Рассмотрим прежде всего случаи интегрируемости уравнений (2.3), (2.2), связанные с вращательной симметрией поверхности, по которой
катится шар. При этом мы будем использовать методику исследования, предложенную в [5] и связанную с анализом некоторой приведенной системы в новых переменных $K_{1}, K_{2}, K_{3}, \gamma_{3}$. Будем также предполагать, что поверхность вращается вокруг оси симметрии с постоянной угловой скоростью $\Omega=(0,0, \Omega), \Omega
eq 0$. Частный случай $\Omega=0$ обсуждался Раусом, который и получил большинство приводимых далее результатов (хотя и пропустил случаи, представляющие не меньший интерес).

Уравнение поверхности вращения в абсолютной системе координат может быть задано в форме
\[
\begin{array}{l}
r_{1}=\left(f\left(\gamma_{3}\right)-R\right) \gamma_{1}, \quad r_{2}=\left(f\left(\gamma_{3}\right)-R\right) \gamma_{2}, \\
r_{3}=\int\left(f\left(\gamma_{3}\right)-\frac{1-\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{3}} f^{\prime}\left(\gamma_{3}\right)\right) d \gamma_{3}-R \gamma_{3},
\end{array}
\]

где $f\left(\gamma_{3}\right)$ – некоторая функция, задающая параметризацию поверхности. Выбор параметризации (3.1) связано с наиболее простым видом приведенной системы.

В рассматриваемом случае уравнения (2.3), (2.2) допускают инвариантную меру с плотностью
\[
\rho=\left(f\left(\gamma_{3}\right)\right)^{3} g\left(\gamma_{3}\right), \quad \text { где } \quad g\left(\gamma_{3}\right)=f\left(\gamma_{3}\right)-\frac{1-\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{3}} f^{\prime}\left(\gamma_{3}\right) .
\]

Кроме инвариантной меры уравнения допускают также простое поле симметрий вида
\[
\hat{\boldsymbol{v}}=M_{1} \frac{\partial}{\partial M_{2}}-M_{2} \frac{\partial}{\partial M_{1}}+\gamma_{1} \frac{\partial}{\partial \gamma_{2}}-\gamma_{2} \frac{\partial}{\partial \gamma_{1}},
\]

соответствующее вращательной симметрии.
В своей книге [3] мы неоднократно используем тот факт, что при наличии симметрии для получения наиболее простой формы приведенной системы необходимо выбрать наиболее приемлемые интегралы поля симметрий, которые в данном случае имеют вид
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=(\boldsymbol{M}, \gamma) f\left(\gamma_{3}\right), \quad K_{2}=\mu \omega_{3}=\frac{\mu M_{3}+D(\boldsymbol{M}, \gamma) \gamma_{3}}{\mu+D}, \\
K_{3}=\frac{M_{1} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{1}}{\sqrt{1-\gamma_{3}}}, \quad \gamma_{3} .
\end{array}
\]

Приведенная система в выбранных переменных записывается в форме
\[
\begin{array}{c}
\dot{\gamma}_{3}=k K_{3}, \\
\dot{K}_{1}=k K_{3}\left(\frac{f^{\prime}}{\gamma_{3}} K_{2}+\left(1-\frac{f}{R}\right) g \mu \Omega\right) \\
\dot{K}_{2}=k K_{3} \frac{D}{\mu+D}\left(\frac{1}{f} K_{1}-\gamma_{3}\left(1-\frac{g}{R}\right) \mu \Omega\right), \\
\dot{K}_{3}=-k \frac{(\mu+D) g}{\mu^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right) f^{2}}\left(\frac{\gamma_{3} K_{1}-f K_{2}}{f\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)}\left(\left(\mu+D \gamma_{3}^{2}\right) K_{1}-\gamma_{3} f(\mu+D) K_{2}\right)+\right. \\
\left.+\left(1-\frac{g}{R}\right)\left(\left(\mu+2 D \gamma_{3}^{2}\right) K_{1}-\gamma_{3} f(\mu+2 D) K_{2}\right)\right) \mu \Omega,
\end{array}
\]

где $k=\frac{R \sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}}{(\mu+D) g\left(\gamma_{3}\right)}$. Несложно показать, что система (3.5) обладает инвариантной мерой с плотностью $\rho=k^{-1}$. Явное интегрирование системы (3.5) может быть выполнено следующим образом.

