Следуя в основном С. А. Чаплыгину [26], приведем обобщения указанных задач на случай добавления равномерно вращающегося уравновешенного ротора. Соответствующая система может интерпретироваться как неголономный гиростат. Эффект гиростата может быть также достигнут при добавлении в тело многосвязных полостей, полностью заполненных идеальной несжимаемой жидкостью, обладающей ненулевой циркуляцией [5]. В описываемом случае уравнение для момента (1.1) может быть представлено в виде
$$\dot{\mathit{M}}=(\mathit{M}+\mathit{S})\times \mathit{\omega }+m\dot{\mathit{r}}\times (\mathit{\omega }\times \mathit{r})+{\mathit{M}}_Q,$$

где $\mathit{S}$ — постоянный трехмерный вектор гиростатического момента. Легко видеть, что добавление ротора не влияет на существование инвариантной меры с плотностью, зависящей от позиционных переменных $\gamma$.
a) Тело вращения. Для ротора с гиростатическим моментом $\mathit{S}=$ $=(0,0,s)$, направленным вдоль оси вращения, уравнения типа (2.13) в переменных (2.5) имеют вид
$$\begin{array}{c}\frac{d{K}_1}{d{\gamma }_3}=-I_3\rho (1-{\left(\frac{f_2}{f_1}\right)}^{\prime })K_2-s,\\ \frac{d{K}_2}{d{\gamma }_3}=-m\rho f_1((f_1-f_2^{\prime })K_1+f_{2}s).\end{array}$$

В менее удобной форме уравнения (2.1) были получены С.А.Чаплыгиным [26]. Плотность инвариантной меры также задается уравнением $(2.3)$.

Разберем последовательно обобщения случаев диска, эллипсоида и шара со смещенным центром, указанных ранее.

b) Круглый диск. Уравнение (2.3) переходит в следующее
$$\begin{array}{c}\frac{d^2{\omega }_3}{d{\theta }^2}-\mathrm{ctg}\theta \frac{d{\omega }_3}{d\theta }+mR{I}_3(R+a\mathrm{ctg}\theta ){\rho }^2{\omega }_3=\mathrm{sm}R{\rho }^2(R+a\mathrm{ctg}\theta ),\\ \rho ={(I_1{I}_3+I_{1}m{R}^2+I_{3}m{a}^2)}^{-1/2},\end{array}$$

которое при $a=0$ сводится к, вообще говоря, неоднородному (при $seq0$ ) гипергеометрическому уравнению.
с) Шар со смещенным центром масс. Здесь система (2.1) принимает вид
$$\frac{d{K}_1}{d{\gamma }_3}=-s,\frac{d{K}_2}{d{\gamma }_3}=-m\rho R(R{\gamma }_3+a)s,$$

где $\rho$ задается соотношением (2.2). Сразу можно указать один интеграл, обобщающий интеграл Желле
$$F=K_1+s{\gamma }_3=\text{ const. }$$

Второй интеграл, обобщающий интеграл Рауса (Чаплыгина), имеет более сложный неалгебраический вид
$$-s\{{\rho }^{-1}-I_1\sqrt{\frac{m{a}^2}{I_1-I_3}}\mathrm{arctg}\left(\sqrt{\frac{m}{I_1-I_3}}\rho (R{\gamma }_3(I_1-I_3)-a{I}_3)\right)\}=\text{ const. }$$

В интеграле (2.5) предполагается $I_1>I_3$. При $I_1<I_3$ в интеграле появляются гиперболические функции. Интеграл (2.5) явно был указан А.С.Кулешовым [18]. Он существенно упрощается при $I_1=I_3=\mu$ и имеет вид
$${\rho }^{-1}(3\mu {\omega }_3-s\frac{\mu +m{R}^2-2m{a}^2-maR{\gamma }_3}{m{a}^2})=\text{ const. }$$

Еще более простая форма получается для уравновешенного однородного шара $(a=0)$ :
$${\omega }_3+\frac{1}{2}\frac{m{R}^2{\gamma }_3^2}{\sqrt{\mu (\mu +m{R}^2)}}=\text{ const. }$$

Это простое интегрируемое обобщение было указано Д. К. Бобылевым [3] (некоторые дополнительные упрощения при явном интегрировании также заметил Н. Е. Жуковский [12]).

d) Динамически несимметричный шар. Наиболее общее гиростатическое обобщение для случая шара Чаплыгина было предложено А.П.Маркеевым [20]. Уравнения движения и интегралы можно представить в форме
$$\begin{array}{c}\dot{\mathit{M}}=(\mathit{M}+\mathit{S})\times \mathit{\omega },\mathit{\gamma }=\mathit{\gamma }\times \mathit{\omega },\\ H=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathit{\omega }),F_1={\gamma }^2=1,\\ F_2=(\mathit{M}+\mathit{S},\mathit{M}+\mathit{S}),F_3=(\mathit{M}+\mathit{S},\mathit{\gamma }),\end{array}$$

где $S$ — постоянный трехмерный вектор гиростатического момента. Отметим, что на систему (2.7) при $Seq0$ нам не удалось обобщить пуассонову структуру (2.3).