Рассмотрим подробнее частный случай, при котором центр масс шара движется по эллиптическому цилиндру, так что поперечное сечение задается уравнением
\[
\frac{x^{2}}{b_{1}}+\frac{y^{2}}{b_{2}}=1 .
\]

При этом
\[
r_{1}+R \gamma_{1}=\frac{b_{1} \gamma_{1}}{\sqrt{b_{1} \gamma_{1}^{2}+b_{2} \gamma_{2}^{2}}}, \quad r_{2}-R \gamma_{2}=\frac{b_{2} \gamma_{2}}{\sqrt{b_{1} \gamma_{1}^{2}+b_{2} \gamma_{2}^{2}}}, \quad r_{3}=R z
\]

и, соответственно,
\[
\begin{array}{c}
\lambda(\gamma)=\frac{R(\gamma, \mathbf{B} \gamma)^{3 / 2}}{b_{1} b_{2}}, \quad \mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, 0\right), \\
Q^{-1}(\varphi)=\frac{M_{3} R}{(\mu+D) b_{1} b_{2}}\left(b_{1} \cos ^{2} \varphi+b_{2} \sin ^{2} \varphi\right)^{3 / 2} .
\end{array}
\]

Рис. 3. Вертикальная координата точки контакта $z$ в зависимости от угла $\varphi$ для различных начальных значений $K_{1}, K_{2}, z$. Рисунок соответствует следующим параметрам: $E=1, \mu=1, D=1\left(
u=2^{-1 / 2}\right), b_{1}=1, b_{2}=2, R=1$.

Отметим важное отличие эллиптического цилиндра от кругового: в этом случае вместо одночастотных функций зависимость динамических

переменных $K_{1}, K_{2}, z$ определяется двумя частотами $\omega_{1}=1, \omega_{2}=
u$. Таким образом, интегралы в (2.8) берутся от квазипериодических функций и имеют довольно сложный характер, их аналитические свойства подробно обсуждаются в [4]. На рис. 3 изображены примеры зависимостей $z(\varphi)$ для различных начальных значений $K_{1}$ и $K_{2}$. Они согласуются с аналитическими исследованиями, то есть для всех соотношений частот переменные $K_{1}$ и $K_{2}$, а с ними и смещение $z$, испытывают ограниченные квазипериодические колебания.

Авторы благодарят В. В. Козлова за полезные замечания и обсуждения.