4.1. Постановка задачи. Рассмотрим консервативную механическую систему, положение которой определяется $n+u$ обобщенными координатами $\mathbf{z}={(z_1,\dots ,z_{n+u})}^T$, а обобщенные скорости $\dot{\mathbf{z}}=$ $={({\dot{z}}_1,\dots ,{\dot{z}}_{n+u})}^T$ стеснены $u$ неинтегрируемыми соотношениями вида
$$\mathbf{N}(\mathbf{z})\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{0},$$

где $\mathbf{N}(\mathbf{z})-u\times (n+u)$-матрица $(\mathbf{N}(\mathbf{z})\in {\mathcal{C}}^1,\mathrm{rank}\mathbf{N}=u)$, а символ $T$ обозначает транспонирование. Такая система является неголономной и ее движение можно описать уравнениями Лагранжа первого рода
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\mathbf{z}}}=\frac{\partial T}{\partial \mathbf{z}}-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{z}}+{\mathbf{N}}^T\mathit{\lambda }.$$

Здесь $2T=(\bar{\mathbf{A}}(\mathbf{z})\dot{\mathbf{z}}\cdot \dot{\mathbf{z}})$ — кинетическая энергия, $V=V(\mathbf{z})$ — потенциальная энергия ( $\bar{\mathbf{A}}(\mathbf{z})\in {\mathcal{C}}^2,\mathbf{V}(\mathbf{z})\in {\mathcal{C}}^2$ ), $\lambda \in {\mathbf{R}}^u$ — неопределенные множители Лагранжа. Система (4.1), (4.2) замкнута относительно переменных $\mathbf{z},\lambda$ и допускает интеграл энергии
$$T+V=\text{ const. }$$

Разрешая уравнения неголономных связей (4.1) относительно каких либо $u$ обобщенных скоростей, что всегда можно сделать, поскольку $\mathrm{rank}\mathbf{N}=u$, представим эти уравнения в виде
$$\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{M}(\mathbf{x},\mathbf{y})\dot{\mathbf{x}},$$

где $\mathbf{x}={(x_1,\dots ,x_n)}^T,\mathbf{y}={(y_1,\dots ,y_u)}^T$. Будем называть обобщенные скорости $\dot{\mathbf{x}}$ независимыми, а обобщенные скорости $\dot{\mathbf{y}}$ — зависимыми понимая чистую условность такого определения. Относительно $u\times n$ матрицы $\mathbf{M}(\mathbf{x},\mathbf{y})$ будем предполагать, что она непрерывно дифференцируема по входящим в нее обобщенным координатам.

Предположим теперь, что кинетическая энергия $T$, потенциальная энергия $V$ и матрица $\mathbf{M}$ неголономных связей, разрешенных относительно части обобщенных скоростей, не зависят от обобщенных координат, соответствующих этим скоростям (т.е. $\partial T/\partial \mathbf{y}=\mathbf{0},\partial V/\partial \mathbf{y}=\mathbf{0}$, $\partial \mathbf{M}/\partial \mathbf{y}=\mathbf{0}$ ). Такие неголономные системы называются системами Чаплыгина и наиболее часто встречаются в приложениях. При этом урав-

нения движения таких систем можно представить в виде уравнений Чаплыгина [25]
$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{M}(\mathbf{x})\dot{\mathbf{x}}\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T_{\ast }}{\partial \dot{\mathbf{x}}}=\frac{\partial T_{\ast }}{\partial \mathbf{x}}-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{x}}+(\mathrm{\Omega }\dot{\mathbf{x}})\dot{\mathbf{x}}.\end{array}$$

Здесь $2T_{\ast }=(\mathrm{\Theta }(\mathbf{x})\dot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}})\equiv 2T_{(4.4)}$ — результат исключения зависимых обобщенных скоростей $\dot{\mathbf{y}}$ из кинетической энергии $T$ с помощью соотношений (4.4), а $\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }(\mathbf{x})$ представляет собой $n\times n\times n$-тензор вида
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Omega }=\left({\omega }_{ijh}\right);{\omega }_{ijh}=(\frac{\partial m_{\ae i}}{\partial x_j}-\frac{\partial m_{\ae j}}{\partial x_i}){\theta }_{\ae h}=-{\omega }_{jih};{\theta }_{\ae h}=\frac{\partial }{\partial {\dot{x}}_h}\left(\frac{\partial T}{\partial y_{\ae }}\right)\\ h=1,\dots ,n;\ae =1,\dots ,u,\end{array}$$

где $m_{\ae i}$ — элементы матрицы $\mathbf{M}(\mathbf{x})$; по повторяющимся индексам предполагается суммирование в соответствующих пределах.

