{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta)^{2}-2 m g a \sin \theta, \\
\dot{x}= & a \dot{\theta} \sin \theta \sin \psi-a(\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta) \cos \psi, \\
\dot{y}= & -a \dot{\theta} \sin \theta \cos \psi-a(\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta) \sin \psi .
\end{aligned}
\]

Функция Лагранжа и коэффициенты связей не зависят от координат $x$ и $y$, скорости которых стоят в левых частях этих связей, т.е. рассматриваемая система представляет собой консервативную неголономную систему Чаплыгина с тремя степенями свободы. Уравнения движения этой системы в форме Чаплыгина имеют вид [18]
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial \Lambda}{\partial \theta}=0, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{\varphi}}=m a^{2} \dot{\psi} \dot{\theta} \sin \theta, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{\psi}}=-m a^{2} \dot{\varphi} \dot{\theta} \sin \theta
\end{array}
\]

Функция $\Lambda$ получается из функции $L$ исключением из последней

зависимых скоростей $\dot{x}$ и $\dot{y}$ с помощью уравнений связи:
\[
2 \Lambda=\left(A_{1}+m a^{2}\right) \dot{\theta}^{2}+A_{1} \dot{\psi}^{2} \sin ^{2} \theta+\left(A_{3}+m a^{2}\right)(\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta)^{2}-2 m g a \sin \theta .
\]

В явном виде уравнения (7.1) записываются следующим образом
\[
\begin{array}{c}
\left(A_{1}+m a^{2}\right) \ddot{\theta}=A_{1} q^{2} \operatorname{ctg} \theta-\left(A_{3}+m a^{2}\right) q r-m g a \cos \theta, \\
\left(A_{3}+m a^{2}\right) \dot{r}=m a^{2} q \dot{\theta}, \quad A_{1} \frac{d}{d t}(q \sin \theta)=A_{3} r \sin \theta \dot{\theta} .
\end{array}
\]

Здесь через $q$ и $r$ обозначены выражения
\[
q=\dot{\psi} \sin \theta, \quad r=\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta,
\]

представляющие собой проекции угловой скорости диска на линию наибольшего ската и на нормаль к плоскости диска.
Полученная система уравнений имеет интеграл энергии
\[
2 H=\left(A_{1}+m a^{2}\right) \dot{\theta}^{2}+A_{1} q^{2}+\left(A_{3}+m a^{2}\right) r^{2}+2 m g a \sin \theta=\mathrm{c}_{0}=\text { const. }
\]

Покажем, что помимо данного интеграла уравнения движения имеют еще два первых интеграла. Для этого перейдем в уравнениях (7.2) к новой независимой переменной – углу $\theta$. Тогда эти уравнения примут вид
\[
\left(A_{3}+m a^{2}\right) \frac{d r}{d \theta}=m a^{2} q, \quad A_{1} \frac{d}{d \theta}(q \sin \theta)=A_{3} r \sin \theta .
\]

Из (7.4) получаем для $r$ следующее дифференциальное уравнение второго порядка
\[
\frac{d^{2} r}{d \theta^{2}}+\operatorname{ctg} \theta \frac{d r}{d \theta}-B r=0, \quad B=\frac{m a^{2} A_{3}}{A_{1}\left(A_{3}+m a^{2}\right)} .
\]

Вводя в это уравнение вместо угла $\theta$ новую независимую переменную $z$, определяемую равенством [34]
\[
\cos \theta=1-2 z,
\]

окончательно получим
\[
z(1-z) \frac{d^{2} r}{d z^{2}}+(1-2 z) \frac{d r}{d z}-B r=0 .
\]

Уравнение (7.5) представляет собой гипергеометрическое уравнение Гаусса [35]. Таким образом, рассматриваемая задача о движении диска интегрируется при помощи гипергеометрических функций.

