Ж.Л.Лагранж предложил универсальную форму уравнений движения для систем с идеальными связями, при этом не требуя, чтобы записанные в дифференциальной форме уравнения связей
\[
\sum_{j=1}^{n} a_{i j}(t, q) \delta q_{i}=0 \quad(i=k+1, \ldots, n)
\]

приводились к конечным уравнениям
\[
f_{i}(t, q)=c_{i} .
\]

Это уравнения Лагранжа 1-го рода с множителями $\lambda_{i}$ связей:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j}+\sum \lambda_{i} a_{i j}
\]
(обозначения общепринятые).
Если механическая система стеснена только конечными идеальными связями (3.2) (rank $\left\|\frac{\partial f}{\partial q}\right\|=n-k$ ), то порядок уравнений (3.3) можно понизить на $2(n-k)$ единиц [67]:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{q}_{s}}-\frac{\partial T^{*}}{\partial q_{s}}=Q_{s}^{*} \quad(s=1, \ldots, k) .
\]

Здесь $T^{*}\left(t, q_{1}, \ldots, q_{k}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{k}\right)$ – сужение функции $T\left(t, q_{1}, \ldots, q_{n}\right.$, $\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}$ ) на касательное расслоение конфигурационного многообразия (3.2) системы, обобщенные силы
\[
Q_{s}^{*}=Q_{s}+\sum Q_{i} b_{i s}
\]

соответствуют локально независимым обобщенным (лагранжевым) координатам $q_{1}, \ldots, q_{s}$, а уравнения (3.1) переписываются в виде
\[
\delta q_{i}=\sum_{s=1}^{k} b_{i s} \delta q_{s} \quad(i=k+1, \ldots, n) .
\]

Для систем с неголономными идеальными связями уравнения движения не имеют, вообще говоря, формы (3.4) уравнений Лагранжа 2 -го рода. По-видимому, первым на это ясно указал Н. Феррерс [60]. Тем не менее, спустя десятилетия после его работы, появились ошибочные

публикации применения уравнений Лагранжа (3.4) [54, 69], принципа Гамильтона [71], метода Якоби [57] при решении некоторых задач с неинтегрируемыми связями.

Следуя Феррерсу, напомним, что уравнения неголономных связей имеют вид
\[
\dot{x}=\Theta \cdot \dot{\theta}+\Phi \cdot \dot{\varphi}+\Psi \cdot \dot{\psi}+\ldots,
\]

где $\dot{x}=\left(\dot{x}_{1}, \dot{x}_{2}, \ldots\right)$ – «зависимые скорости» материальных точек системы $(\theta, \varphi, \psi, \ldots)$ – «обобщенные координаты, через которые выражаются живая сила $2 T$ и потенциальная энергия $U$ ». Так как
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} \frac{\partial \dot{x}^{2}}{\partial \dot{\theta}}\right)=\dot{x} \frac{d \Theta}{d t}+\ddot{x} \Theta \quad \text { и т. д., }
\]

то из принципа Даламбера, записанного для данной системы материальных точек,
\[
\sum\left(m \ddot{x}-F_{x}\right) \delta x=\sum m \ddot{x} \delta x-\delta U=\sum\left[\left(m \ddot{x} \Theta-\frac{\partial U}{\partial \theta}\right) \delta \theta+\ldots\right]=0
\]

следуют уравнения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\sum m \dot{x} \frac{d \Theta}{d t}=\frac{\partial U}{\partial \theta},
\]

и т. д. для каждой из обобщенных координат.
Когда уравнения связей (3.6) интегрируемы, то
\[
\frac{\partial \Theta}{\partial \varphi}=\frac{\partial \Phi}{\partial \theta}, \ldots
\]

следовательно,
\[
\frac{d \Theta}{d t}=\frac{\partial \dot{x}}{\partial \theta}, \ldots,
\]

и уравнения (3.7) становятся уравнениями Лагранжа 2 -го рода. В частности, если для какой-либо одной из обобщенных координат, например $\theta$, выполняются условия
\[
\frac{\partial \Theta}{\partial \varphi}=\frac{\partial \Phi}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial \Theta}{\partial \psi}=\frac{\partial \Psi}{\partial \theta}, \ldots,,
\]

то уравнение (3.7) для $\theta$ примет вид уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta}=\frac{\partial U}{\partial \theta} .
\]

Условия (3.8), заметил Феррерс, выполняются для угла нутации $\theta$ в задаче о качении по горизонтальной плоскости тяжелого однородного обруча (см. уравнения связей (1.1)).