Уравнения (4.5) замкнуты относительно переменных х и допускают интеграл энергии
$$T_{\ast }+V=\text{ const. }$$

Следовательно, эти уравнения можно рассматривать независимо от уравнений неголономных связей (4.4), которые служат для определения переменных $\mathbf{y}$, как уравнения движения механической системы с $n$ степенями свободы, определяемой обобщенными координатами $\mathbf{x}$, кинетической энергией $T_{\ast }$ и находящейся под действием потенциальных сил, производных от потенциальной энергии $V$, и гироскопических сил $(\mathrm{\Omega }\dot{\mathbf{x}})\dot{\mathbf{x}}$ (заметим, что ${\dot{\mathbf{x}}}^T(\mathrm{\Omega }\dot{\mathbf{x}})\dot{\mathbf{x}}={\omega }_{ijh}{\dot{x}}_i{\dot{x}}_j{\dot{x}}_h\equiv 0$, так как ${\omega }_{ijh}=-{\omega }_{jih})$. Наличие этих сил вызвано существованием неинтегрируемых связей в данной системе, поэтому слагаемые ( $\mathrm{\Omega }\dot{\mathbf{x}})\dot{\mathbf{x}}$ в уравнениях (4.5) будем называть членами неголономности.
4.2. Установившиеся движения. Предположим, что кинетическая энергия системы, вычисленная с учетом неголономных связей (т.е. $T_{\ast }$ ), потенциальная энергия $V$ и коэффициенты членов неголономности $\mathrm{\Omega }$ не зависят от некоторых из обобщенных координат х. Обозначим эти координаты через s, а остальные — через r. Другими словами, предположим, что
$$\partial T_{\ast }/\partial \mathbf{s}=\mathbf{0},\partial V/\partial \mathbf{s}=\mathbf{0},\partial \mathrm{\Omega }/\partial \mathbf{s}=\mathbf{0},$$
т.е. $\mathbf{s}={(s_1,\dots ,s_m)}^T-$ псевдоциклические $[18{]}^1$, а $\mathbf{r}={(r_1,\dots ,r_k)}^T$ $(m+k=n)$ — позиционные координаты системы (4.5). При этом ко-

эффициенты неголономных связей (т.е. элементы матрицы М) могут зависеть от псевдоциклических координат $\mathbf{s}$.
Разобьем матрицу $\mathrm{\Theta }$ и тензор $\mathrm{\Omega }$ на соответствующие блоки
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Theta }:{\mathrm{\Theta }}_{rr},{\mathrm{\Theta }}_{rs}={\mathrm{\Theta }}_{sr}^T,{\mathrm{\Theta }}_{ss};\\ \mathrm{\Omega }:{\mathrm{\Omega }}_{rrr},{\mathrm{\Omega }}_{rrs},{\mathrm{\Omega }}_{rsr}=-{\mathrm{\Omega }}_{srr}^{\tau },{\mathrm{\Omega }}_{rss}=-{\mathbf{\Omega }}_{srs}^{\tau },{\mathbf{\Omega }}_{ssr},{\mathbf{\Omega }}_{sss}\end{array}$$
(индекс $\tau$ означает «транспонирование» соответствующего трехиндексного тензора по первым двум индексам) и предположим, что, кроме условий (4.7), выполняются условия
$${\mathrm{\Omega }}_{sss}=\mathbf{0},$$