Если обозначить через $F(\xi, \eta, \zeta ; z)$ гипергеометрический ряд Гаусca $[35]$
\[
\begin{aligned}
F(\xi, \eta, \zeta ; z) & =1+\frac{\xi \eta}{1 \cdot \zeta} z+\frac{\xi(\xi+1) \eta(\eta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \zeta(\zeta+1)} z^{2}+\cdots+ \\
& +\frac{\xi(\xi+1) \cdots(\xi+n) \eta(\eta+1) \cdots(\eta+n)}{1 \cdot 2 \cdots(n+1) \zeta(\zeta+1) \cdots(\zeta+n)} z^{n+1}+\cdots
\end{aligned}
\]

то уравнение
\[
z(1-z) \frac{d^{2} r}{d z^{2}}+[\zeta-(\xi+\eta+1) z] \frac{d r}{d z}-\xi \eta r=0
\]

допускает [35] следующие частные решения
\[
F(\xi, \eta, \zeta ; z), \quad F(\xi, \eta, \xi+\eta-\zeta+1 ; 1-z) .
\]

Для уравнения (7.5)
\[
\zeta=1, \quad \xi+\eta=1, \quad \xi \eta=B
\]

и, следовательно, его общее решение имеет вид
\[
r=\mathrm{c}_{1} F(\xi, \eta, 1 ; z)+\mathrm{c}_{2} F(\xi, \eta, 1 ; 1-z),
\]

где $\mathrm{c}_{1}, \mathrm{c}_{2}$ – произвольные постоянные, а $\xi$ и $\eta$ – корни квадратного уравнения $s^{2}-s+B=0$.

В дальнейшем будем предполагать, что $\xi$ и $\eta$ являются комплексно сопряженными числами, т.е. справедливо неравенство $B>1 / 4$, которое заведомо выполнено для однородного диска ( $A_{3}=2 A_{1}=m a^{2} / 2, B=4 / 3$ ). Отметим [35], что ряд (7.6) сходится равномерно на любом отрезке числовой оси, лежащем внутри интервала $-1<z<1$.

Возвращаясь от $z$ к прежней независимой переменной $\theta$, получим функцию $r(\theta)$ в виде
\[
r=\sum_{i=1}^{2} \mathrm{c}_{i} u_{i}, u_{i}=F\left(\xi, \eta, 1 ;\left(1+(-1)^{i} \cos \theta\right) / 2\right), i=1,2 .
\]

Функцию $q=q(\theta)$ находим из соотношений (7.4) и (7.7)
\[
\begin{array}{c}
q=\frac{A_{3}}{2 A_{1}} \sin \theta \sum_{i=1}^{2}(-1)^{i+1} \mathrm{c}_{i} v_{i} \\
v_{i}=F\left(\xi+1, \eta+1,2 ;\left(1+(-1)^{i} \cos \theta\right) / 2\right), \quad i=1,2
\end{array}
\]

с учетом выражения для производной гипергеометрической функции
\[
\frac{d}{d z} F(\xi, \eta, \zeta ; z)=\frac{\xi \eta}{\zeta} F(\xi+1, \eta+1, \zeta+1 ; z) .
\]

Таким образом, уравнения движения допускают, помимо интеграла энергии, еще два первых интеграла, которые заданы неявно соотношениями (7.7) и (7.8) и представляются в виде гипергеометрических рядов.

7.2. Эффективный потенциал и стационарные движения. Хотя явный вид дополнительных первых интегралов в данной задаче неизвестен, тем не менее, учитывая тот факт, что эти интегралы линейны относительно квазискоростей и, используя выражения (7.7) и (7.8), удается построить в данной задаче эффективный потенциал (см. §1-3) и с его помощью провести полное исследование стационарных движений диска $[36,37]$.