Разделим второе и третье уравнения системы (3.5) на $\dot{\gamma}_{3}$ и получим неавтономную систему двух линейных уравнений с независимой переменной $\gamma_{3}$
\[
\frac{d K_{1}}{d \gamma_{3}}=\frac{f^{\prime}}{\gamma_{3}} K_{2}+\left(1-\frac{f}{R}\right) g \mu \Omega, \quad \frac{d K_{2}}{d \gamma_{3}}=\frac{D}{\mu+D}\left(\frac{1}{f} K_{1}-\gamma_{3}\left(1-\frac{g}{R}\right) \mu \Omega\right) .
\]

Система линейных уравнений (3.6) всегда обладает двумя линейными по $K_{1}, K_{2}$ интегралами, коэффициенты которых функции от $\gamma_{3}$, в общем случае не могут быть получены в явном (алгебраическом) виде. Разделив последнее уравнение системы (3.5) на $\gamma_{3}$ и подставив в него известное решение системы (3.6), находим явную квадратуру для $K_{3}\left(\gamma_{3}\right)$. С помощью первого уравнения из (3.5) теперь можно получить выражение для $\gamma_{3}(t)$.
В случае $\Omega=0$ система (3.5) допускает интеграл энергии
\[
H=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})=\frac{1}{2}\left(\frac{K_{1}^{2}}{\Lambda f^{2}}+\frac{(\mu+D)\left(\gamma_{3} K_{1}-f K_{2}\right)^{2}}{\mu^{2} f^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)}+\frac{K_{3}^{2}}{\mu+D}\right)
\]

и квадратура для $\gamma_{3}(t)$ может быть получена непосредственно подстановкой в (3.7) $K_{3}=k^{-1} \dot{\gamma}_{3}$.
Для приведенной системы (3.5) справедлива следующая

Теорема 1. После замены времени $k d t=d \tau$ система (3.5) при $\Omega=0$ представляется в гамильтоновой форме
\[
\frac{d x_{i}}{d \tau}=\left\{x_{i}, H\right\}, \quad \boldsymbol{x}=\left(\gamma_{3}, K_{1}, K_{2}, K_{3}\right)
\]

с вырожденной скобкой, задаваемой соотношениями
\[
\left\{\gamma_{3}, K_{3}\right\}=\mu+D, \quad\left\{K_{1}, K_{3}\right\}=(\mu+D) \frac{f^{\prime}}{\gamma_{3}} K_{2}, \quad\left\{K_{2}, K_{3}\right\}=\frac{D}{f} K_{1}
\]
(скобки между остальными переменными равны нулю).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – простая проверка соответствия уравнений (3.8) и (3.5) (при $\Omega=0$ ) и проверка тождества Якоби скобки (3.9).

Можно утверждать, что уравнения для (линейных) первых интегралов системы (3.6) в точности совпадают с уравнениями для функций Казимира скобки (3.9).

Отметим также, что система (3.5) при $\Omega=0$ допускает «кососимметрическую запись», аналогичную гамильтоновой форме (3.8), (3.9)
\[
\frac{d x_{i}}{d \tau}=J_{\lambda i j}(x) \frac{\partial H}{\partial x_{j}} ; \quad J_{i j}=-J_{j i}
\]