где $\mathbf{0}$ — нулевой $m\times m\times m$-тензор.
При выполнении условий (4.7)-(4.8) уравнения (4.5) допускают решения вида $\mathbf{r}=$ const, $\dot{\mathbf{s}}=$ const, если $k+m$ постоянных $\mathbf{r}$ и $\dot{\mathbf{s}}$ удовлетворяют системе $k$ уравнений
$$\frac{\partial }{\partial \mathbf{r}}\left[\frac{1}{2}({\mathrm{\Theta }}_{ss}(\mathbf{r})\dot{\mathbf{s}}\cdot \dot{\mathbf{s}})\right]+({\mathrm{\Omega }}_{rss}(\mathbf{r})\dot{\mathbf{s}})\dot{\mathbf{s}}-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}}=\mathbf{0}.$$

Следовательно, при указанных условиях уравнения (4.5) допускают $m$-параметрическое семейство установившихся решений
$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0(\mathit{\sigma }),\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{0},\mathbf{s}={\dot{\mathbf{s}}}^0(\mathit{\sigma })t+{\mathbf{s}}^0,\dot{\mathbf{s}}={\dot{\mathbf{s}}}^0(\mathit{\sigma })(\mathit{\sigma }\in {\mathbf{R}}^m)$$
(постоянные ${\mathbf{s}}^0$ могут быть выбраны произвольно и принципиального значения не имеют, так как фазовыми переменными системы (4.5) являются $\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}$ и $\dot{\mathbf{s}}$ ). В частности, в качестве параметров этого семейства можно взять значения скоростей псевдоциклических координат:
$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0(\mathit{\omega }),\dot{\mathbf{s}}=\mathit{\omega },(\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{0},\mathbf{s}=\mathit{\omega }t+{\mathbf{s}}^0).$$

При этом (см. (4.9)) ${\mathbf{r}}^0(-\mathit{\omega })={\mathbf{r}}^0(\mathit{\omega })$.
Очевидно, при фиксированных значениях $\dot{\mathbf{s}}=\omega$, уравнения (4.9) (относительно $\mathbf{r}$ ) могут иметь несколько различных решений $\mathbf{r}={\mathbf{r}}^0,{\mathbf{r}}^1$, ${\mathbf{r}}^2,\dots$ Это означает, что уравнения (4.9) могут допускать несколько семейств установившихся решений. Всем этим решениям отвечают движения рассматриваемой неголономной системы Чаплыгина (4.4)-(4.5) вида
$$\begin{array}{l}\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0,\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{0},\mathbf{s}={\dot{\mathbf{s}}}^{0}t+{\mathbf{s}}^0,\dot{\mathbf{s}}={\dot{\mathbf{s}}}^0,\\ \mathbf{y}={\mathbf{y}}^0(t)={\int }_0^t\left[\mathbf{M}({\mathbf{r}}^0,{\dot{\mathbf{s}}}^{0}t+{\mathbf{s}}^0){\dot{\mathbf{x}}}^0\right]dt+{\mathbf{y}}^0\end{array}$$

(постоянные ${\mathbf{y}}^0$ могут быть выбраны произвольно и также принципиального значения не имеют). Будем называть такие движения установившимися, несмотря на то, что функции ${\mathbf{y}}^0(t)$, описывающие поведение координат, отвечающих зависимым скоростям, могут быть, вообще говоря, произвольными функциями времени.

ЗАМЕЧАНИЕ 4.1. При нарушении условия (4.8) рассматриваемая система, вообще говоря, не может совершать установившихся движений, отличных от равновесий, поскольку для их существования уравнения (4.9) необходимо дополнить уравнениями
$$({\mathrm{\Omega }}_{sss}(\mathbf{r})\dot{\mathbf{s}})\dot{\mathbf{s}}=0.$$

В общем случае система $k+m$ уравнений (4.9), (4.12) относительно $k+m$ неизвестных имеет лишь тривиальные решения вида $\dot{\mathbf{s}}=\mathbf{0},\mathbf{r}=$ $=\mathbf{r}(\mathbf{0})$ (здесь $\mathbf{r}(\mathbf{0})$ — решение уравнения $\partial V/\partial \mathbf{r}=\mathbf{0}$ ), отвечающие (см. (4.4)) положениям равновесия системы. Однако, если $\det ({\mathrm{\Omega }}_{sss}(\mathbf{r})\dot{\mathbf{s}})\equiv 0$ (в частности, $\dim \mathbf{s}=2q-1,q\in \mathbf{N}$ ), то система (4.12) имеет нетривиальные относительно $\dot{\mathbf{s}}$ решения и рассматриваемая система может иметь семейства установившихся движений указанного выше вида, но размерность таких семейств может быть меньше числа псевдоциклических координат. Если же $\dim \mathrm{s}=1$, то условие (4.8) заведомо выполнено (тензор $\mathrm{\Omega }$ кососимметричен по первым двум индексам) и установившиеся движения неголономных систем Чаплыгина с одной псевдоциклической координатой (в смысле выполнения условий (4.7)) в случае общего положения всегда образуют однопараметрические семейства.

