В этом приложении мы пытаемся реконструировать результаты работы [1], относительно численного интегрирования уравнений движения кельтского камня.

Рассмотрим задачу о качении произвольного параболоида по плоскости без проскальзывания, пру-чем оси инерции параболоида повернуты относительно его геометрических осей на некоторый угол $\alpha$ (см. рис. 1). Поверхность параболоида в системе связанной осями инерции тела задается уравнением
Рис. 1. Качение параболоида по плоскости. Точка $O$ – центр масс параболоида, $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z\right)$ – его геометрические оси, а $(x, y, z)$ – его главные оси инерции.
\[
F(\boldsymbol{r})=z-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{x}, T^{T} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}\right)+h=0,
\]

где $\boldsymbol{x}=(x, y), h-$ высота центра масс, когда параболоид находится в состоянии равновесия, $\boldsymbol{T}-(2 \times 2)$-матрица поворота на угол $\alpha, \boldsymbol{B}=$ $=\operatorname{diag}(p, q)$ – матрица главных радиусов кривизны, причем $q>p>h$. Уравнения движения в этой системе координат имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \\
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\omega}+m \dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})+m g(\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{r}),
\end{array}
\]

где $\gamma$ – вектор вертикали в связанной с телом системе координат, $M$ вектор кинетического момента тела относительно точки контакта. Вектор угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ выражается через $\boldsymbol{M}$ и $\boldsymbol{r}$ из уравнения
\[
\boldsymbol{M}=\boldsymbol{I} \boldsymbol{\omega}+m g \boldsymbol{r} \times(\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{r}),
\]

где $\boldsymbol{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$ – главный центральный тензор инерции тела. Радиус вектор точки контакта $\boldsymbol{r}$ выражается следующим образом: $r_{1}$ и $r_{2}$ задаются выражением
\[
\boldsymbol{r}=-\frac{1}{\gamma_{3}} \boldsymbol{T}^{T} \boldsymbol{B} \boldsymbol{T} \widehat{\gamma}, \quad \widehat{\gamma}=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}\right),
\]

а $r_{3}$ определяется из уравнения (1).
Приведем результаты численного исследования эффекта вертикального реверса (изменения направления вращения) кельтского камня в сравнении с результатами Р. Линдберга и Р. Лонгмана [1]. Нами проводилось численное интегрирование уравнений движения (2) со следую$=6 \mathrm{кг} \mathrm{cm}^{2}, h=1 \mathrm{~cm}, p=2.5 \mathrm{~cm}, q=5 \mathrm{~cm}, \alpha=5^{\circ}$. Эти параметры полностью совпадают с параметрами в экспериментах [1].

На рис. 2 приведена сравнительная таблица зависимостей частот от времени при следующих начальных условиях $\omega_{0}=(0,0,5$ рад/сек $)$, $r_{0}=(0.2 \mathrm{~cm}, 0, z(0.2,0))$, где $z(0.2,0)$ выражается из уравнения (1). Как следует из рисунка, сильно не совпадают полученные временные масштабы. Так, если в [1] переворот оси вращения происходит за время порядка 30 секунд, то в проведенных нами экспериментах это время равно примерно 1300 секундам. С другой стороны, общая качественная картина результатов проведенных исследований совпадает с результатами [1]. На рис. 3 приведена сравнительная таблица зависимостей частоты вращения вокруг максимальной оси инерции $\omega_{3}$ от времени для случая $\alpha=30^{\circ}$, в котором наблюдается многократный реверс. Как и в предыдущем случае при сохранения общей качественной картины численные значения значительно отличаются.

Как уже было отмечено в основной работе, для области малых энергий вращения вокруг наибольшей из осей инерции в обе стороны являются неустойчивыми. Таким образом можно наблюдать многократный реверс.

При увеличении энергии выше некоторого критического значения, а также при выполнении следующего условия на распределение масс в теле
\[
\left(I_{1}+I_{2}-I_{3}\right)(p+q-2 h)-m h\left(4 h^{2}-3 h(p+q)+2 p q\right)>0
\]

одно из перманентных вращений становится устойчивым и возможен только однократный реверс. Критическое значение энергии, при котором это происходит, равно
\[
\begin{aligned}
E_{*} & =\frac{1}{2} I_{3} \omega_{*}^{2}+m g h= \\
& =\frac{1}{2} \frac{m g I_{3}(p-h)(q-h)}{\left(I_{1}+I_{2}-I_{3}\right)(p+q-2 h)-m h\left(4 h^{2}-3 h(p+q)+2 p q\right)}+m g h .
\end{aligned}
\]

Рис. 2. Слева – результаты Р. Линдберга и Р. Лонгмана; справа – результаты полученные в ходе численного эксперимента.

Рис. 3. Слева – результаты Р.Линдберга и Р.Лонгмана; справа – результаты полученные в ходе численного эксперимента. Начальные условия: $r_{0}=(0.2 \mathrm{~cm}, 0, z(0.2,0)), \omega_{0}=(0,0,1$ рад/сек $)-$ для верхних рисунков, и $\omega_{0}=(0,0,-1$ рад/сек $)$ – для нижних рисунков.

Легко проверить, что для параметров [1] условие (3) выполнено, а критическое значение энергии равно $E_{*}=1637.7042253\left(\omega_{*}=\right.$ $=22.29128548$ ). Таким образом параметры рассмотренные [1] близки к области малых энергий для которых картина почти интегрируема. При повышении энергии, вдали от интегрируемой ситуации доля хаотического поведения в системе увеличивается и реверс происходит только после прохождения хаотических колебаний.