Рассмотрим задачу о качении динамически несимметричного шара с гироскопом внутри по плоскости. Уравнения (2.1) при добавлении гироскопа приводятся к виду
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\dot{M}=(\mathit{M}+\mathit{K})\times \mathit{\omega },\\ \dot{\mathit{\gamma }}=\gamma \times \mathit{\omega },\end{array}\\ \mathit{M}=\mathbf{I}\mathit{\omega }+D\mathit{\gamma }\times (\mathit{\omega }\times \gamma ),D=m{a}^2,\end{array}$$

где $\mathit{K}$ — постоянный вектор момента гироскопа. Как показал А. П. Маркеев [8] данная система допускает интегралы
$$\begin{array}{c}h=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathit{\omega }),C=(\mathit{M}+\mathit{K},\gamma ),\\ (\gamma ,\gamma )=1,n=(\mathit{M}+\mathit{K},\mathit{M}+\mathit{K}).\end{array}$$

Причем мера в данной задаче имеет такой же как и в случае отсутствия гироскопа вид (2.2), что позволяет свести задачу к квадратурам. Однако несмотря на это, явное интегрирование задачи до сих пор не выполнено.

Рассмотрим частный случай данной задачи [10], когда полный момент системы шар-гироскоп вертикален $\mathit{M}+\mathit{K}=\mathit{C}\mathit{\gamma }$. При этом третье уравнение системы (4.1) принимает вид
$$\mathit{J}\mathit{\omega }+\mathit{K}=l\gamma ,$$

где $l=C+D\frac{2h+(\mathit{K},\mathit{\omega })}{C}$. Продифференцируем (4.3) по времени и произведем замену
$$\mathit{\omega }=l\mathit{x},dt=\frac{1}{l}d\tau .$$

Рис. 7. Траектории точки контакта на плоскости при $I_1=1,I_2=3,I_3=5,\mathit{K}=$ $=(0.1,0.10.2),C=1,\mathit{M}+\mathit{K}\Vert \mathit{\gamma }:$ a) $h=0.1366$; b) $h=0.1415$; c) $h=0.1533$; $\mathit{M}+\mathit{K}\bigvee \mathit{\gamma }:\mathrm{d})h=0.25$, траектория вблизи сепаратрисы; f) $h=0.3$, траектория вблизи эллиптической неподвижной точки.

После некоторых преобразований уравнение для новых переменных запишется в виде
$$\hat{J}\dot{\mathit{x}}=(\hat{J}\mathit{x}+\frac{1}{\delta }\mathit{K})\times \mathit{x},$$

где
$$\begin{array}{l}{\hat{J}}_{mn}=J_{mn}-\frac{D}{\delta C}{K}_m{K}_n,\\ \delta =C+\frac{2Dh}{C}.\end{array}$$

Полученные уравнения совпадают с уравнениями Жуковского — Вольтерра, описывающими движение свобсдного гироскопа. Эти уравнения были проинтегрированы В. Вольтерра в работе [13]. Однако это решение не позволяет составить полную картину динамики.

Движение точки контакта в рассматриваемом случае по-прежнему описывается уравнениями (2.4), (2.6). При этом на движение шара рассмотренное выше накладывается влияние гироскопа. В результате вид траекторий еще более усложняется. Однако при этом траектории в рассматриваемом случае остаются ограниченными. Некоторые наиболее замечательные траектории при $\mathit{M}+\mathit{K}\Vert \gamma$ и $\mathit{M}+\mathit{K}\Vert \gamma$ приведены на рис. 7.

Автор благодарит А. В. Борисова и И. С. Мамаева за постановку задачи и полезные обсуждения в ходе работы над статьей.