Не предполагая здесь подробно останавливаться на исторических и описательных аспектах, касающихся движения кельтских камней, отметим только, что они подробно обсуждаются в литературе, приведенной в книге [8]. Замечательные свойства кельтских камней были замечены Г. Т. Уолкером (G. T. Walker) в 1895 г., который дал их элементарное физическое описание. Задачей занимались также Г. Герглотц (1941), К. Магнус (1974), которые, в основном исследовали вопросы устойчивости. Мы будем в дальнейшем ссылаться на работы И.С.Астапова [1], А. В. Карапетяна [3, 4], А.П.Маркеева [7], имеющие непосредственное отношение к нашим результатам, а также на численную работу Линдберга, Лонгмана (R. E. Lindberg, R. W. Longman) [11], краткий анализ которой содержится в приложении. Среди других авторов, занимавшихся проблемой, видимо следует отметить Кейна и Левинсона (T. R. Kane, D. A. Levinson) [10], М.Паскаль [9].

Напомним, что необычное поведение кельтского камня заключается в следующем, Если его поместить на горизонтальную плоскость и закрутить в определенном направлении вдоль вертикальной оси, то он может устойчиво продолжать свое вращение. Если же направление вращения изменить на противоположное, то он вскоре перестает вращаться, начинает колебаться вокруг горизонтальной оси, а потом без внешнего воздействия меняет направление вращения вокруг вертикальной оси

на противоположное (явление реверса). Для некоторых моделей камней такие смены вращения могут наблюдаться при любом направлении вертикального вращения и происходят многократно. Популярное изложение физических опытов с кельтскими камнями содержится в статье Дж. Уолкера (J. Walker) в журнале Scientific American [12].

Существует несколько динамических моделей, иллюстрирующих поведение кельтского камня. Наиболее общая постановка заключается в исследовании движения твердого тела по горизонтальной плоскости с учетом силы тяжести и силы трения (диссипации), которое может быть, например, сухим (кулоновским) или вязким (пропорциональным скорости). Однако такая общая постановка не допускает подробного динамического анализа в силу своей сложности. Фактически здесь выполнено лишь несколько численных экспергментов.

Менее реалистической, но более простой и наглядной является неголономная модель движения кельтского камня. Отметим, что неголономные динамические системы занимают некоторое промежуточное положение между обычными лагранжевыми (и гамильтоновыми) и общими диссипативными системами. Например, как правило, неголономные системы обладают интегралом энергии (и в этом смысле являются консервативными и близкими к гамильтоновым), а с другой стороны — у них отсутствует инвариантная мера [6]. Отсутствие инвариантной меры типично для диссипативных систем, в то же время, гамильтоновы системы всегда обладают стандартной инвариантной мерой в силу теоремы Лиувилля.

Более подробно с различными формами уравнений неголономной механики можно ознакомиться по книгам $[5,8]$. В данной работе для вывода уравнений движения мы не будем пользоваться этими формами, а приведем уравнения движения кельтского камня без вывода, хотя их и легко получить из общих принципов динамики (закона изменения кинетического момента и некоторых кинематических уравнений). В частности, основным постулируемым свойством неголономной модели является наличие неинтегрируемой связи, состоящей в том, что скорость точки контакта тела и плоскости равняется нулю. Это условие сильно отличается от гамильтоновой модели полного проскальзывания (абсолютно гладкая плоскость) и не допускает действия силы трения скольжения. В этом случае говорят об абсолютно шероховатой плоскости (поверхности) и об условии полного сцепления. Несложно видеть, что при полном сцеплении (т.к. силы трения не совершают работы) имеется интеграл энергии и система является консервативной.

Неголономная модель динамики кельтского камня, как оказывается, ухватывает основные качественные свойства его движения, но вследствие отсутствия проскальзывания и наличия интеграла энергии все

эффекты (колебания и перевороты) проходят за существенно бо́льшее время, чем в реальных экспериментах. Тем не менее для первоначального физического описания такая модель применяется наиболее часто (см. [1, 3, 4, 5, 7, 9, 10]).

Рис. 1

Условие отсутствия проскальзывания между телом и плоскостью можно записать в виде
$$\mathit{v}+\mathit{\omega }\times \mathit{r}=0,$$

где $r$ — радиус-вектор, соединяющий центр масс $G$ с точкой контакта $R,\mathit{v},\mathit{\omega }-$ скорость центра масс и угловая скорость тела соответственно (см. рис. 1). В дальнейшем все вектора мы предполагаем спроецированными на оси, жестко связанные с твердым телом.

Уравнения движения твердого тела имеют вид (см. [5])
$$\{\begin{array}{l}\dot{\mathit{M}}=\mathit{M}\times \mathit{\omega }+m\dot{\mathit{r}}\times (\mathit{\omega }\times \mathit{r})+mg\mathit{r}\times \gamma ,\\ \dot{\mathit{\gamma }}=\gamma \times \mathit{\omega },\end{array}$$

где $\mathit{M}=\mathbf{I}\mathit{\omega }+m\mathit{r}\times (\mathit{\omega }\times \mathit{r})-$ кинетический момент тела относительно точки контакта, $\gamma$ — единичный орт вертикали, $mg-$ вес тела. Уравнения (2) аналогичны классическим уравнениям Эйлера-Пуассона, описывающим движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, они обладают двумя интегралами
$$\mathcal{H}=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathit{\omega })-mg(\mathit{r},\mathit{\gamma }),(\mathit{\gamma },\mathit{\gamma })=1$$

энергии и геометрическим. При этом предполагается, что вектора $\mathit{r}$ и $\gamma$ связаны соотношением, задающим гауссову проекцию
$$\gamma =-\frac{\mathrm{grad}F(\mathit{r})}{|\mathrm{grad}F(\mathit{r})|}$$

где $F(\mathit{r})=0$ представляет собой уравнение поверхности тела в жестко связанных с ним осях.

В отличие от уравнений Эйлера-Пуассона, для уравнений (2) в общем случае уже отсутствует интеграл площадей и инвариантная мера, что приводит к новым динамическим эффектам, не типичным для гамильтоновых систем.