Через 25 лет С. А. Чаплыгин [41] обратился к рассмотренному Феррерсом классу неголономных систем, которые сейчас называют чаплыгинскими [18]. Пусть обобщенные хоординаты системы разбиваются на два множества $\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ и $\left(q_{k+1}, \ldots, q_{n}\right)$ так, что кинетическая энергия $T$, силовая функция $U$ и уравнения связей
\[
\dot{q}_{i}=\sum_{s=1}^{k} b_{i s}(q) \dot{q}_{s} \quad(i=k+1, \ldots, n)
\]

системы не зависят от координат $\left(q_{k+1}, \ldots, q_{n}\right)$. Чаплыгин также исходит из принципа Даламбера – Лагранжа, исключает в выражении для кинетической энергии $T$ зависимые скорости $\dot{q}_{i}$ с помощью уравнений связей (3.9). В итоге получились известные уравнения Чаплыгина
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{q}_{s}}-\frac{\partial T^{*}}{\partial q_{s}}-\frac{\partial U}{\partial q_{s}}=\sum_{i=k+1}^{n}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)\left\{\sum_{r=1}^{k}\left(\frac{\partial b_{i s}}{\partial q_{r}}-\frac{\partial b_{i r}}{\partial q_{s}}\right) \dot{q}_{r}\right\}
\]

которые явно отличаются от уравнений Лагранжа 2 -го рода (3.4) $\left(Q_{s}^{*}=\right.$ $\left.=\frac{\partial U}{\partial q_{s}}\right)$ наличием дополнительных «членов неголономности».

Любопытно, что Чаплыгин фактически никогда не применял своих уравнений при исследовании конкретных неголономных систем, а опирался на общие теоремы динамики. Впрочем, так поступали и другие классики науки $[74,11,68]$.
П.В.Воронец [6] вывел уравнения движения консервативных систем с линейными неголономными связями в общем случае, когда $T, U$ и $b_{i s}$ явно зависят от всех обобщенных координат:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{q}_{s}}-\sum_{i=k+1}^{n} \frac{\partial\left(T^{*}+U\right)}{\partial q_{i}} b_{i s}-\frac{\partial\left(T^{*}+U\right)}{\partial q_{s}}= \\
= \sum_{i=k+1}^{n}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)^{*}\left\{\sum_{r=1}^{k}\left(\frac{\partial b_{i s}}{\partial q_{r}}+\sum_{p=k+1}^{n} \frac{\partial b_{i s}}{\partial q_{p}} b_{p r}-\frac{\partial b_{i r}}{\partial q_{s}}-\sum_{p=k+1}^{n} \frac{\partial b_{i r}}{\partial q_{p}} b_{p s}\right) \dot{q}_{r}\right\} \\
\quad(s=1, \ldots, k) .
\end{array}
\]

В отличие от (3.10) уравнения Всронца не отделяются от уравнений неголономных связей (3.9) и должғы рассматриваться совместно. Воронец применил свои уравнения в классической задаче о качении тела по произвольной поверхности [7].

П. Аппель в первом издании своего «Трактата по рациональной механике» поместил уравнения Лагранжа 2 -го рода в главу о неголономных системах. Ошибка была исправлена в последующих изданиях трактата, его автор посвятил целую серию работ системам с неинтегрируемыми связями. Итогом явились уравнения движения неголономных систем в виде [50]
\[
\frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{s}}=Q_{s} \quad(s=1, \ldots, k<n),
\]

где $S=\frac{1}{2} \sum m\left(\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}+\ddot{z}^{2}\right)-$ энергия ускорений системы, вычисленная с учетом уравнений связи.

