2.1. Уравнения движения и их интегралы

Пусть твердое тело во внешнєм силовом поле катится по плоскости без проскальзывания. В этом случае уравнения движения удобно записывать в системе координат, жестко связанной с телом, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела, а начало находится в центре масс. Все вектора в дальнейшем мы предполагаем спроектированными на эти оси.

Условие отсутствия проскальзывания при этом принимает вид
\[
v+\omega \times r=0,
\]

где $\boldsymbol{v}, \boldsymbol{\omega}-$ скорость центра масс и угловая скорость тела, а $\boldsymbol{r}$ – вектор направленный из центра масс в точку контакта (см. рис. 1).

Обозначим проекции неподвижных ортов на подвижные оси через $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ (причем вектор $\boldsymbol{\gamma}$ – перпендикулярен к плоскости), а через $(x, y)$ обозначим координаты проек-

Рис. 1 ции центра масс на плоскость в неподвижной системе координат. Предположим, что силовое поле является потенциальным, с потенциалом, зависящим лишь от ориентации тела $U=U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})$. Полная система уравнений движения, описывающих данную систему может быть представлена в форме
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\omega}+m \dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})+\boldsymbol{\alpha} \times \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\alpha}}+\boldsymbol{\beta} \times \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\beta}}+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial U}{\partial \gamma}, \\
\dot{\boldsymbol{\alpha}}=\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega} .
\end{array}
\]

Уравнение (2.2) описывает эволюцию вектора кинетического момента тела относительно точки контакта $\boldsymbol{M}$, а уравнение (2.3) – эволюцию единичных неподвижных ортов в связанной с телом системе координат.

Движение центра масс может быть получено в квадратурах из решений уравнений (2.2), (2.3) следующим образом
\[
\dot{x}=(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\alpha}), \quad \dot{y}=(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\beta}) .
\]

Вектор кинетического момента относительно точки контакта $\boldsymbol{M}$ можно выразить через угловую скорость следующим образом
\[
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+m \boldsymbol{r} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}),
\]

где $\mathbf{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)-$ тензор инерции тела. В свою очередь $\boldsymbol{r}$ может быть однозначно выражен (для всюду выпуклого тела) через нормаль к плоскости $\gamma$ из уравнения
\[
\gamma=-\frac{
abla F(\boldsymbol{r})}{|
abla F(\boldsymbol{r})|},
\]

здесь $F(\boldsymbol{r})=0$ уравнение поверхности тела.
Рассмотрим теперь движение точки контакта на плоскости. Если обозначить положение точки контакта на плоскости в неподвижной системе координат как $(X, Y)$, то уравнение движения для точки контакта могут быть представлены в форме
\[
\dot{X}=(\dot{\boldsymbol{r}}, \boldsymbol{\alpha}), \quad \dot{Y}=(\dot{\boldsymbol{r}}, \boldsymbol{\beta}) .
\]

где $\dot{\boldsymbol{r}}$ определяется из уравнений (2.2)-(2.6). Фактически $\dot{X}$ и $\dot{Y}$ являются проекциями скорости точки контакта в подвижной системе координат на неподвижные оси.

Уравнение движения в форме близкой (2.2)-(2.3) можно найти, например, в книге [4]. Они могут быть также получены при помощи формализма Пуанкаре – Четаева [2] с неопределенными множителями Лагранжа, после исключения последних с помощью уравнений связей (2.1).

Система (2.2)-(2.3) в общем случае допускает семь независимых интегралов движения, шесть из которых – тривиальные геометрические интегралы:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\alpha}^{2}=1, \quad \boldsymbol{\beta}^{2}=1, \quad \boldsymbol{\gamma}^{2}=1, \\
(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=0, \quad(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})=0, \quad(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\alpha})=0 .
\end{array}
\]

Седьмым является интеграл энергии
\[
\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})=h=\mathrm{const} .
\]

В общем случае других дополнительных интегралов данная система не имеет, а возможность ее интегрируемости в конкретных случаях связана с наличием дополнительных тензорных инвариантов (меры, полей симметрии, интегралов).

