У этой задачи в общем случае отсутствуют оба дополнительных интеграла, тем не менее для нее всегда существует инвариантная мера, что

Рис. 5. Одна из траекторий в задаче о качении неуравновешенного шара по плоскости. Из рисунка видно, что все тэчки ложатся на некоторую поверхность, сгущения точек соответствуют асимптотическому приближению траектории к периодическим решениям. Траектория выходит из вершины и приближается к трем точкам снизу поверхности.

Рис. 6. Три траектории в задаче о качении неравновешенного шара по плоскости. Хорошо видно, что точки ложатся на двумерные поверхности (соответствующие уровню интеграла (2.2)). Сгущение точек соответствует асимптотическому приближению к некоторому периодическому решению.

впервые было отмечено В. А. Ярощук [28]. Здесь удобнее рассматривать уравнения в переменных $\mathit{\omega },\mathit{\gamma }$. Они имеют вид
$$\begin{array}{c}(\mu +m{\mathit{r}}^2)\dot{\mathit{\omega }}=m(\dot{\mathit{r}}+\mathit{\omega }\times \mathit{r})(\mathit{r},\mathit{\omega })-m\mathit{\omega }(\mathit{r},\dot{\mathit{r}})+\mathit{\gamma }\times \frac{\partial U}{\partial \gamma },\\ \dot{\mathit{\gamma }}=\mathit{\gamma }\times \mathit{\omega }.\end{array}$$

Уравнения (2.1) обладают инвариантным соотношением $(\dot{\mathit{\omega }},\mathit{r})=0$, которое используется для упрощения некоторых выкладок.

Плотность инвариантной меры для этих уравнений, указанная в [28], может быть представлена в форме
$$\rho ={(\mu +{\mathit{r}}^2)}^{3/2}.$$

Указанные также в работе [28] обобщения этой меры на случай качения тела по сфере мы не смогли воспроизвести. Возможно, этого обобщения не существует. Также неизвестно, к каким нетривиальным интегрируемым случаям может приводить существование меры (2.2) и имеет ли система какое-нибудь гамильтоново происхождение, — возможно, после соответствующей замены времени.