Рассмотрим теперь систематическим образом аналогичные случаю плоскости ситуации, возникающие при качении тела по сфере. Прежде всего заметим, что кинематическое уравнение (1.3) можно переписать в виде
\[
\dot{\gamma}=\gamma \times \omega \mp k \dot{r}, \quad k=1 / R_{0},
\]

где знак «минус» берется для внутреннего обката (рис. 8 а), а «плюс» для внешнего (рис. 8 б).
Рис. 8

1. Качение тела вращения. Аналогично задавая тело вращения формулами (2.1) можно установить явный вид плотности инвариантной меры
\[
\begin{array}{c}
\rho\left(\gamma_{3}\right)=\rho_{0}\left(1-k f_{1}\right)^{3}\left(1-k f_{2}^{\prime}\right), \\
\rho_{0}=\left(I_{1} I_{3}+m(\boldsymbol{r}, \mathbf{I} \boldsymbol{r})\right)^{-1 / 2}=\left(I_{1} I_{3}+m I_{1} f_{1}^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+m I_{3} f_{2}^{2} \gamma_{3}^{2}\right)^{-1 / 2}
\end{array}
\]

и наличие поля симметрий $\boldsymbol{v}$ с оператором (2.4).
Приведенная система (2.13) в переменных типа (2.5)
\[
K_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r})\left(1-k f_{1}\right) f_{1}^{-1}, \quad K_{2}=\omega_{3} \rho_{0}^{-1},
\]

имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho_{0}} \frac{d K_{1}}{d \gamma_{3}}=-\left[I_{3}\left(1-\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime}\right)+k f_{1}\left(I_{1}-I_{3}\right)\left(1-k f_{2}^{\prime}\right)\right] K_{2}, \\
\frac{1-k f_{1}}{\rho_{0}} \frac{d K_{2}}{d \gamma_{3}}=-m f_{1}\left(f_{1}-f_{2}^{\prime}-k f_{1} f_{2}^{\prime}\right) K_{1}+ \\
+m k \rho_{0} I_{1} f_{1}^{2}\left(\gamma_{3} f_{2}^{\prime}+\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}\left(f_{1} \sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}\right)^{\prime}\right) K_{2} .
\end{array}
\]

Уравнения (3.3) в несколько иных переменных, связанных с полуподвижными осями были получены П.В.Воронцом [11], который переносил рассуждения Чаплыгина на случай сферы.

После интегрирования уравнений системы (3.3) зависимость от времени угла нутации $\theta=\arccos \left(\gamma_{3}\right)$ определяется из квадратуры для интеграла энергии
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} \frac{I_{1}+m \boldsymbol{r}^{2}}{1-\gamma_{3}^{2}} \dot{\gamma}_{3}^{2}+ \\
+\frac{1}{2 I_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)}\left(\frac{K_{1}^{2}}{\left(1-k f_{1}\right)^{2}}-\frac{I_{3}}{m f_{1}^{2}} K_{2}^{2}+\frac{m f_{2}^{2}}{I_{1}}\left(\frac{K_{1}}{1-k f_{1}}-\frac{K_{2}}{m \rho f_{1} f_{2}}\right)^{2}\right)+U\left(\gamma_{3}\right) .
\end{array}
\]

Для задачи о качении тела вращения на сфере можно, по аналогии со случаем плоскости, указать приведенную систему в переменных (2.5) и соответствующую пуассонову структуру. Мы не приводим соответствующие выкладки из-за их громоздкости.

Аналогично качению по плоскости, рассмотрим несколько частных случаев.

2. Круглый диск с, вообще говоря, смещенным вдоль оси симметрии центром масс, уже не приводит к гипергеометрическому уравнению, но система все же упрощается, меза при этом уже не является постоянной. Как и выше, $f_{1}, f_{2}$ задаются соотношениями (2.1), а плотность инвариантной меры имеет вид
\[
\rho=\rho_{0}\left(1-\frac{k R}{\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}}\right)^{3}, \quad \rho_{0}=\left(I_{1} I_{3}+m\left(I_{1} R^{2}+I_{3} a^{2}\right)\right)^{-1 / 2}=\mathrm{const},
\]

где $R$ – радиус диска, $a$ – смещение центра масс.
Уравнение второго порядка имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} \omega_{3}}{d \theta^{2}}+\operatorname{ctg} \theta\left(1-\frac{k R}{\sin \theta-k R}\right) \omega_{3}- \\
-\frac{\rho_{0}^{2} m R I_{3}}{1-\frac{k R}{\sin \theta}}\left(R+a \operatorname{ctg} \theta+\frac{k R^{2}\left(I_{1}-I_{3}\right)}{I_{3} \sin \theta}\right) \omega_{3}=0,
\end{array}
\]

