В этом случае уравнения (1.1), (1.2) удобно записать в форме
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{M}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\omega}+m \dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}), \\
\dot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{\omega}=(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{\omega} \\
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+m \boldsymbol{r} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}),
\end{array}\right.
\]

где $\boldsymbol{a}$ – вектор, соединяющий центр масс с геометрическим центром, $\boldsymbol{r}=R \gamma+\boldsymbol{a}$ (см. рис. 4). Оказывается, что в случае $\boldsymbol{a}
eq 0$ интеграл $F_{3}=M^{2}$ системы (2.1) допускает непосредственное обобщение, которое может быть записано в виде
\[
F=M^{2}-m r^{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})=\boldsymbol{M}^{2}-2 m r^{2} H,
\]

где $H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})-$ интеграл энергии. Этот интеграл, хотя и является достаточно простым, видимо, ранее не был известен. Заметим только, что при дополнительном требовании динамической симметрии были найдены интеграл Желле и интегралы Чаплыгина (см. п. 3). Интеграл (2.2) может рассматриваться как их обобщение на динамически несимметричную ситуацию.

Нам не удалось получить обобщения этого интеграла на случай добавления гиростата и поля Бруна. Отметим также, что при $\boldsymbol{a}
eq 0$, видимо, отсутствует мера, что иллюстрируется рис. 5 , 6 , на котором показаны асимптотические траектории точечного отображения, лежащие на двумерной поверхности интеграла (2.2).