Движение тяжелого динамически симметричного круглого диска по горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости впервые исследовалось Г.Слессером (1861 г.) [28], Н. Феррерсом (1872 г.) [23], К. Нейманом (1886 г.) и А.Фиркандтом (1892г.), благодаря которым в конце концов (после неудачных попыток Неймана и Линделефа) появилась правильная форма уравнений движения. Эта форма отличается от обычных (лагранжевых или гамильтоновых) уравнений механики, поскольку связь, состоящая в том, что скорость точки контакта диска с плоскостью равна нулю, является неголономной. Мы здесь не будем подробно останавливаться на общих формах уравнений неголономной механики (которые можно найти, например, в [15, 17]), а воспользуемся далее достаточно очевидной формой этих уравнений, полученной из общих принципов динамики — закона сохранения кинетического момента, записанного в осях, жестко связанных с диском.

Интегрируемость задачи о качении диска была впервые установлена С. А. Чаплыгиным (1897), который свел ее к анализу гипергеометрических квадратур в работе [19], где он показал также интегрируемость задачи о качении тяжелого произвольного динамически симметричного тела вращения по горизонтальной плоскости — в последнем случае задача сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка. Интегрирование уравнений движения диска в гиперэллиптических функциях обнаружили также в 1900 г. независимо друг от друга и от Чаплыгина П. Аппель [20] и Д. Кортевег [26]. Иногда, видимо, не совсем справедливо, задача о качении диска называется

задачей Аппеля-Кортевега (или просто задачей Аппеля). В 1903 г. тот же результат переоткрыл Э. Геллоп [24], используя, однако, функции Лежандра.

Несмотря на явные гипергеометрические квадратуры, вопрос о различных качественных свойствах движения диска долгое время практически не рассматривался — изучались в основном стационарные движения и их устойчивость (с соответствующей библиографией можно ознакомится по книге [15]). Только в работах С.Н.Колесникова [11], Ю.Н.Федорова [18] были отмечены некоторые качественные свойства движения диска. В первой работе показано, что почти при всех начальных условиях диск никогда не упадет на плоскость, а во второй предложена методика исследования приведенной системы. Аналогичные результаты для динамически несимметричного диска и диска, движущегося по наклонной плоскости (задач, которые не являются интегрируемыми), получены в $[1,8]$. Среди современных исследований по анализу качения диска следует отметить работы О.М.О’Рейли [27] и Р. Кашмена, Дж. Эрманса и Д. Кемпяйнена [22], а также А.С.Кулешова [12] посвященные изучению бифуркаций и устойчивости стационарных движений диска.

Общие результаты качественного анализа о качении тяжелого тела вращения получены в работе Н.К.Мощука [13]. В ней выполнен частотный анализ, обсуждается применение KAM-теории, а также получены основные качественные свойства для движения точки контакта. Оказывается, что точка контакта совершает сложное ограниченное движение: она периодически движется по некоторой замкнутой кривой, которая вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной точки. При этом при выполнении некоторого резонансного соотношения между частотами возможен уход тела вращения на бесконечность.

В этой работе мы развиваем эти качественные соображения и дополняем их компьютерным анализом. Мы также приводим различные типы траекторий, которые вычерчивает точка контакта в неподвижной и вращающейся системах координат, они имеют любопытную форму, которую сложно заранее предсказать. Подробно исследована и доказана компьютерным образом гипотеза об уходе при выполнении условий резонанса. Приведены наиболее общая трехмерная бифуркационная диаграмма в пространстве первых интегралов и полный атлас ее сечений различными плоскостями, построенные с помощью компьютерных вычислений.

В работе также мы приводим новый способ редукции задачи к одностепенной интегрируемой гамильтоновой системе и подробно обсуждаем гамильтоновость различных вариантов уравнений движения задачи.