В отличие от традиционного в динамике твердого тела подхода, при котором используется жестко связанная с телом система координат, при изучении движения однородного шара удобнее записывать уравнения движения в неподвижной системе координат. В этой системе уравнения изменения импульса и момента импульса относительно центра масс шара с учетом реакции и внешних сил имеют вид
\[
m \dot{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{N}+\boldsymbol{F}, \quad(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega})^{\cdot}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{N}+\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{F}},
\]

а условие отсутствия проскальзывания (скорость точки контакта равна нулю) –
\[
v+\omega \times a=0 .
\]

Здесь $m$ – масса шара, $v$ – скорость его центра масс, $\boldsymbol{\omega}-$ угловая скојость, I – $\mu \mathbf{E}$ (шаровой) центральный тензор инерции, $\boldsymbol{a}$ – вектор из центра масс в точку контакта, $R$ – радиус шара, $N-$ реакция в точке контакта (см. рис. 1), $\boldsymbol{F}$, $M_{F}$ – внешняя сила и момент сил относительно точки контакта соответственно.

Исключая из этих уравнений реакцию $\boldsymbol{N}$ и добавляя кинематическое уравнение равенства скоростей точки контакта на поверхности и на шаре, получаем систему шести уравнений, описывающую динамику вектора кинетического момента относительно точки контакта $\boldsymbol{M}$ и вектора нормали к поверхности $\gamma=-R^{-1} \boldsymbol{a}$ (рис. 1):
\[
\dot{M}=D \dot{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma)+M_{F}, \quad \dot{\boldsymbol{r}}+R \dot{\gamma}=\omega \times R \gamma,
\]

где $D=m R^{2}$. Здесь векторы $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{r}$ (радиус-вектор точки контакта) необходимо выразить из соотношений
\[
M=\mu \boldsymbol{\omega}+D \boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma), \quad \gamma=\frac{
abla F(\boldsymbol{r})}{|
abla F(\boldsymbol{r})|},
\]

$F(\boldsymbol{r})=0$ – уравнение, задающее неподвижную поверхность, по которой катится шар (последнее уравнение в (2.4) задает гауссовское отображение). В дальнейшем мы, следуя Раусу, будем задавать в явном виде уравнение поверхности по которой движется центр масс шара, определяемой радиус-вектором $\boldsymbol{r}^{\prime}=\boldsymbol{r}+R \boldsymbol{\gamma}$. Данная поверхность является эквидистантной к поверхности, по которой движется точка контакта.

В случае потенциальных сил момент $\boldsymbol{M}_{F}$ выражается через потенциал $U\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)=U(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R} \boldsymbol{\gamma})$, зависящий от положения центра масс шара, по формуле $\boldsymbol{M}_{F}=R \boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{r}^{\prime}}$.

ЗАмечание 1. В трактате Рауса [10] уравнения движения шара получены в полуподвижных осях и отмечены случаи их явного разрешения. Фактически большинство последующих авторов учебников $[1,9]$ лишь излагали результаты Рауса, по существу ничего к ним не добавляя. Отметим, что Раус также особенно интересовался устойчивостью частных решений (например, шара, закрученного на вершине поверхности вращения). Мы здесь не приводим первоначальной формы уравнений Рауса, т.к. уравнения в форме (2.3) во многом аналогичны уравнениям, описывающим движение произвольного тела по плоскости и сфеpe [5], что позволяет рассмотреть мног хе вопросы (например, интегрируемости) с единой точки зрения.

1. Интегралы движения. Уравнения (2.3) в случае потенциального поля с потенциалом $U(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R} \boldsymbol{\gamma})$ обладают интегралами энергии и геометрическим интегралом
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+U(\boldsymbol{r}+R \boldsymbol{\gamma}), \quad F_{1}=\boldsymbol{\gamma}^{2}=1 .
\]

Кроме этих двух интегралов в случае произвольной поверхности $F(\boldsymbol{r})=$ $=0$ система (2.3) не обладает ни мерой, ни двумя дополнительными интегралами, необходимыми для иятегрируемости по теории последнего множителя (теории Эйлера – Якоби). Ее поведение является хаотическим. Как показано далее, в некоторых случаях может существовать мера и лишь один дополнительный интеграл. При этом хаос является «более слабым». Как заметил Раус, для поверхности вращения имеется два дополнительных интеграла, система интегрируема, а ее поведение является регулярным. При этом приведенная система является гамильтоновой после соответствующей замены времени.

2. Качение по поверхности второго порядка. Укажем частный случай уравнений (2.3), когда центр масс шара движется по поверхности второго порядка, задаваемой уравнением
\[
\left(\boldsymbol{r}+R \boldsymbol{\gamma}, \mathbf{B}^{-1}(\boldsymbol{r}+R \boldsymbol{\gamma})\right)=1, \quad \mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)
\]

(в случае эллипсоида $b_{i}>0$ и задают квадраты главных полуосей). Выражая из (2.1) радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ через нормаль к поверхности $\gamma$ по формуле
\[
r+R \gamma=\frac{\mathbf{B} \gamma}{\sqrt{(\gamma, \mathbf{B} \gamma)}},
\]

получаем уравнения движения в переменных $\boldsymbol{M}, \gamma$ :
\[
\dot{M}=-\frac{D}{\mu+D}(\boldsymbol{M}, \dot{\gamma}) \gamma, \quad \dot{\gamma}=\frac{R \sqrt{(\gamma, \mathbf{B} \gamma)}}{\mu+D} \gamma \times\left(\gamma \times \mathbf{B}^{-1}(\gamma \times \boldsymbol{M})\right)
\]

3. Шар на вращающейся поверхности. Рассмотрим также движение шара по поверхности, вращающейся в пространстве с постоянной угловой скоростью $\boldsymbol{\Omega}$, частный случай этой задачи (плоскость, сфера) также были разобраны Раусом [10]. В этом случае вывод дословно повторяет предыдущий с заменой неголономного кинематического соотношения (2.2) следующим
\[
v+\omega \times a=\Omega \times r,
\]

что приводит к уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{M}}=m(\dot{\boldsymbol{a}} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{a})+\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{\Omega} \times \dot{\boldsymbol{r}}))+\boldsymbol{M}_{F} \\
\dot{\boldsymbol{r}}+R \dot{\gamma}=\boldsymbol{\omega} \times R \dot{\gamma}+\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{a}=-R \gamma$.
Заметим, что в случае произвольной поверхности система шести уравнений (2.2) не замкнута, т. к. Јадиус-вектор точки на поверхности $r$ не выражается лишь через $\gamma$, необходимо добавить также уравнение для угла поворота поверхности вокруг неподвижной оси. Тем не менее в случае, когда поверхность является осесимметричной, а ось симметрии совпадает с осью вращения, уравнения (2.2) становятся замкнутыми, что мы и используем в дальнейшем.

Уравнения (2.2), (2.2) во многом аналогичны уравнениям, описывающих качение твердого тела по плоскости или сфере, подробно разобранным нами в работе [5]. Мы будем пользоваться этим обстоятельством при переносе соответствующих результатов на системы (2.2), (2.2).