Уравнения (3.11) для систем с голономными удерживающими и неудерживающими связями, в том числе и при использовании квазикоординат, еще раньше применял Д. Гиббс [61].

В одной из своих работ [54] Л. Больцман рассмотрел механическую систему с фрикционной передачей: зедущее и ведомое колеса неподвижно закреплены на взаимно перпендикулярных валах, в точке соприкосновения колес нет скольжения, а расстояние от этой точки до центра ведущего колеса есть регулируемая по времени функция. Таким образом, угловые скорости колес связаны неголономным соотношением
\[
\omega=a(t) w .
\]

Но несмотря на то, что координата $\omega$ неголономна (квазикоордината), Больцман выписал уравнения Лагранжа 2-го рода. Через 17 лет [55] он вернулся к этой системе, исправил ошибку и вывел общие уравнения движения неголономных систем в квазикоординатах. Эти уравнения несколько обобщил Г. Гамель [63], и они теперь называются уравнениями Больцмана-Гамеля. Для стационарных систем эти уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left.\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\pi}_{s}}-\frac{\partial T}{\partial \pi_{s}}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{r=1}^{k} \frac{\partial T}{\partial \dot{\pi}_{j}} \gamma_{r s}^{j} \dot{\pi}_{r}\right)\right|_{\dot{\pi}_{k+1}=\dot{\pi}_{k+2}=\ldots=\dot{\pi}_{n}=0}=\Pi_{s} \\
(s=1, \ldots, k) .
\end{array}
\]

В этих уравнениях кинетическая энергия системы выражена через

квазискорости $\dot{\pi}_{1}, \ldots, \dot{\pi}_{n}$ (кинематические характеристики)
\[
T(q, \dot{q})=T(q, \dot{\pi}) .
\]

Последние связаны с обобщенными скоростями $\dot{q}$ линейными соотношениями
\[
\dot{\pi}_{j}=\sum_{h=1}^{n} a_{j h}(q) \dot{q}_{h} \quad\left(\operatorname{det}\left\|a_{j h}\right\|
eq 0\right),
\]

среди которых правые части последних $n-k$ равенств представляют уравнения
\[
\sum_{i=k+1}^{n} a_{i h} \dot{q}_{h}=0 \quad(i=k+1, \ldots, n)
\]

связей, наложенных на систему. Трехиндексные символы
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{h p}^{j}=\sum_{u=1}^{u} \sum_{v=1}^{n}\left(\frac{\partial a_{j v}}{\partial q_{u}}-\frac{\partial a_{j u}}{\partial q_{v}}\right) c_{u h} c_{v p}, \quad\left\|c_{u v}\right\|=\left\|a_{j h}\right\|^{-1} \\
(i, h, p=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Правыс части (3.12) суть обобщсниыс силы, соотвстствующис исзависимым вариациям квазикоординат $\delta \pi_{1}, \ldots, \delta \pi_{k}$.

Правила вычисления трехиндексных символов, а также обобщение уравнений (3.12) на случай нестационарных систем со связями и примеры составления этих уравнений приведены в книге [17]. А.И.Лурье, следуя Гамелю, называет их уравнениями Эйлера – Лагранжа. Они представляют собой наиболее общие уравнения динамики.

Аналогичные уравнения в кинематических характеристиках получены В. Вольтеррой [77].

