Рассмотрим произвольную голономную систему с независимыми координатами $q_{1}, \ldots, q_{n}$ и функцией Лагранжа $L(t, q, \dot{q})$. Если произвольно задать функции $q_{j}=q_{j}(t)(j=1, \ldots, n)$, то получим кинематически возможное (т. е. допускаемое связями) движение. Пусть $\{q(t, \alpha)\}$ однопараметрическое семейство всевозможных движений, переводящих систему из данного начального положения $\left\{q^{0}\right\}$, которое она занимала в момент времени $t_{0}$ в данное конечное положение $\left\{q^{1}\right\}$, которое она занимает в момент времени $t_{1}$. При этом заранее фиксируются начальный и конечный моменты времени $t_{0}$ и $t_{1}$, начальное и конечное положение системы. В остальном движения произвольны. Параметр изменяется в пределах ( $-\varepsilon \leqslant \alpha \leqslant \varepsilon$ ), причем движение с $\alpha=0$ является истинным (действительным) движением голономной системы, а движения с $\alpha
eq 0$ – окольными движениями. Итак, имеем
\[
q\left(t_{0}, \alpha\right)=q^{0}, \quad q\left(t_{1}, \alpha\right)=q^{1} \quad(-\varepsilon \leqslant \alpha \leqslant \varepsilon) .
\]

Принцип Гамильтона утверждает, что на действительно движении функционал действия
\[
W(\alpha)=\int_{t_{0}}^{t_{1}} L[t, q(t, \alpha), \dot{q}(t, \alpha)] d t
\]

принимает стационарное значение, т. е.
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} L(t, q, \dot{q}) d t=0
\]

где
\[
\delta q_{j}=\left.\frac{\partial q_{j}}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} \delta \alpha \quad(j=1, \ldots, n)
\]

суть изохронные вариации координат, причем [9]
\[
\frac{d}{d t} \delta q_{j}=\delta \frac{d q_{j}}{d t} \quad\left(t_{0}<t<t_{1}\right),\left.\quad \delta q_{j}\right|_{t=t_{0}}=\left.\delta q_{j}\right|_{t=t_{1}}=0 \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Рассмотрим теперь произвольную неголономную систему с функцией Лагранжа $L(t, q, \dot{q})$, стесненную идеальными неинтегрируемыми линейными связями
\[
\begin{array}{l}
a_{i_{1}}(t, q) \dot{q}_{1}+\ldots+a_{i n}(t, q) \dot{q}_{n}+a_{i}(t, q)=0, \\
\operatorname{rank}\left\|a_{i j}\right\|=n-k \quad(i=1, \ldots, n-k) .
\end{array}
\]

Обобщенные координаты $q_{1}, \ldots, q_{n}$ системы независимы, поскольку не связаны никакими конечными соотношениями (п. 1), а обобщенные скорости $\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}$ должны тождественно по $t$ удовлетворять неинтегрируемым уравнениям (4.3).

Пусть $\left\{q^{0}\right\}$-данное начальное положение, которое занимала система в момент времени $t_{0}$. Если в случае голономной системы точка $\left\{q^{1}\right\}$, конечное положение системы в момент $t_{1}$, выбирается на конфигурационном многообразии более или менее произвольно, то для неголономной системы точку $\left\{q^{1}\right\}$ можно взять только на множестве динамической достижимости из положения $\left\{q^{0}\right\}[72]$. Другими словами, заранее должно быть известно, что точки $\left\{q^{0}, t_{0}\right\}$ и $\left\{q^{1}, t_{1}\right\}$ лежат на каком-то действительном движении системы.

Далее. Существует бесчисленное множество кинематически допустимых линейными неинтегрируемыми связями окольных движений системы, которые проходят через указанные точки. Если для изохронных вариаций координат принять условия (4.2), но не связывать вариации соотношениями
\[
a_{i 1}(t, q) \delta q+1+\ldots+a_{i n}(t, q) \delta q_{n}=0 \quad(i=1, \ldots, n-k),
\]

которым удовлетворяют виртуальные перемещения системы, то принцип Гамильтона в форме (4.1) для неголономной системы не имеет места.

Действительно, вычислив вариацию функционала действия и использовав, как обычно, перестановочные соотношения и граничные условия (4.2), получим выражение
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{j}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) \delta q_{j} d t
\]

которое не равно нулю (подынтегральное выражение представляет собой взятую со знаком минус работу слл реакции связей на перемещении системы, которое, вообще говоря, не удовлетворяет условиям (4.4)).