где $\gamma_{3}=\cos \theta$.
Это уравнение в частном случае $I_{3}=2 I_{1}, a=0$ (однородный уравновешенный диск) было получено П. Воронцом [40], для $a=0$ оно было исследовано в [33] методами качественного анализа. В частности, была исследована устойчивость стационарных движений и вероятность падения диска на сферу, которая оказалась равной нулю. В работе [34] также показано, что в отличие от неголономной задачи, казалось бы более простая гамильтонова система, описывающая движение диска по сфере с полным (идеальным) проскальзыванием уже не является интегрируемой, а ее поведение обладает хаотическими свойствами. Этот результат связан с увеличением числа степеней свободы системы по сравнению со случаем плоскости, где указанная система интегрируема вследствие сохранения горизонтальной составляющей импульса.

3. Шар со смещенным центром. Функции $f_{1}, f_{2}$ также задаются соотношениями (2.1), для меры $\rho$ имеем такую же форму, как на плоскости:
\[
\rho=\left(I_{1} I_{3}+I_{1} m R^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+I_{3} m\left(R \gamma_{3}+a\right)^{2}\right)^{-1 / 2} .
\]

В переменных (3.2) уравнения (3.3) имеют вид
\[
\frac{1}{\rho} K_{1}^{\prime}=-k R\left(I_{1}-I_{3}\right)(1-k R) K_{2}, \quad \frac{1}{\rho} K_{2}^{\prime}=\frac{k m R^{3}}{1-k R} K_{1} .
\]
С их помощью находим два линейных по $K_{1}, K_{2}$ неалгебраических интеграла вида
\[
\begin{array}{c}
F_{2}=\left(\sqrt{m\left(I_{3}-I_{1}\right)} K_{2}+\frac{m R}{1-k R} K_{1}\right) e^{\lambda \tau}, \\
F_{3}=\left(\sqrt{m\left(I_{3}-I_{1}\right)} K_{2}-\frac{m R}{1-k R} K_{1}\right) e^{-\lambda \tau},
\end{array}
\]

где $\lambda^{2}=m k^{2} R^{4}\left(I_{3}-I_{1}\right), \tau=\int \rho_{0}\left(\gamma_{3}\right) d \gamma_{3}$, а также квадратичный алгебраический интеграл (зависимый с $F_{2}, F_{3}$ )
\[
F=F_{2} F_{3}=\frac{m R^{2}}{(1-k R)^{2}} K_{1}^{2}+\left(I_{1}-I_{3}\right) K_{2}^{2} .
\]

Интегралы $F_{2}, F_{3}$ являются новыми и обобщают интегралы Рауса и Желле (2.3). Интеграл (3.3) был найден А.С.Кулешовым [18]. Для шарового тензора инерции $I_{3}=I_{1}$ имеем
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r})=M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}+M_{3}\left(\gamma_{3}+\frac{a}{R}\right)=\mathrm{const}, \\
(1-k R) K_{2}-k m R^{3} K_{1} \int \rho\left(\gamma_{3}\right) d \gamma_{3}=\mathrm{const},
\end{array}
\]
т. е. $K_{1}$ совпадает с классическим интегралом Желле.

4. Динамически несимметричный уравновешенный шар на сфере. Кратко укажем на один интегрируемый случай, связанный с качением динамически несимметрического уравновешенного шара по сфеpe – аналог движения шара Чаплыгина на плоскости, (см. (2.1), (2.2)). Такая система описывается уравнениями
\[
\begin{array}{c}
\dot{M}=M \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\gamma}=k \gamma \times \boldsymbol{\omega}, \\
\boldsymbol{M}=(\mathbf{I}+D) \boldsymbol{\omega}-D \gamma(\boldsymbol{\omega}, \gamma),
\end{array}
\]

где $k=\frac{R}{R-a}$, $a$ – радиус шара, $m-$ его масса, $D=m a^{2}, R-$ радиус неподвижной сферы (см. рис. 9). (Для плоскости $R \rightarrow \infty$ и $k=1$.) Уравнения (3.1) всегда обладают интегралами
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}), \quad F_{1}=\gamma^{2}=1, \quad F_{2}=M^{2} .
\]

