У этой задачи в общем случае отсутствуют оба дополнительных интеграла, тем не менее для нее всегда существует инвариантная мера, что

Рис. 5. Одна из траекторий в задаче о качении неуравновешенного шара по плоскости. Из рисунка видно, что все тэчки ложатся на некоторую поверхность, сгущения точек соответствуют асимптотическому приближению траектории к периодическим решениям. Траектория выходит из вершины и приближается к трем точкам снизу поверхности.

Рис. 6. Три траектории в задаче о качении неравновешенного шара по плоскости. Хорошо видно, что точки ложатся на двумерные поверхности (соответствующие уровню интеграла (2.2)). Сгущение точек соответствует асимптотическому приближению к некоторому периодическому решению.

впервые было отмечено В. А. Ярощук [28]. Здесь удобнее рассматривать уравнения в переменных $\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma}$. Они имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left(\mu+m \boldsymbol{r}^{2}\right) \dot{\boldsymbol{\omega}}=m(\dot{\boldsymbol{r}}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{\omega})-m \boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}})+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial U}{\partial \gamma}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega} .
\end{array}
\]

Уравнения (2.1) обладают инвариантным соотношением $(\dot{\boldsymbol{\omega}}, \boldsymbol{r})=0$, которое используется для упрощения некоторых выкладок.

Плотность инвариантной меры для этих уравнений, указанная в [28], может быть представлена в форме
\[
\rho=\left(\mu+\boldsymbol{r}^{2}\right)^{3 / 2} .
\]

Указанные также в работе [28] обобщения этой меры на случай качения тела по сфере мы не смогли воспроизвести. Возможно, этого обобщения не существует. Также неизвестно, к каким нетривиальным интегрируемым случаям может приводить существование меры (2.2) и имеет ли система какое-нибудь гамильтоново происхождение, – возможно, после соответствующей замены времени.