Итак, при распространении принципа (4.1) на неголономные системы следует учитывать, что
(a) близкие к действительному окольные движения допустимы связями, т. е.
\[
\delta \omega_{1}=\ldots=\delta \omega_{n-k}=0
\]
(через $\omega_{i}$ обозначены левые части уравнений (4.3));
(б) изохронные вариации $\delta q_{1}, \ldots, \delta n$ суть виртуальные перемещения (4.4) системы;
(в) выполняются перестановочные соотношения
\[
\frac{d}{d t} \delta q_{j}=\delta \frac{d q_{j}}{d t} \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Однако перечисленные три группы условий несовместны при неинтегрируемых связях (4.3) [53, 18]. Следовательно, от некоторых условий (а), (б), (в) необходимо отказаться.

Если отказаться от условия (а), но сохранить (б) и (в), то множество окольных движений, проходящих через заданные точки $\left\{q^{0}\right\}$ и $\left\{q^{1}\right\}$ соответственно в моменты времени $t_{0}$ и $t_{1}$, задается формулой
\[
q_{j}(t)=\widetilde{q}_{j}(t)+\delta q_{j}(t) \quad(j=1, \ldots, n),
\]

где $\{\widetilde{q}(t)\}$ – действительная траектория, на которой лежат точки $\widetilde{q}\left(t_{0}\right)=$ $=q^{0}$ и $\widetilde{q}\left(t_{1}\right)=q^{1}$, а $\{\delta q\}$ – инфинитезимальные виртуальные перемещения системы, определяемые равенствами (4.4). В классе сравниваемых движений (4.5) действительная траектория доставляет стационарное значение функционалу действия, что записывается так
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta L d t
\]

Это принцип Гамильтона для неголономных систем в форме Гёльдера [65].
Подчеркнем принципиальное различие между формами (4.1) и (4.6) принципа Гамильтона. В голономных системах задаются только две точки $\left\{q^{0}, t_{0}\right\}$ и $\left\{q^{1}, t_{1}\right\}$, принадлежащие действительной траектории,

а условие стационарности приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа, из которых находят искомое движение для всех $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$. Напротив, смысл (4.6) определен, если описано множество окольных движений (4.5), а для этого необходимо задать весь отрезок действительной траектории $\{\widetilde{q}(t)\}, t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$. Поэтому принцип Гамильтона (4.6) представляет больший теоретический интерес.

Можно сохранить условия (а) и (б), но не требовать выполнения перестановочных соотношений для всех координат. Поступим так. Разрешим уравнения связей (4.3) относительно $n-k$ обобщенных скоростей. Не нарушая общности, запишем результат:
\[
\dot{q}_{i}=b_{i 1}(t, q) \dot{q}_{1}+\ldots+b_{i k}(t, q) \dot{q}_{k}+b_{i}(t, q) \quad i=(k+1, \ldots, n) .
\]

Виртуальные перемещения
\[
\delta q_{i}=b_{i 1} \delta q_{1}+\ldots+b_{i k} \delta q_{k} \quad(i=k+1, \ldots, n) .
\]

Примем перестановочные соотношения для первых $k$ координат, а для последних $n-k$ координат с учетом условий (а) и (б) находим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \delta q_{i}-\delta \dot{q}_{i}=\frac{d}{d t}\left(b_{i 1} \delta q_{1}+\ldots+b_{i k} \delta q_{k}\right)-\delta\left(b_{i 1} \dot{q}_{1}+\ldots+b_{i k} \dot{q}_{k}+b_{i}\right)= \\
=\frac{d b_{i 1}}{d t} \delta q_{1}+\ldots+\frac{d b_{i k}}{d t} \delta q_{k}-\dot{q}_{1} \delta b_{i 1}-\ldots-\dot{q}_{k} \delta b_{i k}-\delta b_{i}= \\
=\sum_{s=1}^{k} \sum_{r=1}^{k} A_{r s}^{i} \dot{q}_{s} \delta q_{r}-\delta b_{i} \quad(i=k+1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

С помощью этих формул принцип Даламбера-Лагранжа преобразовывается к виду
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\delta L+\sum_{i=k+1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\left(\sum_{s=1}^{k} \sum_{r=1}^{k} A_{r s}^{i} \dot{q}_{s} \delta q_{r}-\delta b_{i}\right)\right] d t=0 .
\]

Это принцип Гамильтона для неголономных систем в форме Суслова [34].