и инвариантной мерой с плотностью $\rho$ (2.2). Для полной интегрируемости не хватает еще одного интеграла (типа интеграла площадей при $k=1$ ). Он существует лишь при дополнительном условии $a=2 R$, найденным А.В.Борисовым в [7], которое соответствует внутреннему обкату неподвижного шара динамически несимметричной уравновешенной сферой (см. рис. 9). Этот интеграл имеет вид
\[
\begin{array}{c}
F=(\boldsymbol{M}, \overline{\mathbf{A}} \gamma), \\
\overline{\mathbf{A}}=\mathbf{E}-2(\operatorname{tr}(\mathbf{I}+D))^{-1}(\mathbf{I}+D)
\end{array}
\]

Рис. 9

и может быть обобщен на случай до-
бавления в (3.1) потенциала Бруна $U=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \gamma, \gamma)$ [7]. С помощью преобразования $\widetilde{\boldsymbol{M}}=\overline{\mathbf{A}} \boldsymbol{M}, \widetilde{\boldsymbol{\gamma}}=\gamma$ при условии $a=2 R$ уравнения (3.1) переводятся в уравнения, описывающие движение шара Чаплыгина по горизонтальной плоскости. При произвольном параметре $k$ и потенциале $U$ до сих пор не известна пуассонова структура уравнений (3.1), аналогичная указанной нами при $k=1$ в п. 25 (формула (2.3)).

5. Динамически несимметричный неуравновешенный шар на сфере. Здесь также существует один (и всего один) квадратичный интеграл, обобщающий соответствующий результат на плоскости. Для уравнений
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{\boldsymbol{M}} & =\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\omega}+m \dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}), \\
\dot{\boldsymbol{r}} & =\frac{1}{1-k R}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{\omega},
\end{aligned}\right.
\]

где $\boldsymbol{r}=R \boldsymbol{\gamma}+\boldsymbol{a}, \boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+m \boldsymbol{r} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})$.
Рис. 10

Он имеет в точности такой же вид
\[
F=M^{2}-m r^{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}) .
\]

Также отметим, что при $a
eq 0$, видимо, не существует инвариантной меры, а также неизвестны обобщения на случай добавления гиростата и поля задачи Бруна. При наличии осевой симметрии $I_{1}=I_{2}$ интеграл (3.2) был указан А.С.Кулешовым и именно знакомство с этим результатом побудило авторов к анализу динамически несимметричной ситуации.

6. Гиростатические обобщения. Кратко остановимся на интегрируемых гиростатических обобщениях. Так, для тела вращения для сохранения интегрируемости уравновешенный ротор с моментом $\boldsymbol{S}$ должен быть направлен вдоль оси динамической симметрии. В переменных (3.2) аналог системы (2.1) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho_{0}} K_{1}^{\prime}=-\left[I_{3}\left(1-\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime}\right)+k f_{1}\left(I_{1}-I_{3}\right)\left(1-k f_{2}^{\prime}\right)\right] K_{2}+ \\
+s \rho_{0}^{-1}\left(1-k f_{2}^{\prime}\right)\left(1-k f_{1}\right), \\
\frac{1-k f_{1}}{\rho_{0}} K_{2}^{\prime}=k m \rho_{0} I_{1} f_{1}^{2}\left[\gamma_{3} f_{2}^{\prime}+\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}\left(f_{1} \sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}\right)^{\prime}\right] K_{2}- \\
-m f_{1}\left(f_{1}-f_{2}^{\prime}-k f_{1} f_{2}^{\prime}\right) K_{1}-s m f_{1} f_{2}\left(1-k f_{2}^{\prime}\right)\left(1-k f_{1}\right),
\end{array}
\]

где $\rho_{0}$ задается соотношением (3.1), таким образом, линейная система является неоднородной.

Для случаев круглого диска интегралы и уравнения (3.1) не поддаются существенному упрощению. Для шара со смещенным цен$\operatorname{mром} f_{1}, f_{2}$ заданы соотношениями (2.2), уравнения (3.1) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho_{0}} K_{1}^{\prime}=-k R\left(I_{1}-I_{3}\right)(1-k R) K_{2}-\frac{1}{\rho_{0}} R(1-k R)^{2} s, \\
\frac{1}{\rho_{0}} K_{2}^{\prime}=\frac{m R^{3} k}{1-k R} K_{1}-m R(1-k R)\left(R \gamma_{3}+a\right) s .
\end{array}
\]

При этом первые интегралы не удается выписать с помощью элементарных функций.