Отметим еще так называемые уравнения Пуанкаре – Четаева [37, 38 , $39,25,26,27]$. Развивая оптико-механическую аналогию, У. Гамильтон установил, что процесс движения голономной консервативной системы можно рассматривать как постепенное развертывание контактного преобразования, а множество контактных преобразований обладает групповым свойством [78]. Развитие этого представления о движении продолжил А. Пуанкаре [73]. Для консервативных голономных систем с $k$ степенями свободы он предложил новую форму уравнений движения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \eta_{s}}=\sum_{l=1}^{k} \sum_{r=1}^{k} c_{l s r} \frac{\partial T}{\partial \eta_{r}} \eta_{l}+X_{s}(T+U) \quad(s=1, \ldots, k),
\]

в которой кинетическая энергия $T$ системы выражена не в обобщенных координатах и скоростях $(q, \dot{q})$, как в уравнениях Лагранжа, а в переменных $(q, \eta)$, где $\eta_{s} d t(s=1, \ldots, k)$ – параметры действительных перемещений. Переход от состояния системы $\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ к состоянию бесконечно близкому ( $\left.q_{1}+\dot{q}_{1} d t, \ldots, q_{k}+\dot{q}_{k} d t\right)$ осуществляется бесконечно малым преобразованием группы
\[
\sum_{s=1}^{k} \eta_{s} d t X_{s}(f)
\]

так что
\[
\dot{q}_{r}=\frac{d q_{r}}{d t}=\sum_{s=1}^{k} \eta_{s} X_{s}^{r} \quad(r=1, \ldots, k) .
\]

Здесь $\left\{X_{l}=\sum_{s=1}^{k} X_{l}^{s}(q) \frac{\partial}{\partial q_{s}}\right\}$ – замкнутая система инфинитезимальных операторов, которая, согласно обратной второй теореме С.Ли, задает непрерывную группу. Для замкнутой системы операторов коммутатор
\[
X_{r} X_{l}-X_{l} X_{\Gamma}=\sum_{s=1}^{k} c_{r l s} X_{s}
\]

где $c_{r l s}$ – структурные константь группы.
Уравнения (3.13) были обобщены Н.Г.Четаевым на случай описания голономных систем в избыточных обобщенных координатах $q_{1}, \ldots, q_{k}, q_{k+1}, \ldots, q_{n}$, которые связаны $n-k$ конечными уравнениями. Соответствующая группа преобразований является интранзитивной. Четаев построил завершенную теорию таких уравнений, рассмотрел примеры $[43,44]$.

Фам Гуен распространил методику (и терминологию) составления уравнений движения механических систем в переменных $(q, \eta)$ на неголономные системы с линейными связями. Но в общем случае движение неголономных систем не обладает групповым свойством, как в голономных системах, трехиндексные символы $c_{\alpha \beta \gamma}$ для замкнутой системы дифференциальных операторов не являются постоянными, а величины $\eta_{s} d t$ играют по существу роль кзазикоординат. Поэтому и уравнения в переменных Пуанкаре – Четаева оказались идентичными уравнениям Вольтерры и Больцмана – Гамеля в квазикоординатах $[8,38,13]$.

При выводе уравнений движения систем с линейными по скоростям идеальными связями не важно, какой фундаментальный принцип механики выбран в качестве исходного – принцип Гаусса наименьшего

принуждения или принцип Даламбера – Лагранжа. Оба этих дифференциальных принципа равносильны в случае линейных идеальных связей $[70,4]$. Если на механическую систему наложены нелинейные связи
\[
f_{i}(t, q, \dot{q})=0 \quad\left(\operatorname{rank}\left\|\frac{\partial f_{i}}{\partial \dot{q}_{i}}\right\|=n-k\right) \quad(i=k+1, \ldots, n),
\]

то возникает необходимость определить понятие виртуальных перемещений так, чтобы оба принципа давали одни и те же уравнения движения, и для случая линейных связей получалось бы известное определение виртуальных перемещений.

