Рассмотрим дифференциальное уравнение
\[
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^{n}
\]

и пусть $g^{t}$ – его фазовый поток. Предположим, что уравнение (2.1) имеет интегральный инвариант с некоторой гладкой плотностью $M(x)$ : т. е. для любой измеримой области $D \subset R^{n}$ и для всех $t$ выполнено равенство
\[
\int_{g^{t}(D)} M(x) d x=\int_{D} M(x) d x .
\]

Вспомним хорошо известное утверждение Лиувилля: гладкая функция $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ является плотностью инварианта
\[
\int M(x) d x
\]

тогда и только тогда, когда $\operatorname{div}(M f) \equiv 0$. Если $M(x)>0$ для всех $x$, то формула (2.2) определяет меру в $\mathbb{R}^{n}$, инвариантную относительно действия $f$. Наличие инвариантной меры облегчает интегрирование дифференциального уравнения; например: при $n=2$ оно всегда интегрируется в квадратурах. По Эйлеру $M$ называется еще интегрирующим множителем.

Теорема 1. Предположим, что система уравнений (2.1) с инвариантной мерой (2.2) имеет $n-2$ первых интеграла $F_{1}, \ldots, F_{n-2}$. Пусть на инвариантном множестве $E_{c}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}: F_{s}(x)=c_{s}, 1 \leqslant s \leqslant n-2\right\}$ функции $F_{1}, \ldots, F_{n-2}$ независимы. Тогда
1) решения уравнения (2.1), лежащие на $E_{c}$, находятся квадратурами. Если $L_{c}$ – связная компактная компонента множества уровня $E_{c}$ и $f
eq 0$ на $L_{c}$, то
2) $L_{c}$ – гладкая поверхность, диффеоморфная двумерному тору,
3) на $L_{c}$ можно подобрать угловые координаты $x, y \bmod 2 \pi$ так, чтобы в этих переменных уравнение (2.1) на $L_{c}$ приняло следующий вид:
\[
\dot{x}=\frac{\lambda}{\Phi(x, y)}, \quad \dot{y}=\frac{\mu}{\Phi(x, y)},
\]

где $\lambda, \mu=$ const, $|\lambda|+|\mu|
eq 0, a \Phi$ – гладкая положительная функ-

Укажем основные моменты доказательства. Поскольку векторное поле $f$ касается $\mathrm{E}_{c}$, то дифференциальное уравнение (2.1) можно ограничить на $\mathrm{E}_{c}$. Это уравнение на $\mathrm{E}_{c}$ будет иметь интегральный инвариант
\[
\int \frac{M d \sigma}{V_{n-2}}
\]

где $d \sigma$ – элемент площади $\mathrm{E}_{c}$ как поверхности, вложенный в $\mathbb{R}^{n}, V_{n-2}-$ $(n-2)$-мерный объем параллелепипеда в $\mathbb{R}^{n}$, построенного на градиентах функций $F_{1}, \ldots, F_{n-2}$ как на сторонах. Интегрируемость в квадратурах на $E_{c}$ выкает теперь из замечания Эйлера. Заключение 1 теоремы 1 (отмеченное впервые Якоби) тем самым доказано. Заключение 2 составляет известный топологический факт, что всякое связанное, компактное,

ориентируемое двумерное многообразие, допускающее касательное поле без особых точек, диффеоморфно двумерному тору. Заключение 3 фактически является теоремой А.Н.Колмогорова о приведении дифференциальных уравнений на торе с гладкой инвариантной мерой [9].
Уравнения (2.3) имеют инвариантную меру
\[
\iint|\Phi(x, y)| d x \wedge d y .
\]

Усредняя правые части системы (2.3) по этой мере, получим дифференциальные уравнения
\[
\dot{u}=\frac{\lambda}{
u}, \quad \dot{v}=\frac{\mu}{
u} ; \quad
u=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Phi d x d y .
\]

Предложение 1. Если $\Phi: T^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ – гладкая (аналитическая) функция, то для почти всех пар $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}$ существует гладкая (аналитическая) замена угловых переменных $x, y \rightarrow u, v$, приводящая систему (2.3) к системе (2.4).

Доказательство можно найти в [9],[10]. Отметим, что ес.ли с.истема (2.3) не приводится к системе (2.4) для пары $(\lambda, \mu)$, тогда то же самое имеет место и для всех пар $(\varkappa \lambda, \varkappa \mu), \varkappa
eq 0$. Таким образом, свойство приводимости зависит от арифметических свойств отношения $\frac{\lambda}{\mu}$, которое называется числом вращения касательного векторного поля на $T^{2}=$ $=\{x, y \bmod 2 \pi\}$.

Предложение 2. Пусть $\Phi(x, y)=\sum \varphi_{m, n} \exp i(m x+n y), \varphi_{m, n}=$ $=\bar{\varphi}_{-m,-n}$. Если дифференцируемой заменой угловых переменных $u=$ $=u(x, y), v=v(x, y)$ систему (2.3) можно привести к виду (2.4), mo
\[
\sum_{|m|+|n|
eq 0}\left|\frac{\varphi_{m, n}}{m \lambda+n \mu}\right|^{2}<\infty .
\]

При рациональном отношении $\frac{\lambda}{\mu}$ тор $T^{2}$ расслоен на семейство замкнутых траекторий. В этом случае условие приводимости эквивалентно равенству периодов обращения по различным замкнутым траекториям.

В общем случае (когда разложение Фурье функции $\Phi$ содержит гармоники) точки ( $\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}$ с рационально независимыми $(\lambda, \mu)$, для

которых ряд (2.5) расходится, всюду плотны в $\mathbb{R}^{2}$. Обсуждение вопросов приводимости уравнений (2.3) можно найти в работе [9]. Относительно общих свойств решений системы (2.3) см. [10].