2.2. Качение тяжелого диска

Рассмотрим теперь подробно случай качения осесимметричного диска радиуса $R$ в поле тяжести, которое, очевидно, также является осесимметричным, с потенциалом зависящим только от $\gamma$. Полагаем, кроме того, что диск динамически симметричен, т. е. $I_{1}=I_{2}$. Потенциальная энергия в этом случае имеет вид
\[
U=-m g(r, \gamma)=m g R \sqrt{1-\gamma_{3}^{2}} .
\]

Уравнение поверхности для диска имеет вид $F(\boldsymbol{r})=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-R^{2}$. Подставляя его в уравнение (2.6) и разрешая его относительно $\boldsymbol{r}$, получим
\[
r_{1}=-\frac{R \gamma_{1}}{\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}}, \quad r_{2}=-\frac{R \gamma_{2}}{\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}}, \quad r_{3}=0 .
\]

Так как потенциальная энергия зависит только от $\gamma$, то в уравнениях движения (2.2)-(2.3) отделяется система шести уравнений
\[
\begin{array}{c}
\dot{M}=M \times \boldsymbol{\omega}+m \dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})+m g \boldsymbol{r} \times \gamma, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\gamma \times \boldsymbol{\omega} .
\end{array}
\]

Выражая $\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{r}$ из соотношений (2.5), (2.11) получим замкнутую систему для переменных $\boldsymbol{M}, \gamma$, которая во многом аналогична системе ЭйлераПуассона в случае Лагранжа, однако существенно сложнее последней.

Уравнения (2.12) сохраняют геометрический интеграл $\gamma^{2}$ и энергию (2.9), кроме того они допускают стандартную (с постоянной плотностью) инвариантную меру. Для интегрируемости этих уравнений (по Эйлеру-Якоби [7]) недостает еще двух интегралов. Далее мы укажем путь получения этих интегралов.

Возможность отделения системы (2.12) от общей системы (2.2)(2.3) связана с симметрией относительно вращений вокруг вертикальной оси определенной вектором $\gamma$. Система (2.12) инвариантна относительно поля симметрий
\[
\widehat{\boldsymbol{v}}_{\psi}=\alpha_{1} \frac{\partial}{\partial \beta_{1}}-\beta_{1} \frac{\partial}{\partial \alpha_{1}}+\alpha_{2} \frac{\partial}{\partial \beta_{2}}-\beta_{2} \frac{\partial}{\partial \alpha_{2}}+\alpha_{3} \frac{\partial}{\partial \beta_{3}}-\beta_{3} \frac{\partial}{\partial \alpha_{3}},
\]

которое коммутирует с векторным полем задачи. Можно показать, что переменные $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}$ являются интегралами поля (2.13), то есть $\widehat{\boldsymbol{v}}_{\psi}\left(M_{i}\right)=$ $=0, \widehat{\boldsymbol{v}}_{\psi}\left(\gamma_{i}\right)=0, i=1,2,3$. Согласно общей теории Ли [9] переменные $M, \gamma$ задают редуцированную систему. Для классических уравнений

Эйлера-Пуассона соответствующая редукция есть приведение по Раусу относительно циклического угла прецессии.

Помимо поля симметрий (2.13) уравнения движения (2.2)-(2.3) именно для осесимметричного тела допускают еще одно поле симметрий
\[
\begin{aligned}
\widehat{\boldsymbol{v}}_{\varphi} & =M_{1} \frac{\partial}{\partial M_{2}}-M_{2} \frac{\partial}{\partial M_{1}}+\gamma_{1} \frac{\partial}{\partial \gamma_{2}}-\gamma_{2} \frac{\partial}{\partial \gamma_{1}}+ \\
& +\alpha_{1} \frac{\partial}{\partial \alpha_{2}}-\alpha_{2} \frac{\partial}{\partial \alpha_{1}}+\beta_{1} \frac{\partial}{\partial \beta_{2}}-\beta_{2} \frac{\partial}{\partial \beta_{1}},
\end{aligned}
\]

которое соответствует вращению вокруг оси симметрии диска.
Можно показать, что интегралами поля (2.14) являются проекции момента и нормали к плоскости диска на неподвижные оси координат
\[
\boldsymbol{N}=((\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}),(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta}),(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})), \quad \boldsymbol{n}=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right) .
\]

Уравнения движения для них могут быть представлены в форме
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{N}}=m \dot{\tilde{\boldsymbol{r}}} \times(\widetilde{\boldsymbol{\omega}} \times \widetilde{\boldsymbol{r}})+m g \widetilde{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{n}, \\
\dot{\boldsymbol{n}}=\widetilde{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{n},
\end{array}
\]

где символами $\widetilde{\boldsymbol{\omega}}, \widetilde{\boldsymbol{r}}$ обозначены те же векторы, но в проекциях на неподвижные оси (то есть $\left.\widetilde{\omega}_{1}=(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\alpha}), \ldots, \widetilde{r}_{1}=(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{\alpha}), \ldots\right)$. В явном виде компоненты вектора $\widetilde{\boldsymbol{r}}$ следующие
\[
\widetilde{\boldsymbol{r}}=\left(\frac{R \alpha_{3} \gamma_{3}}{\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}}, \frac{R \beta_{3} \gamma_{3}}{\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}},-R \sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}\right),
\]