Эту задачу разрешил Н. Г. Четаев [45], а В. И. Киргетов доказал следующее утверждение.
Пусть на систему наложены идеальные связи второго порядка
\[
a_{i 1} \ddot{q}_{1}+\ldots+a_{i n} \ddot{q}_{n}=a_{i} \quad(i=k+1, \ldots, n)
\]
$\left(a_{i j}, a_{i}\right.$ – функции $\left.t, q, \dot{q}\right)$. Эти соотношения получаются вычислением полных производных по времени левых частей (3.14) вдоль кинематически допустимых траекторий движения, то есть
\[
a_{i j}-\frac{\partial f_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}, \quad a_{i}–\frac{\partial f_{i}}{\partial t}-\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j} \quad(i-k+1, \ldots, n ; \quad j-1, \ldots, n) .
\]

Предполагается, что связи функции $a_{i j}, a_{i}$ не зависят от сил, приложенных к системе. Оказывается [14], что среди всех возможных линейных определений виртуальных перемещений, при которых виртуальные перемещения не зависят от сил, действующих на систему, а принцип Даламбера – Лагранжа дает те же уравнения, что и принцип Гаусса, не найдется ни одного такого, котороє не было бы эквивалентным определению Четаева:
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial \dot{q}_{1}} \delta q_{1}+\ldots+\frac{\partial f_{i}}{\partial \dot{q}_{j}} \delta q_{j}=0 \quad(i=k+1, \ldots, n) .
\]

Для систем с нелинейными по скоростям связями, реакции которых не совершают работы на любом виртуальном перемещении, задаваемом соотношениями (3.15), уравнения движения записываются в форме (3.3). Однако и для таких систем можно составить уравнения движения без множителей. Например, для нелинейных систем Чаплыгина со связями
\[
\dot{q}_{i}=e_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{k}\right) \quad(i=k+1, \ldots, n)
\]

( $T, U$ не зависят от $q_{k+1}, \ldots, q_{n}$ ) уравнения движения имеют вид [19]
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{q}_{s}}-\frac{\partial T^{*}}{\partial q_{s}}-\frac{\partial U}{\partial q_{s}}=\sum_{i=k+1}^{n}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)^{*}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial e_{i}}{\partial \dot{q}_{s}}-\frac{\partial e_{i}}{\partial q_{s}}\right) \quad(s=1, \ldots, k)
\]
(звездочкой, как обычно, обозначаєм результат замены в соответствующих функциях величин $\dot{q}_{k+1}, \ldots, \dot{q}_{n}$ правыми частями уравнений (3.16)). Отметим, что в случае нелинейных связей (3.16) функция $T^{*}$ может оказаться вырожденной относительно $\dot{q}_{i}, \ldots, \dot{q}_{k}$.

Как видим, различные виды уравнений движения неголономных систем не имеют лагранжевой формы вследствие неинтегрируемости уравнений связей. И все же имеется несколько примеров механических систем, общее движение которых описывается в точности уравнениями Лагранжа 2-го рода или уравнениями Гамильтона с вырожденным гамильтонианом.

Во-первых, это тяжелый однородный обруч (п. 1), катающийся по плоскости при условии, что угол $\theta \equiv \frac{\pi}{2}$ во все время движения (эта дополнительная геометрическая связь легко может быть реализована). Два первых уравнения связей (1.1) переходят в уравнения
\[
\dot{\xi}+\dot{\varphi} \cos \psi-0, \quad \dot{\eta}+\dot{\varphi} \sin \psi-0
\]

и по-прежнему остаются интегрируемыми. При этом правые части уравнений Чаплыгина (3.10), записанные для обобщенных координат $\varphi, \psi$, тождественно обращаются в нуль.

Другой пример описан в книге Дж. Синджа [76], а факт, что уравнения движения в этом примере принимают лагранжев вид, по-видимому, впервые был отмечен в работе [46]. В примере Синджа два одинаковых однородных колеса свободно насажены на общую ось и катаются по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Уравнения движения этой неголономной системы тоже имеют вид уравнений Лагранжа 2-го рода относительно функции Лагранжа $L^{*}=T^{*}$.

Третий пример представляет система Аппеля (п. 2). Если записать уравнение связи (2.2) в виде
\[
\dot{z}= \pm \frac{1}{a} \sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}},
\]

то система не будет чаплыгинской, однако уравнения движения системы можно представить в виде уравнений Гамильтона, правда, с вырожденным гамильтонианом [75].