с матрицей $\mathbf{J}_{\lambda}$ несколько более общего вида, чем соответствующая скобка (3.9)
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{J}_{\lambda}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & \mu+D \\
0 & 0 & \lambda & (\mu+D) \frac{f^{\prime}}{\gamma_{3}} K_{2}+\lambda u \\
0 & -\lambda & 0 & \frac{D}{f} K_{1}+\lambda v \\
-(\mu+D) & -(\mu+D) \frac{f^{\prime}}{\gamma_{3}} K_{2}-\lambda u & \frac{D}{f} K_{1}+\lambda v & 0
\end{array}\right), \\
u=\frac{(\mu+D)^{2}\left(\gamma_{3} K_{1}-f K_{2}\right)}{\mu^{2} f\left(1-\gamma_{3}^{2}\right) K_{3}}, \quad v=\frac{(\mu+D)\left(\left(\mu+D \gamma_{3}^{2}\right) K_{1}-f \gamma_{3}(\mu+D) K_{2}\right)}{\mu^{2} f^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right) K_{3}}, \\
\end{array}
\]

где $\lambda$ может быть произвольной функцией от $\gamma_{3}, K_{i}$. При $\lambda=0$ получается скобка (3.9) и тензор $\mathbf{J}_{\lambda}$ удовлетворяет тождеству Якоби, в общем случае $\mathbf{J}_{\lambda}$ не удовлетворяет тождеству Якоби (не пуассонов). Тем не менее, если положить
\[
\lambda=w\left(\gamma_{3}\right) K_{3},
\]

то тензор $\lambda^{-1} \mathbf{J}_{\lambda}$ является пуассоновым. Величина $\lambda$ при этом является приводящим множителем (по Чаплыгину).
Таким образом, мы получаем гамильтоново векторное поле вида
\[
\boldsymbol{v}_{\lambda}=\left(\lambda^{-1} \mathbf{J}_{\lambda}\right)
abla H,
\]

для которого $\operatorname{div} \boldsymbol{v}_{\lambda}
eq 0\left(\operatorname{div} \lambda \boldsymbol{v}_{\lambda}=0\right)$. Примеры гамильтоновых полей с ненулевой дивергенцией ранее фактически не отмечались. Частный случай пуассонова тензора $\lambda^{-1} \mathbf{J}_{\lambda}$ был указан И. Эрмансом в [12], который использовал свою систему приведенных переменных, несколько отличную от нашей.

В качестве частных примеров, проясняющих поведение шара на поверхности вращения разберем последовательно случаи, когда она является параболоидом, сферой, конусом и цилиндром. Эти задачи были разобраны Раусом в [10] при $\Omega=0$. Мы здесь приведем их соответствующие обобщения при $\Omega
eq 0$.

1. Параболоид вращения. В данном случае центр масс шара движется по параболоиду вращения $z=c\left(x^{2}+y^{2}\right)$, при этом в уравнениях (3.1) необходимо положить
\[
f\left(\gamma_{3}\right)=-\frac{1}{2 c \gamma_{3}} .
\]

Плотность инвариантной меры (3.2) с точностью до несущественного множителя представляется в форме
\[
\rho=\frac{1}{\gamma_{3}^{6}} .
\]

Двумерная система (3.6) в этом случае имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d K_{1}}{d \gamma_{3}}=\frac{1}{2 c \gamma_{3}^{3}}\left(K_{2}-\frac{1+2 c R \gamma_{3}}{2 c R \gamma_{3}} \mu \Omega\right), \\
\frac{d K_{2}}{d \gamma_{3}}=-\frac{D}{\mu+D}\left(2 c \gamma_{3} K_{1}+\frac{\left(1+2 c R \gamma_{3}^{3}\right)}{2 c R \gamma_{3}^{2}} \mu \Omega\right) .
\end{array}
\]

Для переменной $K_{2}$ получается однородное линейное уравнение второго порядка с правой частью (при $\Omega
eq 0$ )
\[
K_{2}^{\prime \prime}-\frac{1}{\gamma_{3}} K_{2}^{\prime}+\frac{D}{\mu+D} \frac{1}{\gamma_{3}^{2}} K_{2}=\frac{D\left(2+c R \gamma_{3}\right)}{(\mu+D) c R \gamma_{3}^{3}} \mu \Omega .
\]

