6.1. Системы с псевдоциклическими координатами. Рассмотрим консервативную неголономную систему Чаплыгина. Уравнения движения системы возьмем в виде (4.4), (4.5) и напомним, что уравнения (4.5) замкнуты относительно переменных х , отвечающих независимым скоростям, и допускают интеграл «энергии» (4.6). Предположим, что координаты $\mathbf{s}$ системы – псевгоциклические, т.е. выполнены условия (4.7), (4.8). Тогда уравнения движения этой системы можно привести к виду (4.14), где $\mathbf{r}$ – позиционные координаты системы. Уравнения (4.14) допускают установившиєся движения (4.15), которые образуют $m$-параметрическое семейство, определяемое соотношениями (4.16) $(m=\operatorname{dim} \mathbf{s})$.

Согласно результатам $\S 4$, устсйчивость этих движений зависит от свойств нулевого решения линейной приведенной системы (4.20); при этом для получения достаточных условий устойчивости установившихся движений (4.15) требуется нетривиальность матрицы $\mathbf{D}_{0}$ диссипативноускоряющих сил, действующих на линейную приведенную систему.

Рассмотрим теперь случай, когда матрица этих сил тождественно по позиционным координатам обращается в нулевую при любых значениях скоростей псевдоциклических координат. Точнее, предположим, что (см. (4.21))
\[
\omega_{\alpha i j}+\theta^{\beta \gamma}\left(\theta_{\gamma i} \omega_{\beta \alpha j}+\theta_{\beta j} \omega_{i \gamma \alpha}\right)+\omega_{\alpha j i}+\theta^{\beta \gamma}\left(\theta_{\gamma j} \omega_{\beta \alpha i}+\theta_{\beta i} \omega_{j \gamma \alpha}\right) \equiv 0 .
\]

При этом (см. выражения для коэффициентов системы (4.14))
\[
\hat{\omega}_{i \beta j}+\hat{\omega}_{j \beta i} \equiv 0, \quad \hat{\omega}_{\alpha i j}+\hat{\omega}_{\alpha j i} \equiv 0,
\]

и уравнения (4.14) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial R_{2}}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=\frac{\partial R_{2}}{\partial \mathbf{r}}-\tilde{\mathbf{G}} \dot{\mathbf{r}}-\frac{\partial W}{\partial \mathbf{r}}-\Gamma^{T} \frac{\partial W}{\partial \mathbf{p}}, \quad \dot{\mathbf{p}}=\Gamma \dot{\mathbf{r}}, \\
\tilde{\mathbf{G}}=\left(\tilde{g}_{i j}\right), \quad \tilde{g}_{i j}=\hat{g}_{i j}-\hat{\omega}_{i \beta j} \frac{\partial W}{\partial p_{\beta}}-\hat{\omega}_{i j h} \dot{r_{h}}+\theta_{i \alpha} \theta^{\alpha \beta} \hat{\omega}_{\beta h j} \dot{r_{h}}
\end{array}
\]
(остальные обозначения совпадают с введенными в § 4).
Очевидно, уравнения (6.1) допускают обобщенный интеграл энергии
\[
U_{0}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}, \mathbf{p})=R_{2}+W=\mathrm{c}_{0} .
\]

Если матрица Г – нулевая, то уравнения (6.1) совпадают с уравнениями движения консервативных механических систем с циклическими координатами, записанными в переменных Рауса $[1,2]$ и допускают $m$ циклических интегралов
\[
U_{1}=p_{1}=\mathrm{c}_{1}, \ldots U_{m}=p_{m}=\mathrm{c}_{m} .
\]

При этом стационарным значениям интеграла (6.2) при фиксированных значениях интегралов (6.3) отвечают стационарные движения вида
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}^{0}, \quad \dot{\mathbf{r}}=\mathbf{0}, \quad \mathbf{p}=\mathbf{p}^{0},
\]

причем постоянные $\mathbf{p}^{0}$ произвольны, а постоянные $\mathbf{r}^{0}$ определяются из уравнений
\[
\partial W / \partial \mathbf{r}=\mathbf{0}
\]
(стационарные движения (6.4) образуют семейство $S_{0}$ размерности, не меньшей числа циклических координат).

Для таких ( $\Gamma=0$ ) систем теорема Рауса может быть сформулирована в следующем виде $[1,2,6]$.

ТЕОРЕма 6.1. Если функция $W$ (эффективный потенциал) имеет строгий минимум в точке $\left(\mathbf{r}^{0}, \mathbf{p}^{0}\right.$ ) при фиксированных значениях интегралов (6.3), то соответствующее стационарное движение (6.4) устойчиво.

Отметим, что условия теоремы 6.1 заведомо выполнены, если все собственные значения матрицы $\left(\partial^{2} W / \partial \mathbf{r}^{2}\right)$ положительны в точке $\left(\mathbf{r}^{0}, \mathbf{p}^{0}\right)$.

