Поскольку уравнения движения систем с неинтегрируемыми связями не приводятся в общем случае к виду уравнений Лагранжа и Гамильтона, то известная для голономных систем теорема Гамильтона –

Якоби (и метод Якоби) не распространяется непосредственно на неголономные системы. Было предпринято несколько попыток обобщения этой теоремы. Некоторые из них оказались ошибочными, другие справедливы при ограничениях, которые обесценивают практическую значимость этих обобщений. Библиографию вопроса и анализ работ можно найти в обзоре [33].

Остановимся на обобщении теоремы Гамильтона – Якоби, предложенной Г.К. Сусловым для систем с конечными связями в избыточных обобщенных координатах $[34,36]$ и распространенных В. В. Румянцевым на неголономные системы $[28,30]$.
Вводятся обобщенные импульсы по формулам
\[
\pi_{j}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}+\sum_{i=k+1}^{n} \mu_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial \dot{q}_{i}} \quad(j=1, \ldots, n),
\]

где $\mu_{i}-$ множители связей (3.14). Обобщенная функция Гамильтона
\[
H_{1}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}-L+\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=k+1}^{n} \mu_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}
\]

выражается при помощи (5.1) и (3.14) в канонических переменных $q_{j}, \pi_{j}$. Обобщенное уравнение Гамильтона – Якоби
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+H_{1}\left(t, q, \frac{\partial V}{\partial q}\right)=0
\]

представляет собой уравнение в частных производных первого порядка.
Для (5.2) уравнения характеристик имеют вид канонических уравнений
\[
\frac{d q_{j}}{d t}=\frac{\partial H_{1}}{\partial \pi_{j}}, \quad \frac{d \pi_{j}}{d t}=-\frac{\partial H_{1}}{\partial q_{j}} \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Согласно теореме Якоби соотношения
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{j}}=\pi_{j}, \quad \frac{\partial V}{\partial \alpha_{j}}=\beta_{j} \quad(j=1, \ldots, n)
\]

суть $2 n$ интегралов уравнений (5.3), если $V(t, q, \alpha)$ – полный интеграл уравнения (5.2), $\alpha_{j}$ и $\beta_{j}$ – произвольные постоянные.
В.В.Румянцев доказал, что решение уравнений (5.3) представляет движение неголономной системы со связями (3.14) тогда и только тогда,

когда оно удовлетворяет условию (4.13), т.е. когда принцип Гамильтона (4.6) имеет характер принципа стационарного действия.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Ведущие научные школы (00-15-96150) и Российской ФЦП «Интеграция».