В работе рассматриваются случаи существования инвариантной меры, дополнительных первых интегралов и пуассоновой структуры в задаче о качении твердого тела без проскальзывания по плоскости и сфере. Исследования задачи о движении твердого тела по плоскости восходят к С. А. Чаплыгину, П. Аппелю, Д. Кортевегу, которые показаля сводимость уравнений движения к линейному дифференциальному уравнению второго порядка случая, когда поверхность динамически симметричного тела является поверхностью вращения. Эти результаты частично обобщил П. Воронец, исследуя движение тела вращения и круглого диска с острым краем по поверхности сферы. В обоих случаях системы являются интегрируемыми по Эйлеру-Якоби, и обладают дополнительными первыми интегралами и инвариантной мерой. Оказывается, что приведенная система после некоторой замены времени, определяемой приводящим множителем, является гамильтоновой. Здесь мы рассматриваем также различные случаи, когда интегралы и инвариантную меру удается записать в виде конечного алгебраического выражения.
Рассмотрена также обобщенная задача о качении динамически несимметричного шара Чаплыгина. Результаты исследования собраны в виде таблиц, позволяющих более наглядно представить иерархию существования в рассматриваемых задачах различных тензорных инвариантов – инвариантной меры, интегралов и пуассоновой структуры.