ЗАМЕЧАНИЕ 4.2. Даже при выполнении условий (4.7)-(4.8) неголономные системы Чаплыгина не имеют, вообще говоря, первых интегралов, отличных от интеграла (4.6). В частности,
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T_{\ast }}{\partial \dot{\mathbf{s}}}=\left({\mathrm{\Omega }}_{srr}\dot{\mathbf{r}}\right)\dot{\mathbf{r}}+\left({\mathrm{\Omega }}_{srs}\dot{\mathbf{s}}\right)\dot{\mathbf{r}}+\left({\mathrm{\Omega }}_{ssr}\dot{\mathbf{r}}\right)\dot{\mathbf{s}}eq\mathbf{0}$$

4.3. Устойчивость. Рассмотрим произвольное установившееся решение (4.10) системы (4.5) и исследуем его устойчивость в силу этой системы по отношению к переменным r, $\dot{\mathbf{r}}$ и $\dot{\mathbf{s}}$ (очевидно, что решение (4.10) неустойчиво по отношению к переменным $\mathbf{s}$, если в возмущенном движении $\dot{\mathbf{s}}eq{\dot{\mathbf{s}}}^0$, а решение (4.11) системы (4.4)-(4.5) неустойчиво по отношению к переменным у).

Перейдем от фазовых переменных r, $\mathbf{r}$ и $\dot{\mathbf{s}}$ системы (4.5) к переменным $\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},\mathbf{p}=\partial T_{\ast }/\partial \dot{\mathbf{s}}$ и введем аналог функции Рауса посредством соотношения $R=T_{\ast }-V-(\mathbf{p}\cdot \dot{\mathbf{s}})$, в правой части которого обобщенные скорости псевдоциклических координат исключены с помощью соотношений
$$\mathbf{p}=\partial T_{\ast }/\partial \dot{\mathbf{s}}={\mathrm{\Theta }}_{sr}\dot{\mathbf{r}}+{\mathrm{\Theta }}_{ss}\dot{\mathbf{s}},\dot{\mathbf{s}}={\mathrm{\Theta }}_{ss}^{-1}(\mathbf{p}-{\mathrm{\Theta }}_{sr}\dot{\mathbf{r}}).$$

При этом функция Рауса представляется в виде $R=R_2+R_1+R_0$, где
$$\begin{array}{l}2R_2=(\mathbf{A}(\mathbf{r})\dot{\mathbf{r}}\cdot \dot{\mathbf{r}}),\mathbf{A}(\mathbf{r})={\mathrm{\Theta }}_{rr}-{\mathrm{\Theta }}_{rs}{\mathrm{\Theta }}_{ss}^{-1}{\mathrm{\Theta }}_{sr},\\ R_1={\mathbf{g}}^T(\mathbf{r},\mathbf{p})\dot{\mathbf{r}},\mathbf{g}(\mathbf{r},\mathbf{p})={\mathrm{\Theta }}_{rs}{\mathrm{\Theta }}_{ss}^{-1}\mathbf{p}\\ R_0=-W(\mathbf{r},\mathbf{p}),2W(\mathbf{r},\mathbf{p})=2V+({\mathrm{\Theta }}_{ss}^{-1}\mathbf{p}\cdot \mathbf{p}).\end{array}$$

