Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Следуя в основном С. А. Чаплыгину [26], приведем обобщения указанных задач на случай добавления равномерно вращающегося уравновешенного ротора. Соответствующая система может интерпретироваться как неголономный гиростат. Эффект гиростата может быть также достигнут при добавлении в тело многосвязных полостей, полностью заполненных идеальной несжимаемой жидкостью, обладающей ненулевой циркуляцией [5]. В описываемом случае уравнение для момента (1.1) может быть представлено в виде
где — постоянный трехмерный вектор гиростатического момента. Легко видеть, что добавление ротора не влияет на существование инвариантной меры с плотностью, зависящей от позиционных переменных .
a) Тело вращения. Для ротора с гиростатическим моментом , направленным вдоль оси вращения, уравнения типа (2.13) в переменных (2.5) имеют вид
В менее удобной форме уравнения (2.1) были получены С.А.Чаплыгиным [26]. Плотность инвариантной меры также задается уравнением .
Разберем последовательно обобщения случаев диска, эллипсоида и шара со смещенным центром, указанных ранее.
b) Круглый диск. Уравнение (2.3) переходит в следующее
которое при сводится к, вообще говоря, неоднородному (при ) гипергеометрическому уравнению.
с) Шар со смещенным центром масс. Здесь система (2.1) принимает вид
где задается соотношением (2.2). Сразу можно указать один интеграл, обобщающий интеграл Желле
Второй интеграл, обобщающий интеграл Рауса (Чаплыгина), имеет более сложный неалгебраический вид
В интеграле (2.5) предполагается . При в интеграле появляются гиперболические функции. Интеграл (2.5) явно был указан А.С.Кулешовым [18]. Он существенно упрощается при и имеет вид
Еще более простая форма получается для уравновешенного однородного шара :
Это простое интегрируемое обобщение было указано Д. К. Бобылевым [3] (некоторые дополнительные упрощения при явном интегрировании также заметил Н. Е. Жуковский [12]).
d) Динамически несимметричный шар. Наиболее общее гиростатическое обобщение для случая шара Чаплыгина было предложено А.П.Маркеевым [20]. Уравнения движения и интегралы можно представить в форме
где — постоянный трехмерный вектор гиростатического момента. Отметим, что на систему (2.7) при нам не удалось обобщить пуассонову структуру (2.3).