В случае полной динамической симметрии $I_{1}=I_{3}$ с помощью уравнений (3.2) находим явный интеграл типа Желле
\[
F_{2}=K_{1}+(1-k R)^{2}\left(\gamma_{3}+\frac{a}{R}\right)=\left(\boldsymbol{M} R^{-1}+\boldsymbol{S}(1-k R), \boldsymbol{r}\right)(1-k R)=\text { const. }
\]

Выражая из этого интеграла $K_{1}$ и подставляя в первое из уравнений (3.2), получим явную квадратуру для $K_{1}\left(\gamma_{3}\right)$. Гиростатические обобщения интеграла (3.2) для несимметричного шара неизвестны.

7. Качение тела с плоским участком по сфере. Рассмотрим еще одну задачу, связанную с качением тела по сфере, которая не имеет своего аналога для случая плоскости. Речь идет об «обкате» внешней поверхности сферы телом, имеющим плоское основание (рис. 11). Эту задачу впервые рассматривал П. Воронец, который указал также интегрируемость при наличии осевой симметрии. Запишем уравнения. движения в связанной с телом системе координат и в отсутствии силового поля
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\omega}+m \dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}), \\
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+m \boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\gamma}),
\end{array}
\]

где $\mathbf{I}$ – центральный тензор инерции, $m$ – масса тела.
Рис. 11
Для плоского участка поверхности имеем $\boldsymbol{r}=\left(r_{1}, r_{2}, z\right), z=$ const, $\gamma=(0,0,1)$, где $r_{1}, r_{2}-$ координаты центра масс на плоском основаниии (см. рис. 11), для которых вследствие того, что $\dot{\gamma}=0$, из уравнения (1.3) находим
\[
\dot{r}_{1}=k^{-1} \omega_{2}, \quad \dot{r}_{2}=-k^{-1} \omega_{1}, \quad k=R^{-1} .
\]

Можно выделить два случая, когда уравнения (3.1), (3.2) обладают инвариантной мерой.
a) $z=0$ – центр масс лежит в плоскости контакта, а тензор инерции $\mathbf{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$ произволен. Для переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r}$ плотность инвариантной меры имеет вид
\[
\rho\left(\boldsymbol{M}, r_{1}, r_{2}\right)=\left(I_{3}+m \boldsymbol{r}^{2}\right)^{-1 / 2} .
\]

Ее также можно записать для уравнений в переменных $\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{r}_{1}, r_{2}$ :
\[
\rho\left(\boldsymbol{\omega}, r_{1}, r_{2}\right)=\left(I_{1} I_{2}+m(\boldsymbol{r}, \mathbf{I} \boldsymbol{r})\right)\left(I_{3}+m \boldsymbol{r}^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

ЗАмЕЧАНиЕ. В таком виде при дополнительном и несущественном ограничении $I_{3}=I_{1}+I_{2}$ (т. е. для случая плоской пластинки) инвариантная мера была указана В. А. Ярощук [28].

В рассматриваемом случае, кроме меры уравнения (3.1), (3.2) обладают также одним (и только одним при $I_{1}
eq I_{2}$ ) первым интегралом
\[
F=\boldsymbol{M}^{2}-2 m \boldsymbol{r}^{2} H, \quad H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}),
\]

не зависимым от интеграла энергии. Ранее он не был известен.

Кроме того, оказывается, что интеграл (3.5) без изменений переносится на случай $z
eq 0$, для которого мера не известна (и, видимо, не существует). Отметим, что аналогичная ситуация уже встречалась нам при качении динамически несимметричного неуравновешенного шара (см. п. 5). Отсутствие меры при $z
eq 0$ заведомо препятствует гамильтоновости. При $z
eq 0$, хотя мера и существует, система также, видимо, не является гамильтоновой – даже пссле соответствующей замены времени.
b) $I_{1}=I_{2}, z
eq 0$, т.е. центр масс лежит на оси динамической симметрии. В переменных $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r}$ ) плотность инвариантной меры имеет вид
\[
\rho=\left(I_{1} I_{3}+m(\boldsymbol{r}, \mathbf{I} \boldsymbol{r})\right)^{-1 / 2} .
\]

Эта система уже является интегрируемой. Действительно, в переменных
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r})=M_{1} r_{1}+M_{2} r_{2}+M_{3} r_{3}, \\
K_{2}=\frac{\omega_{3}}{\rho}=\frac{m z\left(M_{1} r_{1}+M_{2} r_{2}\right)+\left(I_{1}+m z^{2}\right) M_{3}}{\left.\sqrt{I_{1} I_{3}+m(\boldsymbol{r}, \mathbf{I} r}\right)}
\end{array}
\]

уравнения движения системы имеют линейную форму
\[
\begin{aligned}
\frac{d K_{1}}{d u} & =\frac{I_{1}-I_{3}}{2 R \sqrt{I_{3}\left(I_{1}+m z^{2}\right)+I_{1} m u}} K_{2}, \\
\frac{d K_{2}}{d u} & =\frac{m}{2 R \sqrt{I_{3}\left(I_{1}+m z^{2}\right)+I_{1} m u}} K_{1} .
\end{aligned}
\]

Как заметил П. Воронец в работе [38], их явное решение может быть получено в элементарных функциях. Это решение определяет два линейных по $M$ дополнительных первых интеграла.