Пусть $W=W(\theta)$ – минимум функции $H$ (интеграла энергии (7.3)) по переменным $\dot{\theta}, q$ и $r$ на уровнях с и $_{1}$ и с $_{2}$ интегралов, заданных неявно соотношениями (7.7)-(7.8). Таким образом,
\[
W(\theta)=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{2}\left[\left(A_{3}+m a^{2}\right) u_{i} u_{j}+(-1)^{i+j} \frac{A_{3}^{2}}{4 A_{1}} \sin ^{2} \theta v_{i} v_{j}\right] \mathrm{c}_{i} \mathrm{c}_{j}+m \operatorname{ga} \sin \theta .
\]

Полагая $A_{1}=k m a^{2}, A_{3}=2 k m a^{2}, x_{i}=c_{i} \sqrt{a / g},(i=1,2)$, выражение для $W(\theta)$ можно переписать в обезразмеренном виде
\[
W(\theta)=(1 / 2) \sum_{i, j=1}^{2} w_{i j} x_{i} x_{j}+\sin \theta, w_{i j}=(2 k+1) u_{i} u_{j}+(-1)^{i+j} k \sin ^{2} \theta v_{i} v_{j} .
\]

Неравенство $B>1 / 4$ перейдет при этом в неравенство $k<3.5$ (для однородного диска $k=1 / 4$ ).

Известно (см. $[18,34,38]$ ), что диск может совершать стационарные движения, определяемые соотношениями
\[
\theta=\alpha=\text { const, } \dot{\theta}=0, q=q_{0}=\text { const, } r=r_{0}=\text { const, }
\]

Рис. 6. $x_{2}=0.5 x_{1}$.
Рис. 7. $x_{2}=x_{1}$.

где угол $\alpha$ выражается из уравнения $d W /\left.d \theta\right|_{\theta=\alpha}=0$. Соотношения (7.9) отвечают стационарным движениям, при которых угол между плоскостью диска и опорной плоскостью постоянен.

В явном виде условие существования стационарных движений (7.9) $d W /\left.d \theta\right|_{\theta=\alpha}=0$ записывается следующим образом
\[
\sum_{i, j=1}^{2} a_{i j} x_{i} x_{j}-\cos \alpha=0,
\]
\[
a_{i j}=a_{j i}=\sin \alpha\left[(k+1 / 2)\left((-1)^{i} u_{j} \hat{v}_{i}+(-1)^{j} u_{i} v_{j}\right)+(-1)^{i+j} k \cos \alpha v_{i} v_{j}\right] .
\]

С помощью компьютерной программы MAPLE V Release 5.1 можно построить поверхность, задаваемую уравнением (7.10) в пространстве переменных $x_{1}, x_{2}$ и $\alpha$ при фиксированном значении параметра $k$, а

также сечения этой поверхности плоскостями $x_{2}=l x_{1}$, где постоянная $l$ принимает различные значения (рис. 4-9). На приведенных рисунках $k=1 / 4$, что соответствует случаю однородного диска. Отметим, что сечения, аналогичные приведенным на рис. 4-9 были построены в работе [39].

Легко видеть, что при каждом фиксированном $\alpha$ уравнение (7.10) задает некоторую кривую второго порядка. Анализ инвариантов этой кривой показывает, что при $\alpha
eq \pi / 2$ она представляет собой гиперболу, а при $\alpha=\pi / 2$ – пару пересекающихся прямых. Эти прямые определяются равенствами $x_{1}=x_{2}$ и $x_{1}=-x_{2}$ и соответствуют двум однопараметрическим подсемействам стационарных движений диска вида
\[
\begin{array}{l}
\theta=\pi / 2, \quad \dot{\theta}=0, \quad r=2 u_{*} \mathrm{c}_{1}=\Omega, \quad q=0 ; \quad u_{*}=F(\xi, \eta, 1 ; 1 / 2), \quad(7.11) \\
\theta=\pi / 2, \quad \dot{\theta}=0, \quad q=2 v_{*} \mathrm{c}_{1}=\omega, \quad r=0 ; \quad v_{*}=F(\xi+1, \eta+1,2 ; 1 / 2) .
\end{array}
\]

