Укажем, что задача о качении уравновешенного, динамически несимметричного шара по шероховатой плоскости останется интегрируемой (в смысле разд.1), если частицы шара будут притягиваться этой
плоскостью пропорционально расстоянию. Поскольку центр масс шара совпадает с его геометрическим центром, то потенциал можно вычислить по формуле
\[
V(\gamma)=\frac{\varepsilon}{2} \int\langle\boldsymbol{r}, \gamma\rangle^{2} d m=\frac{\varepsilon}{2}\langle\mathbf{I} \gamma, \gamma\rangle
\]
где $\gamma$ – единичный вектор вертикали, $\boldsymbol{r}$ – радиус-вектор частиц шаpa, I – тензор инерции шара относительно его центра. Силы притяжения создают вращательный момент
\[
-\int \boldsymbol{r} \times(\varepsilon\langle\boldsymbol{r}, \gamma\rangle \gamma) d m=-\varepsilon \int\langle\boldsymbol{r}, \gamma\rangle(\boldsymbol{r} \times \gamma) d m=\gamma \times V^{\prime}{ }_{\gamma}=\varepsilon \gamma \times \mathbf{I} \gamma .
\]
Для того чтобы получить момент сил относительно точки касания, надо добавить момент суммарной силы
\[
\varepsilon \int\langle\boldsymbol{r}, \gamma\rangle \gamma d m=\varepsilon\left\langle\int \boldsymbol{r} d m, \gamma\right\rangle \gamma
\]
равный нулю из-за совпадения центра масс шара с его геометрическим центром.
С помощью теоремы об изменении кинетического момента относительно точки контакта (см. [5],[6]) уравнения качения шара можно представить в следующем виде:
\[
\dot{k}+\omega \times k=\varepsilon \gamma \times \mathrm{I} \gamma, \quad \dot{\gamma}+\omega \times \gamma=0 .
\]
Теорема 2. Дифференциальные уравнения (4.2) интегрируемы в квадратурах.
Действительно, они имеют четыре независимых интеграла
\[
\begin{array}{c}
F_{1}=\langle k, \omega\rangle+\varepsilon\langle\mathbf{I} \gamma, \gamma\rangle, \quad F_{2}=\langle k, \gamma\rangle, \quad F_{3}=\langle\gamma, \gamma\rangle=1, \\
F_{4}=\langle k, k\rangle-\langle A \gamma, \gamma\rangle,
\end{array}
\]
где элементы $A_{i}$ диагональной матрицы $A$ выражаются через главные моменты инерции $I_{i}$ с помощью формул
\[
A_{1}=\varepsilon\left(I_{2}+m a^{2}\right)\left(I_{3}+m a^{2}\right), \ldots
\]
Поскольку уравнения (4.2) имеют инвариантную меру с плотностью (3.2), то, по теореме 1 , они интегрируемы. Было бы интересно осуществить это
интегрирование явно и проверить, справедливо ли для уравнений (4.2) предложение 3 .
Отметим, что задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в осесимметричном силовом поле с потенциалом (4.1) тоже интегрируема [1]. Кроме тех классических интегралов $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ она обладает интегралом $F_{4}$, в котором надо положить $\boldsymbol{a}=0$. Этот интеграл найден независимо Клебшем в задаче о движении твердого тела в идеальной жидкости и Тиссераном при исследовании вращательного движения небесных тел.