Его общее решение может быть представлено в степенном виде $\gamma_{3}^{\alpha}, \alpha=$ $=$ const
\[
K_{2}=c_{1} \gamma_{3}^{1-
u}-c_{2} \gamma_{3}^{1+
u}+\mu \Omega\left(1+\frac{2 D}{c R(\mu+4 D)} \frac{1}{\gamma_{3}}\right), \quad
u^{2}=\frac{\mu}{\mu+D} .
\]

Для $K_{1}$ из (3.3) аналогично получаем
\[
\begin{aligned}
K_{1}=\frac{\mu+D}{2 c D}\left(-(1-
u) \gamma_{3}^{-1-
u} c_{1}+\right. & \left.(1+
u) \gamma_{3}^{-1+
u} c_{2}\right)- \\
– & \frac{\mu \Omega}{2 c}\left(1-\frac{\mu}{2 c R(3 \mu+4 D)} \frac{1}{\gamma_{3}^{3}}\right) .
\end{aligned}
\]

Выражая из (3.4), (3.5) постоянные $c_{1}, c_{2}$, находим линейные по $K_{1}, K_{2}$ интегралы системы (3.6) в форме
\[
\begin{aligned}
F_{2} & =\frac{D}{2 \sqrt{\mu(\mu+D)}} \gamma_{3}^{
u}\left(2 c \gamma_{3} K_{1}+\frac{\mu+D}{D \gamma_{3}} K_{2}+\right. \\
& \left.+\mu \Omega\left(\gamma_{3}-\frac{(\mu+D)(1+
u)}{D \gamma_{3}}-\frac{2+
u}{2 c R(2-
u) \gamma_{3}^{2}}\right)\right) \\
F_{3} & =\frac{D}{2 \sqrt{\mu(\mu+D)}} \gamma_{3}^{-
u}\left(2 c \gamma_{3} K_{1}+\frac{\mu+D}{D \gamma_{3}} K_{2}+\right. \\
& \left.+\mu \Omega\left(\gamma_{3}-\frac{(\mu+D)(1-
u)}{D \gamma_{3}}-\frac{2-
u}{2 c R(2+
u) \gamma_{3}^{2}}\right)\right)
\end{aligned}
\]

Произведение $F_{2} F_{3}$ задает алгебраический квадратичный интеграл.
При $\Omega=0$ уравнения допускают также интеграл энергии, который представляется в форме
\[
H=\frac{2 c^{2} \gamma_{3}^{2}}{\mu} K_{1}^{2}+\frac{1}{2} \frac{\mu+D}{\mu^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)}\left(2 c \gamma_{3}^{2} K_{1}+K_{2}\right)^{2}+\frac{1}{2} \frac{K_{3}^{2}}{\mu+D} .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Частные виды поверхностей, по которым катится шар рассмотрены в работе [6] (см. подробнее далее), где показано, что если шар катится по параболоиду вращения, то система (2.3) сводится к специальному классу фуксовых уравнений. Самим Раусом был рассмотрен случай, когда по параболоиду движется не точка контакта, а центр масс. Еще раз отметим, что при этом получаются алгебраические интегралы движения уравнений (2.3). Движение однородного шара по поверхности вращения изучал также Ф. Нётер [11].

2. Осесимметричный эллипсоид. Рассмотрим движение динамически симметричного шара, при котором его центр масс движется по неподвижному эллипсоиду при $\Omega=0$. В этом случае
\[
f\left(\gamma_{3}\right)=\frac{b_{1}}{\sqrt{b_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+b_{3} \gamma_{3}^{2}}},
\]

где $b_{1}, b_{2}$ – квадраты главных полуосей эллипсоида. Плотность инвариантной меры (3.2) в этом случае с точностью до постоянного множителя равна
\[
\rho=\left(b_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+b_{3} \gamma_{3}^{2}\right)^{-3} .
\]

Вместо переменных (3.4) в данном случае удобней воспользоваться для приведения переменными $N_{1}, N_{2}, K_{3}$, где
\[
N_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}), \quad N_{2}=\frac{\mu}{\mu+D} f\left(\gamma_{3}\right)\left(\gamma_{3}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})-M_{3}\right),
\]

