Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки, подчиненное неинтегрируемой связи $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\omega})=0$, где $\boldsymbol{a}$ — вектор, постоянный в подвижном пространстве. Пусть, кроме того, имеется осесимметричное силовое поле с потенциалом $V(\gamma)$. Используя метод множителей Лагранжа, уравнения движения можно записать в виде (см. статью 14)
\[
\mathbf{I} \dot{\boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{I} \boldsymbol{\omega}=\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma}+\lambda \boldsymbol{a}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\gamma \times \boldsymbol{\omega},
\]

где
\[
\lambda=\frac{\left(a, \mathbf{I}^{-1}(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\omega})+\mathbf{I}^{-1}\left(\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma}\right)\right)}{\left(\boldsymbol{a}, \mathbf{I}^{-1} \boldsymbol{a}\right)} .
\]

Уравнения (1.1) всегда имеют три независимых интеграла
\[
F_{1}=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega})+V(\boldsymbol{\gamma}), \quad F_{2}=(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})=1, \quad F_{3}=(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\omega})
\]

Оказывается, что если вектор $\boldsymbol{a}$ является собственным вектором оператора I, т. е. I $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{a}$, то фазовый поток (1.1) сохраняет стандартную инвариантную меру в $\mathbb{R}^{6}(\boldsymbol{\omega}, \gamma)$.
Г.К.Суслов установил интегрируемость (1.1) при отсутствии силового поля $V(\gamma)=0$. В этом случае отделяется система, замкнутая относительно $\boldsymbol{\omega}$, которая интегрируется в квадратурах. Действительно, запишем уравнения движения в неглавных осях, таких, что связь представляется уравнением $\omega_{3}=0, I_{12}=0$, — этого всегда можно добиться, выбрав ось $O x_{3}$ вдоль вектора $\boldsymbol{a}$ и подобрав соответствующим образом оси $O x_{1}, O x_{2}$ в перпендикулярной плоскости. Имеем
\[
\left\{\begin{array}{l}
I_{11} \dot{\omega}_{1}-I_{23} \dot{\omega}_{2}-I_{31} \omega_{2}^{2}=0, \\
I_{22} \dot{\omega}_{2}+I_{23} \omega_{1} \omega_{2}+I_{31} \omega_{1}^{2}=0, \\
-I_{23} \dot{\omega}_{2}-I_{31} \dot{\omega}_{1}+\left(I_{22}-I_{11}\right) \omega_{1} \omega_{2}=\lambda,
\end{array}\right.
\]

здесь $\lambda$ — неопределенный множитель связи. Интеграл энергии имеет вид
\[
I_{11} \omega_{1}^{2}+I_{22} \omega_{2}^{2}=2 h .
\]

Положим
\[
\omega_{1}=\sqrt{\frac{2 h}{I_{11}}} \sin \alpha, \quad \omega_{2}=\sqrt{\frac{2 h}{I_{22}}} \cos \alpha,
\]

следовательно
\[
\dot{\alpha}=\sqrt{\frac{2 h}{I_{11} I_{22}}}\left(\frac{I_{23}}{\sqrt{I_{22}}} \cos \alpha+\frac{I_{31}}{\sqrt{I_{11}}} \sin \alpha\right) .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
\operatorname{tg} \frac{\alpha+\alpha_{0}}{2}=e^{k t+t_{0}},
\]

где
\[
\alpha_{0}=\operatorname{arctg} \frac{I_{31}}{I_{23}} \sqrt{\frac{I_{11}}{I_{22}}}, \quad k^{2}=\frac{2 h}{I_{11}^{2} I_{22}^{2}}\left(I_{23}^{2} I_{11}+I_{31}^{2} I_{22}\right) .
\]

Таким образом, движение твердого тела асимптотически приближается к равномерному вращению вокруг некоторой прямой. В общем случае квадратура для $\gamma(t)$ невозможна. Нахождение ориентации $\gamma(t)$ и анализ разложений в ряды на комплексной плоскости времени содержится в [6]. Вагнер [1] получил решение для направляющих косинусов в гипергеометрических функциях времени.

Обобщения задачи Суслова.
В общем случае уравнения (1.1) не имеют инвариантной меры и движения имеют асимптотический характер (см. статью 14 в этой книге). Однако если $\mathbf{I} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{a}$, то имеется стандартная инвариантная мера и для интегрируемости по Эйлеру-Якоби не хватает еще одного интеграла $F_{4}=(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega})$, что и делает возможным проинтегрировать систему по теореме Эйлера — Якоби. В предположении
\[
\mathbf{I} \boldsymbol{a}=\mu \boldsymbol{a}, \quad \boldsymbol{a}=(0,0,1), \quad \omega_{3}=0
\]