Данные подсемейства отвечают соответственно равномерному качению вертикально расположенного диска вдоль прямой (7.11) и равномерному верчению диска вокруг вертикально расположенного диаметра (7.12). Первое устойчиво (неустойчиво) при
\[
\Omega^{2}>\Omega_{0}^{2}=\frac{\mathrm{g}}{2 a(2 k+1)} \quad\left(\Omega^{2}<\Omega_{0}^{2}\right),
\]

а второе – при
\[
\omega^{2}>\omega_{0}^{2}=\frac{\mathrm{g}}{a(k+1)} \quad\left(\omega^{2}<\omega_{0}^{2}\right)
\]
(подробнее см. [18,34,38]).

7.3. Условие устойчивости стационарных движений и его анализ. Условие устойчивости стационарных движений (7.9), полученное на основании модифицированной теоремы Рауса-Сальвадори $[10,11,18]$, имеет вид $d^{2} W /\left.d \theta^{2}\right|_{\theta=\alpha} \geqslant 0$, или
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i, j} b_{i j} x_{i} x_{j}-\sin \alpha \geqslant 0, \\
b_{i j}=b_{j i}=2(2 k+1) u_{i} u_{j}+(3 k+1 / 2) \cos \alpha\left((-1)^{i} u_{j} v_{i}+(-1)^{j} u_{i} v_{j}\right)+ \\
+(-1)^{i+j}\left((k+1) \sin ^{2} \alpha+3 k \cos ^{2} \alpha\right) v_{i} v_{j} .
\end{array}
\]

При каждом фиксированном $\alpha$ границей области устойчивости (т.е. кривой, задаваемой уравнением $d^{2} W /\left.d \theta^{2}\right|_{\theta=\alpha}=0$ ) также будет некоторая кривая второго порядка. Анализ ее инвариантов показывает, что при всех $k>1 / \sqrt{3}-1 / 2$, данная кривая представляет собой эллипс с центром в начале координат (т.е. в точке $x_{1}=x_{2}=0$ ). Вне соответствующего эллипса будет область устойчивости стационарных движений (7.9), а внутри – область неустойчивости.

Таким образом, можно указать на следующую геометрическую интерпретацию условий существования и устойчивости стационарных движений диска [40] (рис. 10-11). Те стационарные движения, которые на плоскости безразмерных констант первых интегралов $x_{1}$ и $x_{2}$ соответствуют точкам гиперболы (см. пункт 7.2.), лежащим вне эллипса, очевидно, являются устойчивыми. Если для некоторого $\alpha$ эллипс и гипербола не пересекаются, то все стационарные движения, существующие для данного $\alpha$, являются устойчивыми, независимо от того, какие значения принимают величины $x_{1}$ и $x_{2}$.

Полученные условия существования и устойчивости стационарных движений диска детально анализировались в работах [36, 37]. В частности, в указанных работах было показано, что стационарные движения диска (7.9) являются устойчивыми при всех значениях $\alpha$, удовлетворяющих условию
\[
\cos ^{2} \alpha \geqslant \cos ^{2} \alpha_{*}=\frac{2(2 k+1)[(4 k+3)-\sqrt{6(2 k+1)(k+1)}]}{(2 k+3)^{2}+3(2 k+1)^{2}} .
\]

В частности, для однородного диска $(k=1 / 4)$ имеем
\[
\cos ^{2} \alpha>(24-9 \sqrt{5}) / 38 \approx 0.102, \alpha_{*} \approx 1.2457 .
\]

При других значениях $\alpha$ стационарные движения диска (7.9) будут устойчивы, если величина $x_{1}$ превосходит по модулю некоторое критическое значение, явный вид которого здесь не приводится вследствие

его громоздкости. Полученные в работах $[36,37]$ результаты полностью согласуются с приведенными в статье [39] и в настоящем обзоре бифуркационными диаграммами.