Явное интегрирование. В работе Л.Е.Веселовой [4] была предложена новая интегрируемая задача неголономной механики, в некотором смысле противоположная задаче Суслова (см. также $[2,3]$ ). Если в задаче Суслова неинтегрируемая связь задается соотношением $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\omega})=0$ (в частном случае – $\omega_{3}=0$, см. выше), то в задаче Веселовой связь имеет вид $(\boldsymbol{\omega}, \gamma)=0$, где $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right), \gamma=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)-$ проекции угловой скорости и неподвижного в пространстве орта на связанную с телом систему координат. То есть одна из проекций угловой скорости на оси неподвижного пространства равна нулю. Задача остается интегрируемой при добавлении поля Бруна.

Составляя уравнения неголономной механики с неопределенными множителями, получим [4]
\[
\begin{array}{c}
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \mathbf{A} \boldsymbol{M}+\lambda \gamma+\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma} \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \mathbf{A} \boldsymbol{M},
\end{array}\right. \\
\lambda=\frac{(\mathbf{A} \gamma, \mathbf{A} \boldsymbol{M} \times \boldsymbol{M})+\left(\mathbf{A} \gamma, \frac{\partial V}{\partial \gamma} \times \gamma\right)}{(\mathbf{A} \gamma, \gamma)},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}$ – вектор кинетического момента в проекциях на главные оси, $\mathbf{I}$ – тензор инерции, $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}$. Уравнения (2.1) обладают очевидными интегралами:
\[
\begin{array}{c}
F_{1}=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+V=h-\text { интеграл энергии, } \\
F_{2}=(\gamma, \gamma)=1-\text { геометрический, }
\end{array}
\]
$F_{3}=(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0-$ условие связи. Л. Е. Веселова заметила, что уравнение (2.1) обладает интегрирующим множителем
\[
N=\sqrt{(\mathbf{A} \gamma, \gamma)}
\]

и нетривиальным интегралом в случае $V=\frac{1}{2} \alpha(\mathbf{I} \gamma, \gamma)$ (поле Бруна)
\[
F_{4}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})-(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})^{2}-\alpha \operatorname{det} \mathbf{I}(\mathbf{A} \gamma, \gamma),
\]

что позволяет свести задачу к квадратурам с помощью теоремы Эйлера Якоби.

Как показано в [4], система (2.1) может быть проинтегрирована в гиперэллиптических функциях. Оказывается, что при помощи замены времени и координат вида
\[
\begin{array}{c}
d t=\Phi(\boldsymbol{M}, \gamma) d \tau, \quad \boldsymbol{q}=\gamma, \quad \boldsymbol{p}=\Phi(\boldsymbol{M}, \gamma) \mathbf{A} \boldsymbol{M} \\
\Phi(\boldsymbol{M}, \gamma)=\sqrt{\frac{(\gamma, \mathbf{A} \gamma)}{\operatorname{det} \mathbf{A}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})}}
\end{array}
\]

при условии $\alpha=0$ (отсутствие поля Бруна) система (2.1) приводится к интегрируемой задаче Неймана
\[
\begin{array}{c}
\ddot{q}_{i}=I_{i} q_{i}+\lambda q_{i} \quad i=1,2,3 \\
\sum_{i=1}^{3} q_{i}^{2}=1, \quad U(\boldsymbol{q})=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q}), \quad \lambda=-(\mathbf{I} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q})-\dot{\boldsymbol{q}}^{2} .
\end{array}
\]

Явное интегрирование системы $(2.1,2.2,2.3)$ осуществляется в сфероконических координатах $u, v$, которые вводятся на сфере $\gamma^{2}=1$ как корни квадратного уравнения
\[
\frac{\gamma_{1}^{2}}{\lambda-I_{1}}+\frac{\gamma_{2}^{2}}{\lambda-I_{2}}+\frac{\gamma_{3}^{2}}{\lambda-I_{3}}=0 .
\]

В этих координатах уравнения движения после указанной замены времени $d t=\frac{\sqrt{u v}}{2} d \tau$ приводятся к уравнениям Абеля – Якоби
\[
\frac{d u}{d \tau}=\frac{\sqrt{R(u)}}{u-v}, \quad \frac{d v}{d \tau}=\frac{\sqrt{R(v)}}{v-u}
\]

где $R(z)$ является некоторым полиномом шестой степени.
Ю.Н.Федоровым в работе [9] рассмотрена более общая связь $(\boldsymbol{\omega}, \gamma)=d, d=$ const $
eq 0$, показана интегрируемость и приведен метод сведения к квадратурам в этом случае. Кроме того, показано, что фазовые траектории задачи Веселовой и задачи о шаре Чаплыгина являются различными обмотками одних и тех же инвариантных торов, задаваемых интегралами $F_{i}(i=1, \ldots, 4)$. Приведение к квадратурам в случае $d
eq 0$ в [9] использует линейное преобразование, аналогичное примененному Чаплыгиным в задаче о качении шара [12].

Обобщения задачи Веселовой. 1. Введение поля Бруна отвечает добавлению к квадратичному потенциалу $U(\boldsymbol{q})=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q})$ задачи Неймана члена четвертой степени $V(\boldsymbol{q})=\beta\left[(\mathbf{I} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q})^{2}-\operatorname{det} \mathbf{I}\left(\mathbf{I}^{-1} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q}\right)\right]$, что порождает интересную интегрируемую систему на сфере. Однако в этом случае $\beta$ зависит не только от $\alpha$, но и от константы интеграла энергии, что делает связь обеих задач не очень естественной.

2. Присоединение симметричного гироскопа (гиростата), при отсутствии поля Бруна, также приводит к интегрируемой системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{M}=M \times \omega+
u \gamma, \quad(\boldsymbol{\omega}, \gamma)=0 \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \omega
\end{array}\right.
\]

где $\boldsymbol{\omega}=\mathbf{A}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{K}), \boldsymbol{K}=\mathrm{const}-$ лостоянный вектор гиростатического момента. Кроме меры (2.2), здесь имеются интегралы $F_{1}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{K}, \boldsymbol{\omega})$, $F_{2}=(\gamma, \gamma)=1, F_{3}=M^{2}-(\boldsymbol{M}, \gamma)^{2}$. При этом решения в общем случае в $\theta$-функциях, по-видимому, не выражаются.

3. В случае симметричного волчка $I_{1}=I_{2}
eq I_{3}$, описываемого уравнениями (2.1) при $V=\beta \gamma_{3}, \beta=$ const (потенциал поля тяжести) система имеет четвертый интеграл $F_{4}=A_{1} M_{3}^{2}+\left(A_{3}-A_{1}\right) M_{3}^{2} \gamma_{3}^{2}$, что и приводит к интегрируемости. Его наличие не следует непосредственно из симметрии, т. к. связь препятствует последней. В этом случае система интегрируется в эллиптических функциях.