Рассмотрим теперь случай, когда неголономная система подчинена нелинейным по скоростям связям (3.14). В неголономных системах с нелинейными связями множество кинематически допустимых окольных движений, проходящих через заданные две точки на действительном движении, может оказаться пустым $[56,66]$. Такая ситуация встречается в примере Аппеля (п. 2) при движении материальной частицы по

инерции $(g=0)$. Частица тогда движется по прямой. Пусть в начальный момент времени $t=t_{0}$ частица находилась в точке $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$, а в момент $t=t_{1}$ – в точке $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$. Обозначим ортогональные проекции этих точек на координатную плоскость $z=0$ соответственно через $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ и $Q\left(x_{1}, y_{1}\right)$. Если существует какая-либо еще допускаемая уравнением связи (2.2) траектория $r(t)=\{x(t), y(t), z(t)\}$, соединяющая точки $r\left(t_{0}\right)=M_{0}$ и $r\left(t_{1}\right)=M_{1}$, то, интегрируя по времени уравнение (2.2) вдоль этой траектории сразу приходим к противоречию (для простоты положим $a=1$ )
\[
\begin{array}{c}
z\left(t_{1}\right)=z\left(t_{0}\right) \int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{\dot{x}^{2}(t)+\dot{y}^{2}(t)} d t= \\
=z_{0}+\int_{P}^{Q} \sqrt{d x^{2}+d y^{2}}>z_{0}+\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}}=z_{1} .
\end{array}
\]

Таким образом, в системах с нелинейными неголономными связями исходные условия принципа Гамильтона могут не выполняться.

Однако при более внимательном анализе этих требований для голономных систем нетрудно заметить, что условия закрепления окольных движений на концах можно заменить более слабыми условиями
\[
\left.\delta q_{j}\right|_{t=t_{0}}=\left.\frac{\partial q_{j}}{\partial q_{\alpha}}\right|_{\substack{\alpha=0 \\ t=t_{0}}} \delta \alpha=0,\left.\quad \delta q_{j}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{\partial q_{j}}{\partial \alpha}\right|_{\substack{\alpha=0 \\ t=t_{1}}} \delta \alpha=0 \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

В таком случае по-прежнему, выполнив варьирование (4.1), с помощью перестановочных соотношений, интегрирования по частям и условий (4.8) приходим к уравнениям движения Лагранжа.
В случае неголономной связи
\[
\dot{z}=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}
\]

и, например, действительной траектории
\[
x=t, \quad y=0, \quad z=t \quad(0 \leqslant t \leqslant 1),
\]

в качестве однопараметрического семейства окольных движений можно выбрать
\[
x=t, \quad y=\alpha \sin 2 \pi t, \quad z=\int_{0}^{t} \sqrt{1+(2 \pi \alpha \cos 2 \pi t)^{2}} d t \quad(0 \leqslant t \leqslant 1) .
\]

Действительная траектория принадлежит этому семейству, начало координат – общая точка для всех кривых, а концевые точки все различны, но вариации
\[
\delta x, \delta y=\delta \alpha \cdot \sin 2 \pi t, \quad \delta z=\delta \alpha \int_{0}^{t} \frac{2 \pi \cos 2 \pi t}{\sqrt{1+(2 \pi \alpha \cos 2 \pi t)^{2}}} d t
\]

при $t=1$ равны нулю.
Справедливо общее утверждение: в системах Чаплыгина с гладкими связями (3.16) для отрезка $M_{0} M_{1}\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right)$ действительной траектории всегда существует однопараметрическое семейство окольных движений, удовлетворяющих уравнениям связей (3.16) и условиям (4.8) на концах.

Для доказательства обозначим через $\left\{y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right\}\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right)$ отрезок действительной траектории и положим
\[
h_{s}(t)=\varphi_{s}(t)\left(t-t_{0}\right)\left(t_{1}-t\right) \alpha \quad(s=1, \ldots, k)
\]
(выбором функций $\varphi_{s}(t)$ распорядимся позже), а $h_{k+1}(t), \ldots, h_{n}(t)$ суть решения системы дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{c}
\dot{h}_{i}=e_{i}\left(y_{1}+h_{1}, \ldots, y_{k}+h_{k}, \dot{y}_{1}+\dot{h}_{1}, \ldots, \dot{y}_{k}+\dot{h}_{k}\right)-e_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{k}, \dot{y}_{1}, \ldots, y_{k}\right) \\
(i=k+1, \ldots, n)
\end{array}
\]

на отрезке $\left[t_{0}, t_{1}\right]$ с начальным условием $h_{k+1}\left(t_{0}\right)=\ldots=h_{n}\left(t_{0}\right)=0$.
Из (4.10) дифференцированием по $\alpha$ найдем
\[
\frac{d}{d t} \delta q_{i}=\sum_{s=1}^{k}\left(\frac{\partial e_{i}}{\partial q_{s}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial e_{i}}{\partial \dot{q}_{s}}\right) \delta q_{s}+\frac{d}{d t}\left(\sum_{s=1}^{k} \frac{\partial e_{i}}{\partial \dot{q}_{s}} \delta q_{s}\right) \quad(i=k+1, \ldots, n),
\]

где
\[
\delta q_{i}=\left.\frac{\partial h_{j}}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} \delta \alpha \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