которые удовлетворяют системе, аналогичной (3.5) (при $\Omega=0$ )
\[
\begin{array}{c}
\dot{N}_{1}=-k K_{3} \frac{f^{\prime}}{\gamma_{3} f^{2}} N_{2}, \quad \dot{N}_{2}=k K_{3} \frac{\mu}{\mu+D} f N_{1}, \\
\dot{K}_{3}=-k \frac{(\mu+D) g}{\mu^{2} \gamma_{3}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)^{2} f^{3}} N_{2}\left(\mu f\left(1-\gamma_{3}^{2}\right) N_{1}+(\mu+D) \gamma_{3} N_{2}\right),
\end{array}
\]

где $k=\frac{R \sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}}{(\mu+D) g}$.
Используя (3.1), мы получим два линейных уравнения с независимой переменной $\gamma_{3}$
\[
\begin{array}{c}
\frac{d N_{1}}{d \gamma_{3}}=-\frac{\left(b_{1}-b_{3}\right)}{b_{1} \sqrt{b_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+b_{3} \gamma_{3}^{2}}} N_{2}, \\
\frac{d N_{2}}{d \gamma_{3}}=\frac{\mu b_{1}}{(\mu+D) \sqrt{b_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+b_{3} \gamma_{3}^{2}}} N_{1} .
\end{array}
\]

Несложно показать, что система (3.5) допускает квадратичный интеграл с постоянными коэффициентами
\[
F_{2}=b_{1}^{2} \frac{\mu}{\mu+D} N_{1}^{2}+\left(b_{1}-b_{3}\right) N_{2}^{2},
\]

который, как будет показано ниже, допускает обобщение на случай трехосного эллипсоида.

Система (3.5) разрешима в элементарных функциях. Решение в зависимости от знака разности $b_{1}-b_{3}$ имеет следующий вид:
1. $b_{1}>b_{3}, a^{2}=\frac{b_{1}}{b_{1}-b_{3}}>1$.
\[
\begin{array}{c}
N_{1}=c_{1} \sin \varphi\left(\gamma_{3}\right)+c_{2} \cos \varphi\left(\gamma_{3}\right), \\
N_{2}=a \sqrt{\frac{\mu b_{1}}{\mu+D}}\left(-c_{1} \cos \varphi\left(\gamma_{3}\right)+c_{2} \sin \varphi\left(\gamma_{3}\right)\right), \\
\varphi\left(\gamma_{3}\right)=
u \operatorname{arctg} \frac{\gamma_{3}}{\sqrt{a^{2}-\gamma_{3}^{2}}}, \quad
u=\sqrt{\frac{\mu}{\mu+D}} .
\end{array}
\]
2. $b_{1}<b_{3}, a^{2}=\frac{b_{1}}{b_{3}-b_{1}}>0$.
\[
\begin{array}{c}
N_{1}=c_{1} \tau^{-
u}+c_{2} \tau^{
u}, \quad N_{2}=a \sqrt{\frac{\mu b_{1}}{\mu+D}}\left(-c_{1} \tau^{-
u}+c_{2} \tau^{
u}\right), \\
\tau\left(\gamma_{3}\right)=\gamma_{3}+\sqrt{a^{2}+\gamma_{3}^{2}}, \quad
u=\sqrt{\frac{\mu}{\mu+D}} .
\end{array}
\]

где $c_{1}, c_{2}=$ const, выражая которые, мы можем получить линейные интегралы движения.

3. Исторический комментарий. Интересно, что ни Раус, ни его последователи так и не смогли получить наиболее простые приведенные уравнения (типа (3.5)) и разрешить в элементарных функциях задачу о качении шара по эллипсоиду вращения. Успех явного интегрирования здесь обусловлен удачным выбором приведенных переменных (3.3).