а вектор $\boldsymbol{N}$ выражается через $\boldsymbol{\omega}$ по формуле
\[
N=I_{1} \widetilde{\boldsymbol{\omega}}+\left(I_{3}-I_{1}\right)(\widetilde{\boldsymbol{\omega}}, \boldsymbol{n}) \boldsymbol{n}+m \widetilde{\boldsymbol{r}} \times(\widetilde{\boldsymbol{r}} \times \widetilde{\boldsymbol{r}}) .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Такая редукция выполнима также для произвольного тела вращения.

2.3. Приведение к интегрируемой одностепенной гамильтоновой системе
Выполним теперь понижение порядка по обоим полям симметрий (2.13) и (2.14).Для этого необходимо в качестве переменных редуцированной системы выбрать совместные интегралы этих полей. Как показано в [21] наиболее удобной алгебраической системой таких переменных

является набор
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{3}, \quad K_{1}=M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}=N_{3}-\gamma_{3}(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{n}), \\
K_{2}=\sqrt{\frac{I_{1}}{I_{3}+m R^{2}}} M_{3}=\sqrt{\frac{I_{1}}{I_{3}+m R^{2}}}(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{n}), \\
K_{3}=\gamma_{1} M_{2}-\gamma_{2} M_{1}=N_{1} n_{2}-N_{2} n_{1} .
\end{array}
\]

Уравнения движения в новых переменных приобретают вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\gamma}_{3}=\frac{K_{3}}{I_{1}+m R^{2}}, \\
\dot{K}_{1}=-\frac{I_{3}}{\left(I_{1}+m R^{2}\right) \sqrt{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}} K_{3} K_{2}, \\
\dot{K}_{2}=-\frac{m R^{2}}{\left(I_{1}+m R^{2}\right) \sqrt{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}} \frac{K_{3} K_{1}}{1-\gamma_{3}^{2}}, \\
\dot{K}_{3}=-\frac{\gamma_{3}}{1-\gamma_{3}^{2}}\left(\frac{K_{1}^{2}}{I_{1}}+\frac{K_{2}^{2}}{I_{1}+m R^{2}}\right)+ \\
+\frac{\sqrt{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}}{I_{1}^{2}} K_{1} K_{2}+m g R \gamma_{3} \sqrt{1-\gamma_{3}^{2}} .
\end{array}
\]

Уравнения (2.19) сохраняют инвариантную меру с плотностью $\rho=$ $=\frac{1}{1-\gamma_{3}^{2}}$. Разделив второе и третье уравнения на первое и перейдя к новой независимой переменной – углу нутации $\theta=\arccos \gamma_{3}$, получим систему линейных уравнений
\[
\frac{d K_{1}}{d \theta}=\frac{I_{3} \sin \theta}{\sqrt{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}} K_{2}, \quad \frac{d K_{2}}{d \theta}=\frac{m R^{2}}{\sqrt{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}} \frac{K_{1}}{\sin \theta} .
\]

Общее решение этих уравнений можно представить в форме
[15]
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=C_{1} \frac{I_{3} \sin ^{2} \theta}{2 \sqrt{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}} F\left(1+\xi, 1+\eta, 2, \frac{1-\cos \theta}{2}\right)- \\
-C_{2} \frac{I_{3} \sin ^{2} \theta}{2 \sqrt{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}} F\left(1-\xi, 1+\eta, 2, \frac{1+\cos \theta}{2}\right) \\
K_{2}=C_{1} F\left(\xi, \eta, 1, \frac{1-\cos \theta}{2}\right)+C_{2} F\left(\xi, \eta, 1, \frac{1+\cos \theta}{2}\right),
\end{array}
\]

где $\xi$ и $\eta-$ решения квадратного уравнения $x^{2}-x+\frac{I_{3} m R^{2}}{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}=0$, а $F(\xi, \eta, n, z)$ – обобщенная гипергеометрическая функция, представимая рядом
\[
F(\xi, \eta, n, z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Gamma(\xi+k) \Gamma(\eta+k) \Gamma(n)}{\Gamma(\xi) \Gamma(\eta) \Gamma(n+k)} \frac{z^{k}}{k !}
\]

Таким образом соотношение (2.21) задают (неявно) интегралы движения, которыми в данном случае являются «постоянные» $C_{1}$ и $C_{2}$, выраженные через $K_{1}, K_{2}, \theta$.