В качестве четвертого примера рассмотрим задачу о качении и верчении однородного шара по горизонтальной плоскости. Эта задача иллюстрирует идею Воронца интерпретировать первые интегралы системы как неголономные связи (п. 2). Действительно, проекции мгновенной скорости точки шара, касающейся опорной плоскости, на неподвижные ортогональные оси этой плоскости равны
\[
v_{x}=\dot{x}-q R, \quad v_{y}=\dot{y}+p R,
\]

где $R$ – радиус, $(\dot{x}, \dot{y})$ – проекция скорости центра шара, $(p, q, r)$ – компоненты угловой скорости относительно произвольных фиксированных в шаре ортогональных осей. Нетрудно увидеть, что для шара, скользящего по гладкой горизонтальной плоскости (голономная система), $v_{x}=$ $=$ const и $v_{y}=$ const – первые интегралы уравнений движения. Следовательно, если начальные условия движения голономной системы выбраны так, что $v_{x}=v_{y}=0$, то в последующем движении шара условия
\[
\dot{x}-q R=0, \quad \dot{y}+p R=0
\]

выполняются автоматически. Отсюда следует, что уравнения движения однородного шара по горизонтальной плоскости без скольжения имеют вид уравнений Лагранжа 2 -го рода с функцией $L=T$ (не $T^{*} !$ ), поскольку множители связей в уравнениях (3.3) тождественно равны нулю.

Перечисленные исключения не затемняют факта, что в общем случае уравнения движения неголономных систем не имеют лагранжевой формы, и по этой причине на неголономные системы не распространяются многие теоремы аналитической механики, установленные для систем с конечными связями. Поэтому в ряде работ ставится вопрос о возможности преобразования уравнений движения неголономных систем к виду уравнений Лагранжа 2 -го рода или Гамильтона.

В XIX столетии популярным было исследование аналогии между системами путем непосредственного построения преобразований, переводящих уравнения движения одной системы в уравнения другой. Такого рода работы публиковали Лиувилль, Гурса, Пенлеве, Штеккель, Бертран, Дотенвилль, Дарбу, Аппель. Например, Аппель [51] предложил использовать точечное преобразование координат с преобразованием независимой переменной
\[
d t=\lambda\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) d t_{1}
\]

и распорядиться выбором функции $\lambda$ так, чтобы в новых уравнениях движения в форме Лагранжа силы, зависящие от координат и скоростей (так можно трактовать «члены неголономности» в уравнениях (3.10)),

приняли бы вид дополнительных обобщенных позиционных сил. Совершенно ясно эта задача по удалению правых частей в уравнениях (3.10) была поставлена Аппелем в 1901 г. [52]. Через несколько лет идею Аппеля реализовал Чаплыгин [40], построив теорию приводящего множителя для неголономных систем с двумя степенями свободы.

По Чаплыгину в неголономных системах с двумя степенями (системах Чаплыгина) всегда можно ввести новую независимую переменную
\[
d \tau=N\left(q_{1}, q_{2}\right) d t
\]

так, что в переменных $q_{1}, q_{2}, \tau$ уравнения движения принимают лагранжеву и гамильтонову форму, и «прием этот любопытен с теоретической точки зрения как непосредственное распространение методы Якоби на простейшие случаи неголономной системы» [40].

При отыскании приводящего множителя $N\left(q_{1}, q_{2}\right)$ встречаются 2 случая. В первом функция $N$ находится квадратурой, а коэффициенты уравнений связей и кинетической энергии должны тождественно удовлетворять единственному условию совместности. Во втором случае, когда условие совместности не выполняется, задача интегрирования канонических уравнений движения системы сводится к последовательному интегрированию двух уравнений с частными производными первого порядка.

Чаплыгин проиллюстрировал свою теорию четырьмя примерами, три из которых были доведены до квадратур [40, 42]. Еще один пример нахождения приводящего множителя привела Е.И.Харламова [12]. Во всех этих примерах приводящий множитель определяется одной квадратурой ${ }^{3}$.