4. Круговой конус. В этом случае вследствие вырожденности гауссова отображения $\gamma=\frac{
abla F}{|
abla F|}$ в качестве позиционных переменных в уравнениях (2.2) необходимо использовать вектор $\boldsymbol{r}$ (в данном это

радиус-вектор центра шара). Для конуса с углом раствора $\theta$ (рис. 2) имеем
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{3}=\cos \theta=\mathrm{const}, \quad \gamma_{1}=\frac{k^{2}}{\sqrt{1+k^{2}}} \frac{r_{1}}{r_{3}}, \quad \gamma_{2}=\frac{k^{2}}{\sqrt{1+k^{2}}} \frac{r_{2}}{r_{3}}, \\
r_{3}=k \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}, \quad k=\operatorname{tg} \theta .
\end{array}
\]

Явное выражение для меры уравнений (2.3), (2.2), в которых $\gamma$ выражено через $r$ по формулам (3.1) имеет вид:
\[
\rho=\frac{\left(\frac{k^{2}}{1-k^{2}} R_{0}+r_{3}\right)^{3}}{r_{3}^{2}},
\]

Для приведенной системы выберем переменные
Рис. 2
\[
\begin{aligned}
\sigma_{1} & =\omega_{3}+\frac{D \Omega}{\sqrt{1+k^{2}} \sqrt{\mu+D}} \frac{r_{3}}{R} \\
\sigma_{2} & =\left(r_{3}+\frac{k^{2}}{\sqrt{1+k^{2}}} R\right)\left(\left(M-\frac{k^{2} \mu^{2}}{\mu+D} \boldsymbol{\Omega}\right), \gamma\right) .
\end{aligned}
\]

В них получаются уравнения
\[
\frac{d \sigma_{1}}{d r_{3}}=0, \quad \frac{d \sigma_{2}}{d r_{3}}=\sqrt{1+k^{2}} \sigma_{1}+\frac{\mu \Omega}{\mu+D}\left(\frac{r_{3}}{R}-k^{2}\right),
\]

которые позволяет получить первые интегралы в явном виде:
\[
F_{2}=\sigma_{1}, \quad F_{3}=\sqrt{1+k^{2}} r_{3} \sigma_{1}-\sigma_{2}+\frac{\mu \Omega}{\mu+D}\left(\frac{r_{3}^{2}}{2 R}-k^{2} r_{3}\right) .
\]

5. Круговой цилиндр. Движение шара в иилиндре является наиболее известной задачей, на коРис. 3 торой обычно иллюстрируют нереалистичность некоторых выводов, полученных с помощью неголономной механики. Оказывается, что движущийся внутри вертикального цилиндра однородный

шар под действием силы тяжести в среднем не смещается вниз. Тем не менее, этот физический факт можно наблюдать при игре в баскетбол, когда мяч почти что попадает в корзину, а затем быстро выскакивает из нее, внезапно поднимаясь вверх. Влияние вязкого трения на неголономную постановку, приводящую к направленному вертикальному дрейфу, проанализировано в [8], где получено также явное решение.

Для цилиндра $\gamma=\left(-\frac{r_{1}}{R_{c}},-\frac{r_{2}}{R_{c}}, 0\right)$, где $R_{c}-$ радиус цилиндра (рис. 3) в переменных $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r})$ или $\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{r}$ ) плотность инвариантной меры является постоянной. Выпишем выражение для кинетической энергии
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})=\frac{1}{2(\mu+D)}\left\{\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+\frac{D}{\mu}(\boldsymbol{M}, \gamma)^{2}+M_{3}^{2}\right\}= \\
=\frac{1}{2}\left(\mu(\boldsymbol{\omega}, \gamma)^{2}+(\mu+D)\left(\omega_{3}^{2}+\left(\omega_{1} \gamma_{2}-\omega_{2} \gamma_{1}\right)^{2}\right)\right) .
\end{array}
\]

Приведенная система в переменных $\sigma_{1}=\omega_{3}, \sigma_{2}=(\boldsymbol{\omega}, \gamma)$ имеет вид
\[
\sigma_{1}^{\prime}=\omega_{3}^{\prime}=0, \quad \sigma_{2}^{\prime}=\frac{R \omega_{3}-R_{c} \Omega}{\left(R_{c}-R\right) R} .
\]

