Пусть $L(\dot{x}, x, t)$ – лагранжиан неголономной системы, удовлетворяющий следующему условию «регулярности»: квадратичная форма
\[
\left\langle\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{x}} \xi, \xi\right\rangle
\]

положительно определена. В частности, $\operatorname{det}\left\|L_{\dot{x} \dot{x}}^{\prime \prime}\right\|
eq 0$. Связи (не обязательно линейные) задаются уравнениями
\[
f_{1}(\dot{x}, x, t)=\ldots=f_{m}(\dot{x}, x, t)=0
\]

с независимыми ковекторами
\[
\frac{\partial f_{1}}{\partial \dot{x}}, \ldots, \frac{\partial f_{m}}{\partial \dot{x}} .
\]

Уравнения движения можно представить в виде уравнений Лагранжа со множителями
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=\sum_{s=1}^{m} \lambda_{s} \frac{\partial f_{s}}{\partial \dot{x}}, \quad f_{1}=\ldots=f_{m}=0 .
\]

Предложение 6. Если функции $L, f_{1}, \ldots, f_{m}$ удовлетворяют сформулированным выше условиям, то каждому начальному состоянию системы, допустимому связями (6.1), отвечает единственное решение уравнений (6.2).

Действительно, в этих предположениях по теореме о неявных функциях множители $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ являются гладкими функциями от $\dot{x}, x$ и $t$.

Предположим теперь, что уравнения (6.2) имеют первый интеграл $F(\dot{x}, x, t)$. Имеет место следующее:

Предложение 7. Если ковекторы $\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}, \frac{\partial f_{1}}{\partial \dot{x}}, \ldots, \frac{\partial f_{m}}{\partial \dot{x}}$ независимь, то функция $x(t)$ является решением уравнений (6.2) с постоянной интеграла $F=$ с тогда и только тогда, когда эта функция является движением механической системы с лагранжианом $L$ и со связями $f_{1}=\ldots=f_{m}=f_{m+1}=c$, где $f_{m+1}=F-c$.

В одну сторону утверждение очевидно: функция $x(t)$ удовлетворяет уравнениям вида (6.2), в которых надо положить $\lambda_{m+1}=0$. Обратно, пусть $x(t)$ – решение системы вида (6.2), в которой индекс $s$ пробегает значения от 1 до $m+1$. Пусть $y(i)-$ единственное движение исходной системы (6.2) с начальными данными $y(0)=x(0), \dot{y}(0)=\dot{x}(0)$. Очевидно, что $\left.F\right|_{y(t)}=c$. Функция $y(t)$, как и функция $x(t)$, удовлетворяет уравнениями движения «расширенной» системы, причем $\lambda_{m+1}=0$. Для завершения доказательства осталось воспользоваться заключением предложения 6.

Укажем одно из возможных применений предложения 7. Предположим, что функции $f_{i}$ линейны по скоростям, а связи (6.1) неинтегрируемы. Если уравнения движения имеют линейный интеграл $F$, то уравнения
\[
f_{1}=\ldots=f_{m}=f_{m+:}=0 \quad\left(f_{m+1}=F-c\right)
\]

могут оказаться вполне интегрируємыми. В этом случае изучение движений, лежащих на множестве уровня $F=c$, сводится к исследованию некоторой голономной системы. При этом совсем не обязательно интегрировать уравнения связи, поскольку координаты можно считать избыточными и уравнения движения можно записать в виде уравнений Гамильтона в избыточных координстах (см. [11, 15]).

В качестве примера рассмотрим задачу Суслова в однородном силовом поле в интегрируемом случае Е.И.Харламовой. Уравнения $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\omega}\rangle=$ $=0$ и $\langle\mathbf{I} \omega, \boldsymbol{b}\rangle=0$ образуют на многообразии положений твердого тела (на группе $S O(3)$ ) интегрируемое поле направлений. Таким образом, в этом случае задача Г.К.Суслова сводится к системе с одной степенью свободы. Правда, одномерное многообразие положений такой системы в общем случае незамкнуто в $S O(3)$.

Если связи нелинейны по скоростям, то в качестве первого интеграла естественно использовать интеграл энергии ${ }^{1}$
\[
H(\dot{x}, x)=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{x}-L
\]

Рассмотрим, например, систему Аппеля – Гамеля с лагранжианом
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+g z, \quad g=\text { const }
\]

и нелинейной связью
\[
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=k^{2} \dot{z}^{2}, \quad k=\text { const }
eq 0
\]
(см. [16] и [17]). Из интеграла энергии
\[
\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-g z=h
\]

и уравнения (6.3) получаем уравнение «интегрируемой» связи
\[
\frac{\dot{z}\left(1+k^{2}\right)}{2}-g z=h .
\]

Следовательно, координата $z$ изменяется с постоянным ускорением $g /\left(1+k^{2}\right)$. Исключая нелинейную интегрируемую связь (6.4) (то есть считая $z$ известной функцией времени), мы приходим к более простой системе с двумя степенями свободы с лагранжианом
\[
\widetilde{L}=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)
\]

и связью $\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=f(t)$, где $f=k^{2} \dot{z}^{2}$ – известная квадратичная функция времени. Дальнейшее интегрирование проводится без труда.