В новых переменных уравнения (4.5) примут вид
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\frac{\partial R_2}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=\frac{\partial R_2}{\partial \mathbf{r}}-\hat{\mathbf{G}}\dot{\mathbf{r}}-\frac{\partial W}{\partial \mathbf{r}}-{\mathrm{\Gamma }}^T\frac{\partial W}{\partial \mathbf{p}}+\\ +\{\left({\hat{\mathrm{\Omega }}}_{rsr}\dot{\mathbf{r}}\right)\frac{\partial W}{\partial \mathbf{p}}+[\left({\hat{\mathrm{\Omega }}}_{rrr}\dot{\mathbf{r}}\right)-{\mathrm{\Theta }}_{rs}{\mathrm{\Theta }}_{ss}^{-1}\left({\hat{\mathrm{\Omega }}}_{srr}\dot{\mathbf{r}}\right)]\dot{\mathbf{r}}\}\text{, }\\ \dot{\mathbf{p}}=\mathrm{\Gamma }\dot{\mathbf{r}}+\left({\hat{\mathrm{\Omega }}}_{srr}\dot{\mathbf{r}}\right)\dot{\mathbf{r}}.\\ \hat{\mathbf{G}}=\left({\hat{g}}_{ij}\right),{\hat{g}}_{ij}=-{\hat{g}}_{ji}=\\ =-[\frac{\partial }{\partial r_i}\left({\theta }^{\alpha \beta }{\theta }_{\beta j}\right)-\frac{\partial }{\partial r_j}\left({\theta }^{\alpha \beta }{\theta }_{\beta i}\right)]p_{\alpha }-({\omega }_{ijh}-{\omega }_{ij\alpha }{\theta }^{\alpha \beta }{\theta }_{\beta h}){\dot{r}}_h-\\ -{\omega }_{ij\alpha }\frac{\partial W}{\partial p_{\alpha }}+{\theta }^{\alpha \beta }({\theta }_{ji}{\omega }_{\alpha j\gamma }-{\theta }_{\beta j}{\omega }_{\alpha i\gamma })\frac{\partial W}{\partial p_{\gamma }},\\ \mathrm{\Gamma }=\left({\gamma }_{\alpha j}\right),{\gamma }_{\alpha j}=({\omega }_{\alpha j\beta }+{\omega }_{\alpha \beta j})\frac{\partial W}{\partial p_{\beta }}\equiv {\gamma }_{\alpha j\beta }{p}_{\beta },{\gamma }_{\alpha j\beta }=({\omega }_{\alpha j\gamma }+{\omega }_{\alpha \gamma j}){\theta }^{\gamma \beta }\text{, }\\ {\hat{\mathrm{\Omega }}}_{rrr}=\left({\hat{\omega }}_{ijh}\right);{\hat{\omega }}_{ijh}=(-{\omega }_{i\beta j}+{\omega }_{i\beta \delta }{\theta }^{\delta \alpha }{\theta }_{\alpha j}){\theta }^{\beta \gamma }{\theta }_{\gamma h},\\ {\hat{\mathrm{\Omega }}}_{rsr}=\left({\hat{\omega }}_{i\beta j}\right);{\hat{\omega }}_{i\beta j}={\omega }_{i\beta j}-{\theta }^{\alpha \gamma }({\theta }_{\gamma i}{\omega }_{\alpha \beta j}+{\theta }_{\gamma j}{\omega }_{i\beta \alpha })\text{, }\\ {\hat{\mathrm{\Omega }}}_{srr}=\left({\hat{\omega }}_{\alpha ij}\right);{\hat{\omega }}_{\alpha ij}={\omega }_{\alpha ij}-({\omega }_{\alpha i\beta }+{\omega }_{\alpha \beta i}){\theta }^{\beta \gamma }{\theta }_{\gamma j}\end{array}$$
$({\theta }^{\alpha \beta }$ — элементы матрицы ${\mathrm{\Theta }}_{ss}^{-1},{\theta }_{\alpha j}$ — элементы матрицы ${\mathrm{\Theta }}_{sr}$; остальные обозначения совпадают с введенными выше; индексы $i,j,h$ пробегают значения от 1 до $k$, а индексы $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ — от 1 до $m$ ).
Система (4.14) допускает семейство установившихся решений вида
$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}^0(\mathit{\sigma }),\mathbf{p}={\mathbf{p}}^0(\mathit{\sigma }),(\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{0})(\mathit{\sigma }\in {\mathbf{R}}^m),$$