В общем случае $\Gamma
eq 0$ система уравнений (6.1) также допускает стационарные движения вида (6.4), однако при этом постоянные $\mathbf{r}^{0}$ и $\mathbf{p}^{0}$ определяются из уравнений
\[
\frac{D W}{D \mathbf{r}}=\mathbf{0} \quad\left(\frac{D}{D \mathrm{r}} \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\partial}{\partial \mathbf{r}}+\Gamma^{T} \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}}\right),
\]

которые, вообще говоря, не совпадают с уравнениями (6.5). Очевидно, как и в случае $\Gamma=\mathbf{0}$, стационарные движения (6.4) образуют семейство размерности, не меньшей числа псевдоциклических координат, поскольку $k$ уравнений (6.6) служат для определения $k+m$ неизвестных $\mathbf{r}, \mathbf{p}$. Будем по-прежнему обозначать это семейство через $S_{0}$.

Достаточные условия устойчивости таких стационарных движений дает следующая
ТЕОРЕма 6.2. $[18,33]$ Если все собственные значения матрицы
\[
D^{2} W / D \mathbf{r}^{2}
\]

положительны в точке $\left(\mathbf{r}^{0}, \mathbf{p}^{0}\right)$ и в некоторой окрестности этой точки выполнены соотношения
\[
\begin{array}{c}
\partial \gamma_{\alpha i \beta} / \partial r_{j}-\partial \gamma_{\alpha j \beta} / \partial r_{i}+\left(\gamma_{\alpha i \delta} \gamma_{\delta j \beta}-\gamma_{\alpha j \delta} \gamma_{\delta i \beta}\right) \equiv 0, \\
(i, j=1, \ldots, k ; \quad \alpha, \beta=1, \ldots, m)
\end{array}
\]
(выражения для $\gamma_{\alpha i \beta}$ см. в § 4), то стационарное движение (6.4) системы (6.1) устойчиво.

Кроме того, как в случае $\Gamma=\mathbf{0}$, так и в случае $\Gamma
eq \mathbf{0}$ справедлива (ср. с теоремой 2.3)

ТЕорема 6.3. Если определитель матрицы (6.7) меньше нуля в точке $\left(\mathbf{r}^{0}, \mathbf{p}^{0}\right)$, то стационарное движение (6.4) неустойчиво.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.1. При выполнении условий (6.8) система (6.1), кроме обобщенного интеграла энергии, допускает $m$ первых интегралов вида
\[
\mathbf{U}(\mathbf{r}, \mathbf{p})=\mathbf{c},\left(\mathbf{c} \in \mathbf{R}^{m}, \mathbf{U}(\mathbf{r}, \mathbf{p}) \in \mathcal{C}^{1}: O_{\delta} \rightarrow \mathbf{R}^{m}\right) .
\]

ЗАмЕЧАНИЕ 6.2. Применение теоремы 6.2 для исследования устойчивости стационарных движений (6.4) системы (6.1) связано с исследованием собственных значений матрицы (6.7) и требует лишь знания функции $W(\mathbf{r}, \mathbf{p})$ и матрицы $\Gamma(\mathbf{r}, \mathbf{p})$; явные выражения интегралов (6.9) (а также матриц $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ и $\tilde{\mathbf{G}}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}, \mathbf{p})\left(2 R_{2}=(\mathbf{A}(\mathbf{r}) \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}})\right)$ при этом не требуются. Отметим также, что условие стационарности интеграла (6.2) при постоянных значениях интегралов (6.9) имеют вид (6.6) и также не требуют знания явного вида последних. Более того, уравнения (6.6) определяют установившиеся решения (6.4) системы (6.1) и в случае отсутствия этих интегралов (т.е. при невыполнении условий (6.8)).

ЗАМЕЧАНИЕ 6.3. Условия (6.8) заведомо выполнены, если $\Gamma=\mathbf{0}$ (при этом интегралы (6.9) можно выписать в явном виде (6.3)) или если (при $\Gamma
eq \mathbf{0}$ ) $\operatorname{dim} \mathbf{r}=1$ (при этом интегралы (6.9), вообще говоря, в явном виде выписать невозможно).

Замечание 6.4. При фиксированных значениях постоянных $\mathbf{p}^{0}$ как уравнения (6.5), так и уравнения (6.6) (относительно r) могут иметь не только решение $\mathbf{r}^{0}$, но и, вообще говоря, решения $\mathbf{r}^{1}, \mathbf{r}^{2}, \ldots$, которые также зависят от постоянных $\mathbf{p}$, т.е. стационарные движения $\mathbf{r}^{1}(\mathbf{p})$, $\mathbf{r}^{2}(\mathbf{p}), \ldots$ образуют семейства $S_{1}, S_{2}, \ldots$ Таким образом, множество $S$ всех стационарных движений рассматриваемой системы представляет собой объединение семейств $S_{0}, S_{1}, S_{2}, \ldots$