Пусть $L(\dot{x},x,t)$ — лагранжиан неголономной системы, удовлетворяющий следующему условию «регулярности»: квадратичная форма
$$⟨\frac{{\partial }^{2}L}{\partial \dot{x}}\xi ,\xi ⟩$$

положительно определена. В частности, $\det \Vert L_{\dot{x}\dot{x}}^{\prime \prime }\Vert eq0$. Связи (не обязательно линейные) задаются уравнениями
$$f_1(\dot{x},x,t)=\dots =f_m(\dot{x},x,t)=0$$

с независимыми ковекторами
$$\frac{\partial f_1}{\partial \dot{x}},\dots ,\frac{\partial f_m}{\partial \dot{x}}.$$

Уравнения движения можно представить в виде уравнений Лагранжа со множителями
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=\sum _{s=1}^m{\lambda }_s\frac{\partial f_s}{\partial \dot{x}},f_1=\dots =f_m=0.$$

Предложение 6. Если функции $L,f_1,\dots ,f_m$ удовлетворяют сформулированным выше условиям, то каждому начальному состоянию системы, допустимому связями (6.1), отвечает единственное решение уравнений (6.2).

Действительно, в этих предположениях по теореме о неявных функциях множители ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ являются гладкими функциями от $\dot{x},x$ и $t$.

Предположим теперь, что уравнения (6.2) имеют первый интеграл $F(\dot{x},x,t)$. Имеет место следующее:

Предложение 7. Если ковекторы $\frac{\partial F}{\partial \dot{x}},\frac{\partial f_1}{\partial \dot{x}},\dots ,\frac{\partial f_m}{\partial \dot{x}}$ независимь, то функция $x(t)$ является решением уравнений (6.2) с постоянной интеграла $F=$ с тогда и только тогда, когда эта функция является движением механической системы с лагранжианом $L$ и со связями $f_1=\dots =f_m=f_{m+1}=c$, где $f_{m+1}=F-c$.

В одну сторону утверждение очевидно: функция $x(t)$ удовлетворяет уравнениям вида (6.2), в которых надо положить ${\lambda }_{m+1}=0$. Обратно, пусть $x(t)$ — решение системы вида (6.2), в которой индекс $s$ пробегает значения от 1 до $m+1$. Пусть $y(i)-$ единственное движение исходной системы (6.2) с начальными данными $y(0)=x(0),\dot{y}(0)=\dot{x}(0)$. Очевидно, что ${F|}_{y(t)}=c$. Функция $y(t)$, как и функция $x(t)$, удовлетворяет уравнениями движения «расширенной» системы, причем ${\lambda }_{m+1}=0$. Для завершения доказательства осталось воспользоваться заключением предложения 6.

Укажем одно из возможных применений предложения 7. Предположим, что функции $f_i$ линейны по скоростям, а связи (6.1) неинтегрируемы. Если уравнения движения имеют линейный интеграл $F$, то уравнения
$$f_1=\dots =f_m=f_{m+:}=0(f_{m+1}=F-c)$$

могут оказаться вполне интегрируємыми. В этом случае изучение движений, лежащих на множестве уровня $F=c$, сводится к исследованию некоторой голономной системы. При этом совсем не обязательно интегрировать уравнения связи, поскольку координаты можно считать избыточными и уравнения движения можно записать в виде уравнений Гамильтона в избыточных координстах (см. [11, 15]).

В качестве примера рассмотрим задачу Суслова в однородном силовом поле в интегрируемом случае Е.И.Харламовой. Уравнения $⟨\mathit{a},\mathit{\omega }⟩=$ $=0$ и $⟨\mathbf{I}\omega ,\mathit{b}⟩=0$ образуют на многообразии положений твердого тела (на группе $SO(3)$ ) интегрируемое поле направлений. Таким образом, в этом случае задача Г.К.Суслова сводится к системе с одной степенью свободы. Правда, одномерное многообразие положений такой системы в общем случае незамкнуто в $SO(3)$.

Если связи нелинейны по скоростям, то в качестве первого интеграла естественно использовать интеграл энергии ${}^1$
$$H(\dot{x},x)=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\dot{x}-L$$

Рассмотрим, например, систему Аппеля — Гамеля с лагранжианом
$$L=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)+gz,g=\text{ const }$$

и нелинейной связью
$${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2=k^2{\dot{z}}^2,k=\text{ const }eq0$$
(см. [16] и [17]). Из интеграла энергии
$$\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)-gz=h$$

и уравнения (6.3) получаем уравнение «интегрируемой» связи
$$\frac{\dot{z}(1+k^2)}{2}-gz=h.$$

Следовательно, координата $z$ изменяется с постоянным ускорением $g/(1+k^2)$. Исключая нелинейную интегрируемую связь (6.4) (то есть считая $z$ известной функцией времени), мы приходим к более простой системе с двумя степенями свободы с лагранжианом
$$\tilde{L}=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)$$

и связью ${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2=f(t)$, где $f=k^2{\dot{z}}^2$ — известная квадратичная функция времени. Дальнейшее интегрирование проводится без труда.