С учетом (4.9) из (4.11) получим
\[
\begin{aligned}
\delta q_{i}\left(t_{1}\right)=\delta q_{i}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t_{1}}[ & {\left[\sum_{s=1}^{k}\left(\frac{\partial e_{i}}{\partial q_{s}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial e_{i}}{\partial \dot{q}_{s}}\right) \varphi_{s}\right]\left(t-t_{0}\right)\left(t_{1}-t\right) d t } \\
& (i=k+1, \ldots, n) .
\end{aligned}
\]

Выбирая функции $\varphi_{s}(t)$ так, чтобы выражение в квадратных скобках тождественно по $t$ равнялось нулю, получим
\[
\delta q_{i}\left(t_{1}\right)=\delta q_{i}\left(t_{0}\right)=0 \quad(i=k+1, \ldots, n) .
\]

Таким образом, построив семейство кривых $\left\{y_{1}(t)+h_{1}(t, \alpha), \ldots\right.$, $\left.y_{n}(t)+h_{n}(t, \alpha)\right\},\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right)$, которое содержит отрезок $M_{0} M_{1}$ действительного движения. Кривые семейства удовлетворяют уравнениям связей (3.16) и условиям (4.8) на концах $\left(M_{0}, t_{0}\right),\left(M_{1}, t_{1}\right)$. В классе таких кривых корректна постановка условной вариационной задачи Лагранжа о стационарном значении гамильтонова действия для чаплыгинских систем со связями (3.16).

В общей постановке для неголономных систем со связями вида (3.14) задачу Лагранжа исследовал В.В.Румянцев [28]. Введением неопределенных множителей $\mu_{i}(t)$ эта задача об условном экстремуме приводится к вариационной задаче
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(L+\sum_{i=k+1}^{n} \mu_{i} f_{i}\right) d t=0 .
\]

Уравнения экстремалей представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно $q_{j}(t)$ и первого порядка относительно $\mu_{i}(t)$ :
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=\sum_{i=k+1}^{n} \mu_{i}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{j}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial f_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\sum_{i=k+1}^{n} \dot{\mu}_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=0 \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Общее решение $\mathfrak{W}$ системы уравнений (3.14), (4.12) зависит от $2 n$ произвольных постоянных в то время, как уравнения движения неголономной системы определяют $2 n-k$ параметрическое семейство траекторий.

Можно поставить вопрос об ус.овиях включения некоторых из этих траекторий (частных решений) или целиком всего семейства во множестве $\mathfrak{W}$. В. В. Румянцев показал, что для этого необходимо и достаточно, чтобы на общих для обоих множеств решениях выполнялось условие
\[
\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=k+1}^{n} \mu_{i}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{j}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial f_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}\right) \delta q_{j}=0,
\]

где $\delta q_{1}, \ldots, \delta q_{n}$ – виртуальные перемещения неголономной системы, связанные соотношениями (3.15).

Условие (4.13) не требует интегрируемости связей, но является достаточно жестким. Например, для систем Чаплыгина со связями (3.16) соотношение (4.13) приводится к виду равенств
\[
\sum_{i=k+1}^{n} \mu_{i}\left(\frac{\partial e_{i}}{\partial q_{s}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial e_{i}}{\partial \dot{q}_{s}}\right)=0 \quad(s=1, \ldots, k),
\]

которые с учетом последних $n-k$ уравнений (4.12) можно переписать так:
\[
\sum_{i=k+1}^{n}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-p_{i 0}+\mu_{i 0}\right)\left(\frac{\partial e_{i}}{\partial q_{s}}-\frac{d^{\prime}}{d t} \frac{\partial e_{i}}{\partial \dot{q}_{s}}\right)=0 \quad(s=1, \ldots, k) .
\]

Здесь $p_{i 0}$ – начальные значения импульсов $\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}, \mu_{i 0}$ – начальные значения множителей Лагранжа $\mu_{i}(i=k+1, \ldots, n)$.

Положив $\mu_{i 0}=p_{i 0}(i=k+1, \ldots, n)$, видим, что на решении уравнений (4.12) и (3.16), являющемся также решением уравнений Чаплыгина (3.17), последние имеют лагранжеву форму. Если
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}=p_{i 0} \quad(i=k+1, \ldots, n)
\]

суть интегралы (общие или частные) уравнений движения голономной системы с лагранжианом $L$, то, положив все $\mu_{i 0}=0$, добьемся выполнения условий (4.14) для рассматриваемого движения или класса движений.

Обобщения принципа наименьшего действия и некоторых других вариационных принципов для систем с неголономными связями изучали Гёльдер [65], В.С.Новоселов [19, 21], В. В. Румянцев [29] и др.

Переводы оригинальных работ по дифференциальным и интегральным вариационным принципам механики можно найти в сборнике [22]. Хороший обзор вариационных принципов механики приведен в книге [47].