если $k+m$ постоянных ${\mathbf{r}}^0$ и ${\mathbf{p}}^0$ удовлетворяют системе $k$ уравнений
$$\frac{DW}{D\mathbf{r}}=\mathbf{0}(\frac{D}{D\mathrm{r}}\stackrel{\text{ def }}{=}\frac{\partial }{\partial \mathbf{r}}+{\mathrm{\Gamma }}^T\frac{\partial }{\partial \mathbf{p}}).$$

Очевидно, решения (4.15) отвечают решениям (4.10), система (4.16) — системе (4.9); при этом соответствие между ${\dot{\mathbf{s}}}^0$ и ${\mathbf{p}}^0$ задается соотношениями
$${\dot{\mathbf{s}}}^0={\mathrm{\Theta }}_{ss}^{-1}\left({\mathbf{r}}^0\right){\mathbf{p}}^0,{\mathbf{p}}^0={\mathrm{\Theta }}_{ss}\left({\mathbf{r}}^0\right){\dot{\mathbf{s}}}^0.$$

Более того, решение (4.10) системы (4.5) устойчиво по отношению к переменным $\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}$ и $\dot{\mathbf{s}}$, если и только если решение (4.15) системы (4.14) устойчиво по отношению к переменным $\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}$ и $\mathbf{p}$.

Полагая $\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^0=\mathit{\xi }$ и $\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^0=\mathit{\eta }+{\mathrm{\Gamma }}_0\xi$, выпишем уравнения возмущенного движения
$$\begin{array}{l}{\mathbf{A}}_0\ddot{\mathit{\xi }}+({\mathbf{G}}_0+{\mathbf{D}}_0)\dot{\mathit{\xi }}+({\mathbf{C}}_0+{\mathbf{E}}_0)\mathit{\xi }+{\mathbf{F}}_0\mathit{\eta }=\mathrm{\Xi }(\mathit{\xi },\dot{\mathit{\xi }},\mathit{\eta });\dot{\mathit{\eta }}=\mathbf{H}(\mathit{\xi },\dot{\mathit{\xi }},\mathit{\eta }),\\ \mathbf{G}+\mathbf{D}=\hat{\mathbf{G}}-{\hat{\mathrm{\Omega }}}_{rsr}\left({\mathrm{\Theta }}_{ss}^{-1}\mathbf{p}\right),\mathbf{C}+\mathbf{E}=\left(\frac{D^{2}W}{D{\mathbf{r}}^2}\right),\mathbf{F}=\frac{\partial }{\partial \mathbf{p}}\left(\frac{DW}{D\mathbf{r}}\right),\\ {\mathbf{G}}^T=-\mathbf{G},{\mathbf{D}}^T=\mathbf{D},{\mathbf{C}}^T=\mathbf{C},{\mathbf{E}}^T=-\mathbf{E},\\ \Vert \mathrm{\Xi }\Vert =o(\rho ),\Vert \mathbf{H}\Vert =o(\rho ),\rho =\Vert \mathit{\xi }\Vert +\Vert \dot{\mathit{\xi }}\Vert +\Vert \mathit{\eta }\Vert .\end{array}$$

Очевидно, характеристическое уравнение, отвечающее линеаризованной системе, которая получается из (4.17) отбрасыванием правых частей, всегда имеет $m$ нулевых коэней:
$$\chi (\mu )={\mu }^m\det ({\mathbf{A}}_0{\mu }^2+({\mathbf{G}}_0+{\mathbf{D}}_0)\mu +({\mathbf{C}}_0+{\mathbf{E}}_0))=0.$$

Если среди остальных корней, которые удовлетворяют уравнению
$$\det ({\mathbf{A}}_0{\mu }^2+({\mathbf{G}}_0+{\mathbf{D}}_0)\mu +({\mathbf{C}}_0+{\mathbf{E}}_0))=0,$$

имеются корни с положительной вещественной частью, то установившееся движение (4.15) неустойчиво согласно теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению. Если же все корни уравнения (4.19) имеют отрицательные вещественные части, то имеет место критический случай нескольких нулевых корней (см. (4.18)). Поскольку при указанных условиях число нулевых корней совпадает с размерностью семейства установившихся движений (4.15), которому принадлежит исследуемое движение, то имеет место особенный случай критического случая нескольких нулевых корней и справедлива теорема Ляпунова-Малкина. Таким образом, справедлива

