Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки, подчиненное неинтегрируемой связи $(\mathit{a},\mathit{\omega })=0$, где $\mathit{a}$ — вектор, постоянный в подвижном пространстве. Пусть, кроме того, имеется осесимметричное силовое поле с потенциалом $V(\gamma )$. Используя метод множителей Лагранжа, уравнения движения можно записать в виде (см. статью 14)
$$\mathbf{I}\dot{\mathit{\omega }}+\mathit{\omega }\times \mathbf{I}\mathit{\omega }=\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma }+\lambda \mathit{a},\dot{\mathit{\gamma }}=\gamma \times \mathit{\omega },$$

где
$$\lambda =\frac{(a,{\mathbf{I}}^{-1}(\mathbf{I}\mathit{\omega }\times \mathit{\omega })+{\mathbf{I}}^{-1}(\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma }))}{(\mathit{a},{\mathbf{I}}^{-1}\mathit{a})}.$$

Уравнения (1.1) всегда имеют три независимых интеграла
$$F_1=\frac{1}{2}(\mathbf{I}\mathit{\omega },\mathit{\omega })+V(\mathit{\gamma }),F_2=(\mathit{\gamma },\mathit{\gamma })=1,F_3=(\mathit{a},\mathit{\omega })$$

Оказывается, что если вектор $\mathit{a}$ является собственным вектором оператора I, т. е. I $\mathit{a}=\mathit{\mu }\mathit{a}$, то фазовый поток (1.1) сохраняет стандартную инвариантную меру в ${\mathbb{R}}^6(\mathit{\omega },\gamma )$.
Г.К.Суслов установил интегрируемость (1.1) при отсутствии силового поля $V(\gamma )=0$. В этом случае отделяется система, замкнутая относительно $\mathit{\omega }$, которая интегрируется в квадратурах. Действительно, запишем уравнения движения в неглавных осях, таких, что связь представляется уравнением ${\omega }_3=0,I_{12}=0$, — этого всегда можно добиться, выбрав ось $O{x}_3$ вдоль вектора $\mathit{a}$ и подобрав соответствующим образом оси $O{x}_1,O{x}_2$ в перпендикулярной плоскости. Имеем
$$\{\begin{array}{l}{I}_{11}{\dot{\omega }}_1-I_{23}{\dot{\omega }}_2-I_{31}{\omega }_2^2=0,\\ I_{22}{\dot{\omega }}_2+I_{23}{\omega }_1{\omega }_2+I_{31}{\omega }_1^2=0,\\ -I_{23}{\dot{\omega }}_2-I_{31}{\dot{\omega }}_1+(I_{22}-I_{11}){\omega }_1{\omega }_2=\lambda ,\end{array}$$

здесь $\lambda$ — неопределенный множитель связи. Интеграл энергии имеет вид
$$I_{11}{\omega }_1^2+I_{22}{\omega }_2^2=2h.$$

Положим
$${\omega }_1=\sqrt{\frac{2h}{I_{11}}}\sin \alpha ,{\omega }_2=\sqrt{\frac{2h}{I_{22}}}\cos \alpha ,$$

следовательно
$$\dot{\alpha }=\sqrt{\frac{2h}{I_{11}{I}_{22}}}(\frac{I_{23}}{\sqrt{I_{22}}}\cos \alpha +\frac{I_{31}}{\sqrt{I_{11}}}\sin \alpha ).$$

Решение этого уравнения имеет вид
$$\mathrm{tg}\frac{\alpha +{\alpha }_0}{2}=e^{kt+t_0},$$

где
$${\alpha }_0=\mathrm{arctg}\frac{I_{31}}{I_{23}}\sqrt{\frac{I_{11}}{I_{22}}},k^2=\frac{2h}{I_{11}^2{I}_{22}^2}(I_{23}^2{I}_{11}+I_{31}^2{I}_{22}).$$

Таким образом, движение твердого тела асимптотически приближается к равномерному вращению вокруг некоторой прямой. В общем случае квадратура для $\gamma (t)$ невозможна. Нахождение ориентации $\gamma (t)$ и анализ разложений в ряды на комплексной плоскости времени содержится в [6]. Вагнер [1] получил решение для направляющих косинусов в гипергеометрических функциях времени.

Обобщения задачи Суслова.
В общем случае уравнения (1.1) не имеют инвариантной меры и движения имеют асимптотический характер (см. статью 14 в этой книге). Однако если $\mathbf{I}\mathit{a}=\mathit{\mu }\mathit{a}$, то имеется стандартная инвариантная мера и для интегрируемости по Эйлеру-Якоби не хватает еще одного интеграла $F_4=(\mathbf{I}\mathit{\omega },\mathit{\omega })$, что и делает возможным проинтегрировать систему по теореме Эйлера — Якоби. В предположении
$$\mathbf{I}\mathit{a}=\mu \mathit{a},\mathit{a}=(0,0,1),{\omega }_3=0$$

