Здесь мы только сосредоточимся на некоторых геометрических и динамических особенностях по сравнению с параболоидом.

I. Геометрические и динамические оси совпадают (это собственно не ситуация кельтского камня, но в дальнейшем будет рассматриваться ее возмущение). При этом система (2) инвариантна при отражениях относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Как следствие, периодические решения (неподвижные точки отображения), лежащие в плоскостях $a$ ) $L=0,b)l=0,c)l=\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi$ являются вырожденными и они образуют целые кривые в трехмерном пространстве, окруженные инвариантными кривыми, задающими двумерные торы фазового потока (рис. 8). Между этими торами, видимо, возможна диффузия, однако, ее механизм еще не изучен. Кривая неподвижных точек соответствует колебаниям эллипсоида вокруг главных осей в теле и горизонтальных осей — в пространстве. Вертикальные вращения в этом случае также имеют мультипликаторы, равные по модулю единице.

II. Главные динамические оси повернуты вокруг одной геометрической оси $e_3$ на угол $\delta$. При этом сохраняется вырождение для колебательных решений в плоскости $L=0$, а мультипликаторы возможных вращений уже не равны по модулю единице. При $E>E_{\ast }$ одно из вертикальных вращений вокруг оси ${\mathit{e}}_3$ приобретает устойчивость. На рис. 9 показано рождение двух притягивающих множеств, одно при $t\to +\mathrm{\infty }$, другое при $t\to -\mathrm{\infty }$, имеющих природу странных аттракторов (возможно, квазиаттракторов) — их показатели Ляпунова больше нуля. В отличие от параболоида к этим странным аттракторам притягиваются не все траектории — существует область в которой имеются описанные выше

вырожденные периодические решения и охватывающие их двумерные инвариантные торы.

III. Произвольное расположение осей. Пусть динамические оси $e_1{e}_2$ повернуты относительно оси $l_3$ на малый угол $\delta$, а далее ось $e_3$ также наклонена относительно геометрической на некоторый малый угол $\zeta$.

В этом случае пропадают все геометрические симметрии и с неподвижных точек, образующих кривую на рис. $8\mathrm{b}$, снимается вырождение и они становятся изолированными. Как показывают эксперименты, точка, запущенная вблизи эллиптической неподвижной точки невозмущенной системы (соответствующей совпадению геометрических и динамических осей) долгое время движется вблизи кривой, которая в невозмущенном случае заполнена вырожденными неподвижными точками (рис. 10). Несложно показать, что здесь наблюдаются экспоненциально малые эффекты, обуславливающие существование почти инвариантного многообразия, содержащего возмущенные траектории. Отметим, что более изученным является гиперболический случай, т.е. когда в невозмущенной ситуации имеется гиперболическое многообразие (например, множество, заполненное неподвижными гиперболическими точками в отличие от кривой рис. 8 c). По теореме Хирша-Пью-Шуба при возмущении это гиперболическое многообразие сохраняется, хотя уже неподвижные точки на нем становятся изолированными или исчезают вовсе.

Для этой ситуации также характерно появление сложных аттракторов, а общая динамика является еще менее изученной. Отметим также, что вообще трехмерные отображения (как с мерой, так и без нее), к сожалению, пока очень слабо изученными, а задачи неголономной механики, рассмотренные в этой работе, представляют целый полигон, на котором могут быть опробованы новые математические методы.

После подготовки окончательного варианта статьи авторы узнали об интересной работе H. Broer, C. Simó, R. Vitolo Bifurcations and strong attractors in the Lorentz-84 climate model with seasond forcing, которую можно посмотреть на сайте www.maia.ub.es (2001 г., препринт 21). В ней разбирается неавтономная модель долгопериодических климаических изменений в атмосфере, предложенная Лоренцом в 1984 году, описываемая уравнениями
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=-ax-y^2-z^2+aF(1+\epsilon \cos \omega t),\\ \dot{y}=-y+xy-bxy+G(1+\epsilon \cos \omega t),\\ \dot{z}=-z+bxy+xz,a,b,\epsilon ,\omega =\text{ const }\end{array}$$

где $F,G$ являются периодическими функциями с периодом $T=\frac{2\pi }{\omega }$. Исследование системы также сводится к трехмерному отображению. В указанной работе были обнаружены странные аттракторы и родственные сценарии перехода к ним при разрушении инвариантных циклов.

Авторы благодарны А. В. Карапетяну, В. В. Трещеву за полезные замечания.