Следуя в основном С. А. Чаплыгину [26], приведем обобщения указанных задач на случай добавления равномерно вращающегося уравновешенного ротора. Соответствующая система может интерпретироваться как неголономный гиростат. Эффект гиростата может быть также достигнут при добавлении в тело многосвязных полостей, полностью заполненных идеальной несжимаемой жидкостью, обладающей ненулевой циркуляцией [5]. В описываемом случае уравнение для момента (1.1) может быть представлено в виде
\[
\dot{\boldsymbol{M}}=(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{S}) \times \boldsymbol{\omega}+m \dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})+\boldsymbol{M}_{Q},
\]

где $\boldsymbol{S}$ — постоянный трехмерный вектор гиростатического момента. Легко видеть, что добавление ротора не влияет на существование инвариантной меры с плотностью, зависящей от позиционных переменных $\gamma$.
a) Тело вращения. Для ротора с гиростатическим моментом $\boldsymbol{S}=$ $=(0,0, s)$, направленным вдоль оси вращения, уравнения типа (2.13) в переменных (2.5) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d K_{1}}{d \gamma_{3}}=-I_{3} \rho\left(1-\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime}\right) K_{2}-s, \\
\frac{d K_{2}}{d \gamma_{3}}=-m \rho f_{1}\left(\left(f_{1}-f_{2}^{\prime}\right) K_{1}+f_{2} s\right) .
\end{array}
\]

В менее удобной форме уравнения (2.1) были получены С.А.Чаплыгиным [26]. Плотность инвариантной меры также задается уравнением $(2.3)$.

Разберем последовательно обобщения случаев диска, эллипсоида и шара со смещенным центром, указанных ранее.

b) Круглый диск. Уравнение (2.3) переходит в следующее
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} \omega_{3}}{d \theta^{2}}-\operatorname{ctg} \theta \frac{d \omega_{3}}{d \theta}+m R I_{3}(R+a \operatorname{ctg} \theta) \rho^{2} \omega_{3}=\operatorname{sm} R \rho^{2}(R+a \operatorname{ctg} \theta), \\
\rho=\left(I_{1} I_{3}+I_{1} m R^{2}+I_{3} m a^{2}\right)^{-1 / 2},
\end{array}
\]

которое при $a=0$ сводится к, вообще говоря, неоднородному (при $s
eq 0$ ) гипергеометрическому уравнению.
с) Шар со смещенным центром масс. Здесь система (2.1) принимает вид
\[
\frac{d K_{1}}{d \gamma_{3}}=-s, \quad \frac{d K_{2}}{d \gamma_{3}}=-m \rho R\left(R \gamma_{3}+a\right) s,
\]

где $\rho$ задается соотношением (2.2). Сразу можно указать один интеграл, обобщающий интеграл Желле
\[
F=K_{1}+s \gamma_{3}=\text { const. }
\]

Второй интеграл, обобщающий интеграл Рауса (Чаплыгина), имеет более сложный неалгебраический вид
\[
-s\left\{\rho^{-1}-I_{1} \sqrt{\frac{m a^{2}}{I_{1}-I_{3}}} \operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{m}{I_{1}-I_{3}}} \rho\left(R \gamma_{3}\left(I_{1}-I_{3}\right)-a I_{3}\right)\right)\right\}=\text { const. }
\]

В интеграле (2.5) предполагается $I_{1}>I_{3}$. При $I_{1}<I_{3}$ в интеграле появляются гиперболические функции. Интеграл (2.5) явно был указан А.С.Кулешовым [18]. Он существенно упрощается при $I_{1}=I_{3}=\mu$ и имеет вид
\[
\rho^{-1}\left(3 \mu \omega_{3}-s \frac{\mu+m R^{2}-2 m a^{2}-m a R \gamma_{3}}{m a^{2}}\right)=\text { const. }
\]

Еще более простая форма получается для уравновешенного однородного шара $(a=0)$ :
\[
\omega_{3}+\frac{1}{2} \frac{m R^{2} \gamma_{3}^{2}}{\sqrt{\mu\left(\mu+m R^{2}\right)}}=\text { const. }
\]

Это простое интегрируемое обобщение было указано Д. К. Бобылевым [3] (некоторые дополнительные упрощения при явном интегрировании также заметил Н. Е. Жуковский [12]).

d) Динамически несимметричный шар. Наиболее общее гиростатическое обобщение для случая шара Чаплыгина было предложено А.П.Маркеевым [20]. Уравнения движения и интегралы можно представить в форме
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{M}}=(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{S}) \times \boldsymbol{\omega}, \quad \boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \\
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}), \quad F_{1}=\gamma^{2}=1, \\
F_{2}=(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{S}, \boldsymbol{M}+\boldsymbol{S}), \quad F_{3}=(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{S}, \boldsymbol{\gamma}),
\end{array}
\]

где $S$ — постоянный трехмерный вектор гиростатического момента. Отметим, что на систему (2.7) при $S
eq 0$ нам не удалось обобщить пуассонову структуру (2.3).