Квадратура для угла нутации может быть получена из интеграла энергии, записанного в переменных $K_{1}, K_{2}, K_{3}, \theta$
\[
\begin{array}{c}
\dot{\theta}^{2}=2 \sin ^{2} \theta\left(I_{1}+m R^{2}\right) P(\theta), \\
P(\theta)=h-\frac{K_{1}^{2}}{2 I_{1} \sin ^{2} \theta}-\frac{1}{2} \frac{K_{2}^{2}}{I_{1}}-m g R \sin \theta,
\end{array}
\]

здесь переменные $K_{1}, K_{2}$ предполагаются выраженными через постоянные интегралов и угол $\theta$ согласно формулам (2.21). В этом случае функция $P(\theta)$ (зависящая от констант интегралов) задает аналог гироскопической функции для волчка Лагранжа [14, 2].

Рис. 2. Фазовые портреты системы (2.23) при различных значениях $C_{1}$ и $C_{2}$. Слева: случай существования трех периодических решений ( $C_{1}=0.05, C_{2}=$ $=0.01$ ). Справа: случай существования одного периодического решения ( $C_{1}=$ $\left.=0.08, C_{2}=-0.02\right)$.

Таким образом, уравнение (2.23) при фиксированных значениях $C_{1}$ и $C_{2}$ задает одностепенную гамильтонову систему. Фазовые портреты

этой системы на плоскости $\theta, \dot{\theta}$ приведены на рис. 2. Все переменные $\gamma_{3}, K_{1}, K_{2}, K_{3}$ представляют собой периодические функции от времени с периодом $T_{\theta}$ и соответствующей частотой $\omega_{\theta}$.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как показано в [21] система (2.19) также гамильтонова с вырожденной скобкой Пуассона, которєя обладает двумя функциями Казимира, выражающимися через гипергеометрические функции.

2.4. Квадратуры для углов собственного вращения и прецессии

Согласно общей теории Ли [9], если переменные редуцированной системы (2.18) являются заданными функциями времени, то все переменные исходной системы (2.12) (и соответственно (2.15)) могут быть получены с помощью одной квадратуры (при условии коммутации полей $\widehat{\boldsymbol{v}}_{\psi}(2.13)$ и $\left.\widehat{\boldsymbol{v}}_{\phi}(2.14)\right)$.

Действительно, используя равенства $\operatorname{tg} \varphi=\frac{\gamma_{1}}{\gamma_{2}}$ (и соответственно $\operatorname{tg} \psi=-\frac{n_{1}}{n_{2}}$ ) для углов $\varphi$ и $\psi$, находим
\[
\dot{\varphi}=-\frac{\gamma_{3}}{1-\gamma_{3}^{2}} \frac{K_{1}}{I_{1}}+\frac{K_{2}}{\sqrt{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}}, \quad \dot{\psi}=-\frac{K_{1}}{I_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)} .
\]

Таким образом, для каждого из углов зависимость от времени задается в виде интеграла от периодической функции с частотой $\omega_{\theta}$, следовательно ее можно представить в форме (см., например, [7, 13])
\[
\varphi=\omega_{\varphi} t+\varphi_{*}(t), \quad \psi=\omega_{\psi} t+\psi_{*}(t),
\]

где $\varphi_{*}(t), \psi_{*}(t)$ – периодические функции с частотой $\omega_{\theta}$. Кроме того из (2.24) и (2.25) также следует, что все частоты $\omega_{\theta}, \omega_{\varphi}, \omega_{\psi}$ зависят только от констант первых интегралов.

2.5. Движение точки контакта

Следуя работам $[10,13]$ представим уравнение для скорости точки контакта в форме
\[
\dot{Z}=R\left(\frac{\gamma_{3}}{1-\gamma_{3}^{2}} \frac{K_{1}}{I_{1}}-\frac{K_{2}}{\sqrt{I_{1}\left(I_{3}+m R^{2}\right)}}\right) e^{i \psi},
\]

где $Z=X+i Y$, а $X, Y-$ координаты точки контакта в неподвижной системе координат.

Таким образом координаты точки контакта определяются квадратурами от квазипериодических двухчастотных (с частотами $\omega_{\psi}, \omega_{\theta}$ ) функций времени.

Рис. 3. Поверхность регулярных прецессий. Параметры системы $I_{1}=0.25, I_{2}=$ $=0.5, R=1, m=1, g=1$.