ТЕОРЕМА 4.1. [26,27] Установившееся движение (4.15) консервативной неголономной системы Чаплыгина устойчиво (неустойчиво), если все корни уравнения (4.19) имеют отрицательные вещественные части (по крайней мере один корень уравнения (4.19) имеет положительную вещественную часть), причем, в случае устойчивости,

всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, асимптотически при $t\to +\mathrm{\infty }$ стремится к одному из установившихся движений вида (4.10), отвечающих возмущенным значениям ${\mathbf{r}}^{0}u{\dot{\mathbf{s}}}^0$.

Отметим, что в случае устойчивости установившееся движение асимптотически устойчиво по части переменных, характеризующих отклонения возмущенного движения от семейства установившихся движений, которому принадлежит исследуемое движение; в частности, по отношению к $\dot{\mathbf{r}},DW/D\mathbf{r}$.

Уравнение (4.19) можно рассматривать как характеристическое уравнение линейной голономной системы
$$A_0\ddot{\zeta }+(G_0+D_0)\dot{\zeta }+(C_0+E_0)\zeta =0$$

с $k$ степенями свободы ( $\dim \zeta =\dim \mathbf{r}=k$ ), находящейся под действием сил произвольной структуры. При этом уравнение (4.19) имеет все корни с отрицательными вещественными частями (имеет корень с положительной вещественной частью), если и только если нулевое положение равновесия системы (4.20), которую будем называть линейной приведенной системой, асимптотически устойчиво (экспоненциально неустойчиво). Таким образом, справедливо

Следствие 4.1. $[26,27]$ Установившееся движение консервативной неголономной системы устойчиво, причем асимптотически по части переменных (неустойчиво), если положение равновесия соответствующей линейной приведенной системы асимптотически устойчиво (экспоненциально неустойчиво).

4.4. Обсуждение полученных результатов.
ЗАМЕЧАНИЕ 4.3. Уравнение (4.19) имеет вид
$$\begin{array}{c}{a}_0{\mu }^{2k}+a_1{\mu }^{2k-1}+\cdots +a_{2k}=0,\\ a_0=\det {\mathbf{A}}_0>0,a_1=\det {\mathbf{A}}_0\cdot \mathrm{Step}\left({\mathbf{A}}_0^{-1}{\mathbf{D}}_0\right),\dots \end{array}$$

Следовательно, асимптотическая устойчивость положения равновесия линейной приведенной системы возможна только при условии, что матрица ${\mathbf{D}}_0$ не является нулевой. Действительно, иначе $a_1=0$ и уравнение (4.19) не может иметь все корни с отрицательными вещественными частями (в последнем случае, необходимо, $a_1>0$ ).

В рассматриваемой задаче матрица ${\mathbf{D}}_0$ диссипативно-ускоряющих сил, действующих на линейную приведенную систему (4.20), имеет вид
$${\mathbf{D}}_0=\left(d_{ij}^0\right);d_{ij}^0=\frac{1}{2}{(d_{ij\alpha }+d_{ji\alpha })}_0{\dot{s}}_{\alpha }^0;d_{ij\alpha }={\omega }_{\alpha ij}+{\theta }^{\beta \gamma }({\theta }_{\gamma i}{\omega }_{\beta \alpha j}+{\theta }_{\beta j}{\omega }_{i\gamma \alpha })$$

