Главная > НЕГОЛОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (А.В.Борисов, И.С.Мамаев )
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Следуя в основном С. А. Чаплыгину [26], приведем обобщения указанных задач на случай добавления равномерно вращающегося уравновешенного ротора. Соответствующая система может интерпретироваться как неголономный гиростат. Эффект гиростата может быть также достигнут при добавлении в тело многосвязных полостей, полностью заполненных идеальной несжимаемой жидкостью, обладающей ненулевой циркуляцией [5]. В описываемом случае уравнение для момента (1.1) может быть представлено в виде
M˙=(M+S)×ω+mr˙×(ω×r)+MQ,

где S — постоянный трехмерный вектор гиростатического момента. Легко видеть, что добавление ротора не влияет на существование инвариантной меры с плотностью, зависящей от позиционных переменных γ.
a) Тело вращения. Для ротора с гиростатическим моментом S= =(0,0,s), направленным вдоль оси вращения, уравнения типа (2.13) в переменных (2.5) имеют вид
dK1dγ3=I3ρ(1(f2f1))K2s,dK2dγ3=mρf1((f1f2)K1+f2s).

В менее удобной форме уравнения (2.1) были получены С.А.Чаплыгиным [26]. Плотность инвариантной меры также задается уравнением (2.3).

Разберем последовательно обобщения случаев диска, эллипсоида и шара со смещенным центром, указанных ранее.

b) Круглый диск. Уравнение (2.3) переходит в следующее
d2ω3dθ2ctgθdω3dθ+mRI3(R+actgθ)ρ2ω3=smRρ2(R+actgθ),ρ=(I1I3+I1mR2+I3ma2)1/2,

которое при a=0 сводится к, вообще говоря, неоднородному (при seq0 ) гипергеометрическому уравнению.
с) Шар со смещенным центром масс. Здесь система (2.1) принимает вид
dK1dγ3=s,dK2dγ3=mρR(Rγ3+a)s,

где ρ задается соотношением (2.2). Сразу можно указать один интеграл, обобщающий интеграл Желле
F=K1+sγ3= const. 

Второй интеграл, обобщающий интеграл Рауса (Чаплыгина), имеет более сложный неалгебраический вид
s{ρ1I1ma2I1I3arctg(mI1I3ρ(Rγ3(I1I3)aI3))}= const. 

В интеграле (2.5) предполагается I1>I3. При I1<I3 в интеграле появляются гиперболические функции. Интеграл (2.5) явно был указан А.С.Кулешовым [18]. Он существенно упрощается при I1=I3=μ и имеет вид
ρ1(3μω3sμ+mR22ma2maRγ3ma2)= const. 

Еще более простая форма получается для уравновешенного однородного шара (a=0) :
ω3+12mR2γ32μ(μ+mR2)= const. 

Это простое интегрируемое обобщение было указано Д. К. Бобылевым [3] (некоторые дополнительные упрощения при явном интегрировании также заметил Н. Е. Жуковский [12]).

d) Динамически несимметричный шар. Наиболее общее гиростатическое обобщение для случая шара Чаплыгина было предложено А.П.Маркеевым [20]. Уравнения движения и интегралы можно представить в форме
M˙=(M+S)×ω,γ=γ×ω,H=12(M,ω),F1=γ2=1,F2=(M+S,M+S),F3=(M+S,γ),

где S — постоянный трехмерный вектор гиростатического момента. Отметим, что на систему (2.7) при Seq0 нам не удалось обобщить пуассонову структуру (2.3).

1
Оглавление
email@scask.ru