В примере «сани» (п. 2) Чаплыгин переписал уравнение связи (2.1) в виде
\[
\dot{x}=\dot{s} \cos v, \quad \dot{y}=\dot{s} \sin \varphi,
\]

введя избыточную неголономную координату $s$ ( $\left.d s=\sqrt{d x^{2}+d y^{2}}\right)$. И хотя теория приводящего множителя построена для случая использования криволинейных координат, найденный Чаплыгиным общий закон движения саней был подтвержден М.И.Ефимовым [10], который проинтегрировал эту задачу в координатах $(x, y, \varphi)$. Оказалось, что в этих координатах приводящий множитель получается квадратурой, только если центр масс саней ортогонально проектируется на прямолинейный след режущего колесика. Если же центр масс смещен в сторону, то приходится решать задачу последовательным интегрированием двух уравнений (одного нелинейного) с частными производными первого порядка.

Кажется, это единственный пока пример, в котором был реализован второй случай теории Чаплыгина.

В связи с решением Чаплыгина задачи о «санях» отметим один результат, принадлежащий И. С. Аржаных [1]. Пусть уравнения линейных связей
\[
\dot{q}_{i}=b_{i 1} \dot{q}_{1}+b_{i 2} \dot{q}_{2} \quad(i=3, \ldots, n)
\]

и коэффициенты кинетической энергии неголономной системы Чаплыгина зависят только от одной координаты, например $q_{1}$. Введем дополнительную переменную $\eta$ :
\[
\dot{q}_{i}=A_{i} \dot{\eta}+B_{i} \dot{q}_{1}, \quad \dot{q}_{2}=A \dot{\eta}+B \dot{q}_{1} \quad(i=3, \ldots, n),
\]

где $A_{i}=b_{i 2} A, B_{i}=b_{i 1}+b_{i 2} B$. Оказывается, всегда можно подобрать функции $A\left(q_{1}\right), B\left(q_{1}\right)$ так, что приводящий множитель системы со связями (3.18) определяется квадратурой (т. е. имеет место первый случай теории Чаплыгина).

Попытки распространить теорию приводящего множителя на неголономные системы с числом степеней свободы больше двух неэффективны. Например, для чаплыгинских систем с тремя степенями свободы случай, аналогичный первому в теории Чаплыгина, имеет место, если коэффициенты кинетической энергии и уравнений связей тождественно удовлетворяют шести независимы. соотношениям. А в случае, аналогичном второму теории Чаплыгина, тоже необходимо интегрировать два уравнения с частными производными, однако, второго порядка [10].

В отличие от метода приводящего множителя, можно пытаться преобразовать уравнения (3.10) к форме Лагранжа, не меняя независимой переменной. Такая постановка приводит к обратной задаче вариационного исчисления. Ее частным случсем является следующая задача:
Дана система дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{c}
F_{s}\left(t ; q_{1}, \ldots, q_{k} ; \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{k} ; \ddot{q}_{1}, \ldots, \ddot{q}_{k}\right)=0, \\
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial F_{s}}{\partial \ddot{q}_{r}}\right\|
eq 0 \quad(s=1, \ldots, k) .
\end{array}
\]

Определить условия, которым должны удовлетворять функции $F_{i}$, необходимые и достаточные для того, чтобы система (3.19) была эквивалентна (в смысле совпадения общих решений) системе уравнений вида
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{q}_{s}}-\frac{\partial \Theta}{\partial q_{s}}=0 \quad(s=1, \ldots, k), \\
\Theta=\Theta\left(t, q_{1}, \ldots, q_{k}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{k}\right), \quad \operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} \Theta}{\partial \dot{q}_{s} \partial \dot{q}_{r}}\right\|
eq 0 .
\end{array}
\]

Функция $\Theta$ называется кинетическим потенциалом.

В такой постановке задача конструктивно решена для случаев $k=$ $=1[31,58]$ и $k=2[59]$. Существенных приложений к неголономным системам результатов решения обратной задачи нет $[23,2,3,19,20,15,16]$. В общем случае уравнения Чаплы:ина (3.10) невозможно представить в виде (3.20) [32].