и, вообще говоря, нулевой не является. Это означает, что при определенных условиях возможна асимптотическая по части переменных устойчивость установившихся движений консервативных неголономных систем. ЗАМЕЧАНИЕ 4.4. Коэффициенты матрицы ${\mathbf{D}}_0$ представляют собой нечетные функции скоростей псевдоциклических координат, поскольку (см. (4.21)) $d_{ij}^0$ явно зависят от ${\dot{\mathbf{s}}}^0$ линейным образом, а $d_{ij\alpha }^0=$ $=d_{ij\alpha }\left({\mathbf{r}}^0\left({\dot{\mathbf{s}}}^0\right)\right)$ неявно зависят от ${\dot{\mathbf{s}}}^0$ четным образом (см. (4.9)). Это означает, что если установившееся движение вида $\mathbf{r}=\mathit{\rho }=$ $=$ const, $\dot{\mathbf{s}}=\mathit{\omega }=$ const консервативной неголономной системы асимптотически по части переменных устойчиво (при этом, необходимо, Step $\left({\mathbf{A}}_0^{-1}{\mathbf{D}}_0\right)>0$ ), то установившееся движение вида $\mathbf{r}=\mathit{\rho },\dot{\mathbf{s}}=$ $=-\mathit{\omega }$ этой системы при тех же условиях неустойчиво (так как при этом $\mathrm{Step}\left({\mathbf{A}}_0^{-1}{\mathbf{D}}_0\right)<0$, т.е. $a_1<0$ и уравнение (4.19) имеет корень с положительной вещественной частью). Другими словами, устойчивость установившихся движений неголономных систем может зависеть от направления движения (вперед — назад; вправо — влево и т.п.).

ЗАмечАниЕ 4.5. Характеристическое уравнение (4.18) инвариантно (с точностью до постоянного множителя) относительно выбора переменных, определяющих состояние системы. Поэтому при исследовании устойчивости установившихся движений неголономных систем с помощью теоремы 4.1 уравнения движения этих систем можно брать в любом виде (приводить их к виду (4.14) не обязательно). В частности, характеристическое уравнение линеаризованной в окрестности решения (4.10) системы (4.5), эквивалентное уравнению (4.18), имеет вид
$${\mu }^m\det \mathrm{\Delta }(\mu )=0,$$

а уравнение относительно ненулевых корней — вид
$$\det \mathrm{\Delta }(\mu )=0,\mathrm{\Delta }(\mu )=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{W}}_{rr}{\mu }^2+{\mathbf{V}}_{rr}\mu +{\mathbf{U}}_{rr}& {\mathbf{W}}_{rs}\mu +{\mathbf{V}}_{rs}\\ {\mathbf{W}}_{sr}\mu +{\mathbf{V}}_{sr}& {\mathbf{W}}_{ss}\end{array}\right)$$

Здесь ${\mathbf{W}}_{rr},{\mathbf{W}}_{rs}={\mathbf{W}}_{sr}^T,{\mathbf{W}}_{ss}$ — соответствующие блоки матрицы ${\mathrm{\Theta }}_0;{\mathbf{V}}_{rr},{\mathbf{V}}_{rs},{\mathbf{V}}_{sr}$ — блоки матрицы $\mathbf{V}=\left(v_{ij}\right)(i,j=1,\dots ,n);{\mathbf{U}}_{rr}-$ матрица $\left(u_{ij}\right)(i,j=1,\dots ,k)$;
$$\begin{array}{l}{v}_{ij}={(\frac{\partial {\theta }_{i\gamma }}{\partial x_j}-\frac{\partial {\theta }_{j\gamma }}{\partial x_i}+{\omega }_{\gamma ij}-{\omega }_{\gamma ji})}_0{\dot{s}}_{\gamma }^0,\\ u_{ij}={[\frac{{\partial }^{2}V}{\partial r_i\partial r_j}-(\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2{\theta }_{\gamma \delta }}{\partial r_i\partial r_j}+\frac{\partial {\omega }_{i\gamma \delta }}{\partial r_j}){\dot{s}}_{\gamma }{\dot{s}}_{\delta }]}_0\end{array}$$
(остальные обозначения совпадают с введенными ранее).

ЗАМЕЧАНИЕ 4.6. Если все установившиеся движения семейства (4.10) устойчивы при $\sigma >{\sigma }_0$ и неустойчивы при $\sigma <{\sigma }_0$ (или наоборот), то при $\sigma ={\sigma }_0$ от этого семейства могут ответвляться периодические движения, т.е. для консервативных неголономных систем может иметь место явление бифуркации Андронова — Хопфа, характерное для диссипативных динамических систем (здесь для простоты полагается, что $\sigma$ — скалярный параметр, т.е. $m=1$ ).