Таким образом, имеются два интеграла
\[
\omega_{3}=\text { const }, \quad(\boldsymbol{\omega}, \gamma)-\frac{R \omega_{3}-R_{c} \Omega}{R_{c}-R} \frac{r_{3}}{R}=\text { const. }
\]

Второй интеграл с помощью вектора $\widetilde{\boldsymbol{\omega}}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \frac{R \omega_{3}-R_{c} \Omega}{R_{c}-R}\right)$ можно записать в виде
\[
(\widetilde{\boldsymbol{\omega}}, \boldsymbol{r})=\mathrm{const}
\]

а кинетическую энергию
\[
2 H=\mu\left((\widetilde{\boldsymbol{\omega}}, \gamma)+\widetilde{\omega}_{3} \frac{r_{3}}{R}\right)^{2}+\left(\mu+m R^{2}\right) \widetilde{\omega}_{3}^{2}+\left(\mu+m R^{2}\right) \frac{\dot{r}_{3}^{2}}{R^{2}} .
\]

Отсюда легко получить решение для переменной $r_{3}$, отвечающей за вертикальное смещение шара
\[
r_{3}=-\frac{(\widetilde{\boldsymbol{\omega}}, \gamma)}{\widetilde{\omega}_{3}} \pm \sqrt{\frac{2 H-\left(\mu+m R^{2}\right) \widetilde{\omega}_{3}^{2}}{\mu \widetilde{\omega}_{3}^{2}}} \sin \left(\widetilde{\omega}_{3} \sqrt{\frac{\mu}{\mu+m R^{2}}}\left(t-t_{0}\right)\right)
\]

где $t_{0}$ – константа, зависящая от начальных условий. Видно, что среднее смещение шара равно нулю даже при наличии поля тяжести (см. далее формулу (5.6)).

Рассмотрим теперь два различных варианта задачи о качении шара по поверхности сферы, также проинтегрированных и изученных Раусом [10].
6. Шар на вращающейся сфере. Пусть сфера вращается вокруг некоторой оси с постоянной угловой скоростью $\boldsymbol{\Omega}$, причем $R_{s}$ – радиус сферы, $R$ – радиус шара, $\boldsymbol{a}=-R \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{r}=R_{s} \gamma$ (рис. 4). Уравнения движения в потенциальном поле с потенциРис. 4 алом $V(\gamma)$ могут быть представлены в виде
\[
\begin{array}{c}
D_{1} \dot{\boldsymbol{\omega}}=\frac{D R}{R_{s}+R}(\boldsymbol{\omega}, \gamma) \boldsymbol{\omega} \times \gamma+\frac{R_{s} R}{R_{s}+R}(\boldsymbol{\Omega}, \gamma)\left(R \boldsymbol{\omega}+R_{s} \boldsymbol{\Omega}\right) \times \gamma+\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\frac{\left(R \boldsymbol{\omega}+R_{s} \boldsymbol{\Omega}\right) \times \gamma}{R_{s}+R}
\end{array}
\]

где $D=m R^{2}, D_{1}=\mu+D, \mu-$ момент инерции шара. Внешнее и внутреннее обкатывание задается знаком $R$. Первое уравнение (3.1) с помощью вектора кинетического момента $\boldsymbol{M}=D_{1} \boldsymbol{\omega}-D \boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma})$ можно записать в виде
\[
\dot{M}=\frac{R_{s} R}{R_{s}+R}\left(R((\boldsymbol{\omega} \times \gamma)(\boldsymbol{\Omega}, \gamma)+\gamma(\boldsymbol{\Omega}, \boldsymbol{\omega} \times \gamma))-R_{s}(\boldsymbol{\Omega}, \gamma)(\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\Omega})\right)+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial V}{\partial \gamma} .
\]