установлены следующие случаи интегрируемости.
1. Потенциал линейный $V=(\mathit{b},\gamma )$ и $(\mathit{a},\mathit{b})=0$ (Е.И.Харламова [10]). Дополнительный интеграл
$$F_4=(\mathbf{I}\mathit{\omega },\mathit{b}).$$
2. Линейный потенциал $V=\epsilon (\mathit{a},\gamma ),\epsilon eq0$ (В.В.Козлов [5]). Оказывается, что в этом случае система (1.1) является гамильтоновой [5] (в отличие от общих неголономных систем) и сводится к системе (без ограничения общности можно положить $\mathit{a}=(0,0,1)$
$${\ddot{M}}_i=-\frac{\partial \tilde{V}}{\partial M_i}(i=1,2),\tilde{V}=\frac{1}{2}{(h-\frac{I_1^{-1}{M}_1^2+I_2^{-1}{M}_2^2}{2})}^2,M_i=I_i{\omega }_i,$$

где $h-$ константа интеграла энергии $F_1=h$. Несложно проверить, что пуассонов тензор, определяющий скобку Пуассона для системы (1.1) в фазовом пространстве переменных $(M_1,M_2,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)$ имеет вид
$$\Vert J^{ij}\Vert =\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \frac{\epsilon }{I_1}& 0\\ 0& 0& -\frac{\epsilon }{I_1}& 0& 0\\ 0& \frac{\epsilon }{I_1}& 0& 0& -{\omega }_2\\ -\frac{\epsilon }{I_1}& 0& 0& 0& {\omega }_1\\ 0& 0& {\omega }_2& -{\omega }_1& 0\end{array}\right).$$

Этот структурный тензор может быть обобщен и для других силовых полей.

Уравнения (1.1), описывающие движение твердого тела в потенциальном поле, интегрируются при $I_1=I_2$ (центральное поле). Это аналог случая Лагранжа. При $I_{1}eq{I}_2$ система (1.1), а значит и (1.1) в общем случае не является интегрируемой.

3. Предположим, что в (1.1) имеется потенциал Бруна $V=$ $=\frac{\epsilon }{2}(\mathbf{I}\gamma ,\gamma )$. Как показал В.В.Козлов [5] при этих условиях имеется интеграл
$$F_4=\frac{1}{2}(\mathbf{I}\mathit{\omega },\mathbf{I}\mathit{\omega })-\frac{1}{2}(\mathrm{A}\mathit{\gamma },\mathit{\gamma }),\mathbf{A}=\epsilon {\mathbf{I}}^{-1}\det \mathbf{I}.$$

Для потенциалов вида
$$V(\gamma )=\frac{1}{2}(c_{11}{\gamma }_1^2+c_{22}{\gamma }_2^2+c_{33}{\gamma }_3^2+2c_1{\gamma }_1{\gamma }_2)$$

уравнения (1.1) также являются интегрируемыми. В этом случае при помощи замены времени $d\tau ={\gamma }_{3}dt$ уравнения движения приводятся к линейной системе
$$I_2{\gamma }_1^{\prime \prime }=-\frac{\partial \tilde{V}}{\partial {\gamma }_1},I_1{\gamma }_2^{\prime \prime }=-\frac{\partial \tilde{V}}{\partial {\gamma }_2},\tilde{V}={V|}_{{\gamma }_3^2=1-{\gamma }_1^2-{\gamma }_2^2}.$$

4. В работе [7] Г. Г. Окунева показала интегрируемость задачи Суслова с потенциалом $V=-P(r_1{\gamma }_1+r_2{\gamma }_2)-\frac{\epsilon }{2}(\mathbf{I}\gamma ,\gamma )$, где $P,r_1,r_2,\epsilon =$ $=$ const. При этом дополнительный интеграл можно представить в форме
$$F_4=I_1{\omega }_1^2+\epsilon (I_2-I_3){\gamma }_2^2+2{\mathrm{Pr}}_2{\gamma }_2,$$

или
$${\tilde{F}}_4=I_2{\omega }_2^2+\epsilon (I_3-I_1){\gamma }_1^2+2{\mathrm{Pr}}_1{\gamma }_1,$$

причем $F_4+{\tilde{F}}_4=F_1$. При этом имеется стандартная инвариантная мера и после замены времени $d\tau ={\gamma }_{3}dt$ система преобразуется к уравнениям бигармонического осциллятора с частотами
$${\varkappa }_1=\sqrt{\frac{\epsilon (I_1-I_3)}{I_2}},{\varkappa }_2=\sqrt{\frac{\epsilon (I_2-I_3)}{I_1}}.$$

Рис. 1
Рис. 2

Реализация связи задачи Суслова. Одна из возможных реализаций связи типа $(\mathit{a},\mathit{\omega })=0$ была предложена Сусловым [8]. При этом используется гибкая, нескручиваемая нить, один конец которой присоединен к телу, а другой закреплен неподвижно. Однако, как несложно видеть из рис. 1, такая реализация не является корректной. Более сложную, но реальную модель предложил В. Вагнер при помощи прикрепленных к телу колесиков (дисков), которые катятся без скольжения по внутренней поверхности неподвижғой сферы (рис. 2). В своем учебнике Г. К. Суслов [8] рассматривает также более сложную задачу о движении двух тел, соединенных нескручиваемой нитью. Однако вследствие тех же причин эта постановка задачи также некорректна. Ниже мы приведем возможную комбинацию связи Суслова с задачей о качении шара Чаплыгина.