Имеются два различных варианта для решения (3.7).
1) $I_{1}<I_{3}$.
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\sqrt{I_{1}-I_{3}}\left(-c_{1} \cos \varphi(u)+c_{2} \sin \varphi(u)\right) \\
K_{2}=\sqrt{m}\left(c_{1} \sin \varphi(u)+c_{2} \cos \varphi(u)\right) \\
\varphi^{2}=\frac{\left(I_{1}-I_{3}\right)\left(I_{1} I_{3}+I_{3} m z^{2}+I_{1} m u\right)}{I_{1}^{2} m R^{2}}, \quad c_{1}, c_{2}=\text { const. }
\end{array}
\]
2) $\boldsymbol{I}_{1}>\boldsymbol{I}_{3}$, Здесь необходимо заменить тригонометрические функции на гиперболические.

В этом случае имеется также простой, но зависимый квадратичный интеграл
\[
F=m K_{1}^{2}+\left(I_{1}-I_{3}\right) K_{2}^{2},
\]

который, очевидно, является частным случаем (3.5). Интеграл энергии можно представить в форме
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+U(\boldsymbol{r})=\frac{1}{8} \frac{I_{1}+m z^{2}+m u}{R^{2} u} \dot{u}^{2}+ \\
+\frac{1}{2 I_{1}^{2} u}\left(\left(I_{1}+m z^{2}\right) K_{1}^{2}+\left(I_{1} u+I_{3} z^{2}\right) K_{2}^{2}-\right. \\
\left.-\frac{z}{I_{1}^{2} u} \sqrt{I_{1} I_{3}+I_{3} m z^{2}+I_{1} m u} K_{1} K_{2}\right)+U(u),
\end{array}
\]

из которой после интегрирования системы (3.7) получается явная квадратура для $\dot{u}$.

Для осесимметричного случая можно добавить ротор вдоль оси динамической симметрии с моментом $\boldsymbol{S}=(0,0, s)$, при этом мера (3.6) сохраняется, уравнения (3.7) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
2 R \frac{d K_{1}}{d u}=\frac{I_{1}-I_{3}}{\sqrt{I_{3}\left(I_{1}+m z^{2}\right)+I_{1} m u}} K_{2}-s, \\
2 R \frac{d K_{2}}{d u}=-\frac{m\left(K_{1}+z s\right)}{\sqrt{I_{3}\left(I_{1}+m z^{2}\right)+I_{1} m u}} .
\end{array}
\]

Общее решение системы (3.11) представляется в виде суперпозиции решения однородного уравнения при $s=0$ (3.8) и частного решения неоднородного уравнения (3.11), которое имеет вид
\[
K_{1}^{(\text {part })}=\frac{s z\left(I_{3}+I_{1}(1+R / z)\right)}{I_{1}-I_{3}}, \quad K_{2}^{(\text {part })}=\frac{s \sqrt{I_{3}\left(I_{1}+m z^{2}\right)+I_{1} m u}}{I_{1}-I_{3}} .
\]

Соответственно, квадратичный интеграл (3.9) в этом случае представляется в виде
\[
F=m\left(K_{1}-K_{1}^{(\text {part })}\right)^{2}+\left(I_{1}-I_{3}\right)\left(K_{2}-K_{2}^{(\text {part })}\right)^{2} .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. Мы отметили в работе два нетривиальных случая несуществования одного квадратичного интеграла. Аналогичный интеграл имеется при

движении однородного шара по трехосному эллипсоиду. Происхождение таких интегралов связано с наличием аналогичных интегралов в осесимметричной ситуации, когда система полностью инте-рируема и имеется два линейных интеграла. Однако в общем случае зависимость от позиционных переменных в этих интегралах является сложной и дается спецфункциями. В трех найденных нами случаях линейные интегралы выражаются в элементарных функциях и из них легко образуется квадратичный интеграл, который представляет собой рациональную функцию. Этот интеграл и допускает обобщения на несимметричную ситуацию.