Рассмотрим задачу о качении динамически несимметричного шара с гироскопом внутри по плоскости. Уравнения (2.1) при добавлении гироскопа приводятся к виду
\[
\begin{array}{c}
\left\{\begin{array}{l}
\dot{M}=(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{K}) \times \boldsymbol{\omega}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\gamma \times \boldsymbol{\omega},
\end{array}\right. \\
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+D \boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma), \quad D=m a^{2},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{K}$ – постоянный вектор момента гироскопа. Как показал А. П. Маркеев [8] данная система допускает интегралы
\[
\begin{array}{c}
h=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}), \quad C=(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{K}, \gamma), \\
(\gamma, \gamma)=1, \quad n=(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{K}, \boldsymbol{M}+\boldsymbol{K}) .
\end{array}
\]

Причем мера в данной задаче имеет такой же как и в случае отсутствия гироскопа вид (2.2), что позволяет свести задачу к квадратурам. Однако несмотря на это, явное интегрирование задачи до сих пор не выполнено.

Рассмотрим частный случай данной задачи [10], когда полный момент системы шар-гироскоп вертикален $\boldsymbol{M}+\boldsymbol{K}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{\gamma}$. При этом третье уравнение системы (4.1) принимает вид
\[
\boldsymbol{J} \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{K}=l \gamma,
\]

где $l=C+D \frac{2 h+(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{\omega})}{C}$. Продифференцируем (4.3) по времени и произведем замену
\[
\boldsymbol{\omega}=l \boldsymbol{x}, \quad d t=\frac{1}{l} d \tau .
\]

Рис. 7. Траектории точки контакта на плоскости при $I_{1}=1, I_{2}=3, I_{3}=5, \boldsymbol{K}=$ $=(0.1,0.10 .2), C=1, \boldsymbol{M}+\boldsymbol{K} \| \boldsymbol{\gamma}:$ a) $h=0.1366$; b) $h=0.1415$; c) $h=0.1533$; $\boldsymbol{M}+\boldsymbol{K} \bigvee \boldsymbol{\gamma}: \mathrm{d}) h=0.25$, траектория вблизи сепаратрисы; f) $h=0.3$, траектория вблизи эллиптической неподвижной точки.

После некоторых преобразований уравнение для новых переменных запишется в виде
\[
\hat{J} \dot{\boldsymbol{x}}=\left(\hat{J} \boldsymbol{x}+\frac{1}{\delta} \boldsymbol{K}\right) \times \boldsymbol{x},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\hat{J}_{m n}=J_{m n}-\frac{D}{\delta C} K_{m} K_{n}, \\
\delta=C+\frac{2 D h}{C} .
\end{array}
\]

Полученные уравнения совпадают с уравнениями Жуковского – Вольтерра, описывающими движение свобсдного гироскопа. Эти уравнения были проинтегрированы В. Вольтерра в работе [13]. Однако это решение не позволяет составить полную картину динамики.

Движение точки контакта в рассматриваемом случае по-прежнему описывается уравнениями (2.4), (2.6). При этом на движение шара рассмотренное выше накладывается влияние гироскопа. В результате вид траекторий еще более усложняется. Однако при этом траектории в рассматриваемом случае остаются ограниченными. Некоторые наиболее замечательные траектории при $\boldsymbol{M}+\boldsymbol{K} \| \gamma$ и $\boldsymbol{M}+\boldsymbol{K} \| \gamma$ приведены на рис. 7.

Автор благодарит А. В. Борисова и И. С. Мамаева за постановку задачи и полезные обсуждения в ходе работы над статьей.