После преобразования $\widetilde{\boldsymbol{\omega}}=\boldsymbol{\omega}+\frac{R_{s}}{R} \boldsymbol{\Omega}$ уравнения (3.1) переходят в следующие
\[
\left\{\begin{aligned}
D_{1} \dot{\tilde{\boldsymbol{\omega}}} & =\frac{D R}{R_{s}+R}(\widetilde{\boldsymbol{\omega}}, \gamma)(\widetilde{\boldsymbol{\omega}} \times \gamma)+\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma} \\
\dot{\gamma} & =\frac{R}{R_{s}+R} \widetilde{\boldsymbol{\omega}} \times \gamma,
\end{aligned}\right.
\]

что соответствует первоначальной системе (3.1) при $\boldsymbol{\Omega}=0$. Поэтому достаточно рассмотреть последний случай. В переменных $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$ урав-
нения (3.1) при $\boldsymbol{\Omega}=0$ имеют вид
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{M} & =\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma} \\
\dot{\gamma} & =\frac{R}{R_{\varepsilon}+R} \boldsymbol{\omega} \times \gamma .
\end{aligned}\right.
\]

Они обладают интегралами
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+V(\gamma), \quad F_{1}=(\boldsymbol{M}, \gamma)=c, \quad F_{2}=\gamma^{2}=1 .
\]

После замены времени $t \rightarrow-\frac{R}{R_{s}+R} \tau$ второе уравнение (3.4) преобразуется в обычное уравнение Пуассона $\dot{\gamma}=\gamma \times \boldsymbol{\omega}$, а в потенциале появляется некоторый несущественный множитель. Это замечание позволяет перенести на систему (3.1) известные интегрируемые случаи. Например при $V=\frac{1}{2}(\gamma, \mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}), \mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$ получается известная задача Неймана о движении точки по сфере в квадратичном потенциале (уравнения (3.1) реализуют даже более общую ситуацию $(\boldsymbol{M}, \gamma)=c
eq 0$, соответствуюшую случаю Клебша [4]).

Форма (3.3), (3.4) уравнений движения шара по сфере также делает прозрачной аналогию, обсуждаемую в $[9,10]$ задач о качении однородного шара по сфере в поле тяжести и случаем Лагранжа в уравнениях Эйлера-Пугссона (движение тяжелого динамически симметричного волчка). Действительно, для потенциалов типа $V=V\left(\gamma_{3}\right)$ системы (3.3), (3.4) допускают «лагранжевы» интегралы $M_{3}=$ const или $\omega_{3}=$ const, соответствующие осевой симметрии.

7. Качение шара по свободной сфере. Рассмотрим для полноты качение шара по сфере, которая не является неподвижной, а свободно вращается вокруг своего центра. Зєписывая уравнения динамики, получим:
\[
\begin{array}{ll}
m \dot{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{N}, & \mu \dot{\boldsymbol{\omega}}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{N}, \quad \mu_{s} \dot{\boldsymbol{\Omega}}=-\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{N}, \\
\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{a}=\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\Omega}, \mu, \mu_{s}$ – угловые скорости и моменты инерции шара и сферы соответственно. Принимая во внимание соотношения $\boldsymbol{r}=R_{s} \gamma, \boldsymbol{a}=-R \gamma$

для величин $\widetilde{\boldsymbol{\omega}}=\frac{R \boldsymbol{\omega}+R_{s} \boldsymbol{\Omega}}{R+R_{s}}, \gamma$, находим
\[
\begin{array}{c}
(1+D) \dot{\widetilde{\boldsymbol{\omega}}}=D \gamma \times(\dot{\boldsymbol{\gamma}} \times \widetilde{\boldsymbol{\omega}}), \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\widetilde{\boldsymbol{\omega}} \times \gamma, \\
D=\frac{m R^{2}}{\mu}+\frac{m R_{s}^{2}}{\mu_{s}}
\end{array}
\]

Система (3.1) заменой времени $d t \rightarrow \alpha d t, \alpha=$ const сводится к уравнениям (3.3) и вследствие этого интегрируема.