установлены следующие случаи интегрируемости.
1. Потенциал линейный $V=(\boldsymbol{b}, \gamma)$ и $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=0$ (Е.И.Харламова [10]). Дополнительный интеграл
\[
F_{4}=(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{b}) .
\]
2. Линейный потенциал $V=\varepsilon(\boldsymbol{a}, \gamma), \varepsilon
eq 0$ (В.В.Козлов [5]). Оказывается, что в этом случае система (1.1) является гамильтоновой [5] (в отличие от общих неголономных систем) и сводится к системе (без ограничения общности можно положить $\boldsymbol{a}=(0,0,1)$
\[
\ddot{M}_{i}=-\frac{\partial \widetilde{V}}{\partial M_{i}} \quad(i=1,2), \quad \widetilde{V}=\frac{1}{2}\left(h-\frac{I_{1}^{-1} M_{1}^{2}+I_{2}^{-1} M_{2}^{2}}{2}\right)^{2}, \quad M_{i}=I_{i} \omega_{i},
\]

где $h-$ константа интеграла энергии $F_{1}=h$. Несложно проверить, что пуассонов тензор, определяющий скобку Пуассона для системы (1.1) в фазовом пространстве переменных $\left(M_{1}, M_{2}, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)$ имеет вид
\[
\left\|J^{i j}\right\|=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & \frac{\varepsilon}{I_{1}} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{\varepsilon}{I_{1}} & 0 & 0 \\
0 & \frac{\varepsilon}{I_{1}} & 0 & 0 & -\omega_{2} \\
-\frac{\varepsilon}{I_{1}} & 0 & 0 & 0 & \omega_{1} \\
0 & 0 & \omega_{2} & -\omega_{1} & 0
\end{array}\right) .
\]

Этот структурный тензор может быть обобщен и для других силовых полей.

Уравнения (1.1), описывающие движение твердого тела в потенциальном поле, интегрируются при $I_{1}=I_{2}$ (центральное поле). Это аналог случая Лагранжа. При $I_{1}
eq I_{2}$ система (1.1), а значит и (1.1) в общем случае не является интегрируемой.

3. Предположим, что в (1.1) имеется потенциал Бруна $V=$ $=\frac{\varepsilon}{2}(\mathbf{I} \gamma, \gamma)$. Как показал В.В.Козлов [5] при этих условиях имеется интеграл
\[
F_{4}=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\omega})-\frac{1}{2}(\mathrm{~A} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}), \quad \mathbf{A}=\varepsilon \mathbf{I}^{-1} \operatorname{det} \mathbf{I} .
\]

Для потенциалов вида
\[
V(\gamma)=\frac{1}{2}\left(c_{11} \gamma_{1}^{2}+c_{22} \gamma_{2}^{2}+c_{33} \gamma_{3}^{2}+2 c_{1} \gamma_{1} \gamma_{2}\right)
\]

уравнения (1.1) также являются интегрируемыми. В этом случае при помощи замены времени $d \tau=\gamma_{3} d t$ уравнения движения приводятся к линейной системе
\[
I_{2} \gamma_{1}^{\prime \prime}=-\frac{\partial \tilde{V}}{\partial \gamma_{1}}, \quad I_{1} \gamma_{2}^{\prime \prime}=-\frac{\partial \widetilde{V}}{\partial \gamma_{2}}, \quad \widetilde{V}=\left.V\right|_{\gamma_{3}^{2}=1-\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2}} .
\]

4. В работе [7] Г. Г. Окунева показала интегрируемость задачи Суслова с потенциалом $V=-P\left(r_{1} \gamma_{1}+r_{2} \gamma_{2}\right)-\frac{\varepsilon}{2}(\mathbf{I} \gamma, \gamma)$, где $P, r_{1}, r_{2}, \varepsilon=$ $=$ const. При этом дополнительный интеграл можно представить в форме
\[
F_{4}=I_{1} \omega_{1}^{2}+\varepsilon\left(I_{2}-I_{3}\right) \gamma_{2}^{2}+2 \operatorname{Pr}_{2} \gamma_{2},
\]

или
\[
\widetilde{F}_{4}=I_{2} \omega_{2}^{2}+\varepsilon\left(I_{3}-I_{1}\right) \gamma_{1}^{2}+2 \operatorname{Pr}_{1} \gamma_{1},
\]

причем $F_{4}+\widetilde{F}_{4}=F_{1}$. При этом имеется стандартная инвариантная мера и после замены времени $d \tau=\gamma_{3} d t$ система преобразуется к уравнениям бигармонического осциллятора с частотами
\[
\varkappa_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon\left(I_{1}-I_{3}\right)}{I_{2}}}, \quad \varkappa_{2}=\sqrt{\frac{\varepsilon\left(I_{2}-I_{3}\right)}{I_{1}}} .
\]

Рис. 1
Рис. 2

Реализация связи задачи Суслова. Одна из возможных реализаций связи типа $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\omega})=0$ была предложена Сусловым [8]. При этом используется гибкая, нескручиваемая нить, один конец которой присоединен к телу, а другой закреплен неподвижно. Однако, как несложно видеть из рис. 1, такая реализация не является корректной. Более сложную, но реальную модель предложил В. Вагнер при помощи прикрепленных к телу колесиков (дисков), которые катятся без скольжения по внутренней поверхности неподвижғой сферы (рис. 2). В своем учебнике Г. К. Суслов [8] рассматривает также более сложную задачу о движении двух тел, соединенных нескручиваемой нитью. Однако вследствие тех же причин эта постановка задачи также некорректна. Ниже мы приведем возможную комбинацию связи Суслова с задачей о качении шара Чаплыгина.