Будем считать, что векторное поле $\boldsymbol{v}(x)
eq 0$ является полем симметрии неголономной системы с лагранжианом $L(\dot{x}, x)$ и связями
\[
f_{1}(\dot{x}, x)=\ldots=f_{m}(\dot{x}, x)=0,
\]

если фазовый поток $g_{v}^{s}$ дифференциального уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=\boldsymbol{v}(x)
\]

сохраняет функции $L$ и $f_{1}, \ldots, f_{m}$.

Предложение 8. Фазовый поток поля симметрий переводит решения неголономной системы в решения той же системы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме о выпрямлении, в некоторых локальных координатах $x_{1}, \ldots, x_{n}$ фазовый поток $g_{v}^{s}$ является следующей однопараметрической группой:
\[
x_{1} \rightarrow x_{1}+s ; \quad x_{2} \rightarrow x_{2}, \ldots, x_{n} \rightarrow x_{n} .
\]

В этих переменных функции $L$ и $f_{i}$ не зависят от $x_{i}$, следовательно, уравнения движения тоже не содержат этой переменной. Отсюда вытекает заключение предложения 8 .

В случае интегрируемых связей полю симметрий отвечает линейный по скоростям первый интеграл уравнений движения. Для неголономных систем это не так.

Предложение 9. Если $g_{v}^{s}$ сохраняет лагранжиан и поле $v$ является полем возможных скоростей, то есть
\[
\frac{\partial f_{1}}{\partial \dot{x}} \boldsymbol{v}=\ldots=\frac{\partial f_{m}}{\partial \dot{x}} \boldsymbol{v}=0,
\]

то уравнения движения имеют первый интеграл
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} v=\text { const. }
\]

Это утверждение («теорема Нетер») обсуждается, например, в работе [6].

Теорема 4. Предположим, чпо уравнения движения (6.2) имеют $n-m$ первых интегралов $f_{m+1}, \ldots, f_{n}$. Если
1) в точках множества $E_{c}=\left\{f_{1}=\ldots=f_{m}=0, f_{m+1}=\right.$ $\left.=c_{m+1}, \ldots, f_{n}=c_{n}\right\}$ отличен от нуля якобиан
\[
\frac{\partial\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)}{\partial \dot{x}_{1}, \ldots, \dot{x}_{n}},
\]
2) существуют поля $v_{1}, \ldots, v_{n-1}$, линейно независимые во всех точках $E_{C}$ порождающие разрешимую алгебру Ли относительно операции коммутирования, фазовые потоки которых $g_{v_{i}}^{s}$ сохраняют функции $L$ и $f_{1}, \ldots, f_{n}$,
3) среди решений системы уравнений
\[
f_{1}=\ldots=f_{m}=0, \quad f_{m+1}=c_{m+1}, \ldots, \quad f_{n}=c_{n},
\]

нет векторов $\dot{x}=\sum \lambda_{s} \boldsymbol{v}_{s}(x), \lambda_{s} \in \mathbb{R}$, тогда решения уравнений (6.2) лежащие на $E_{c}$, находятся с помощью квадратур.

ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторых случаях наличие первых интегралов неголономных систем можно установить с помощью следующего наблюдения. Пусть $F(\dot{x}, x)$ – первый интеграл «свободной» голономной системы с лагранжианом $L$. Эта функция является интегралом неголономной системы с тем же лагранжианом $L$ и со связями $f_{1}=\ldots=f_{m}=0$ в том случае, если
\[
\left(\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{x}^{2}}\right)^{-1} \frac{\partial f_{s}}{\partial \dot{x}} \cdot \frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0, \quad 1 \leqslant s \leqslant m,
\]

когда $f_{1}=\ldots=f_{m}=0$. Это инвариантное условие выполнено для интеграла Клебша – Тиссерана в задаче Суслова (теорема 3). Кроме того, оно выполнено для интеграла энергии в случае однородных связей и для интеграла Нетер $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \cdot \boldsymbol{v}$, если поле $v$ является полем возможных скоростей (предложение 9).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 4. По теореме о неявных функциях из системы (7.1) найдем, что
\[
\dot{x}-v_{c}(x) \text {. }
\]

Согласно условиям 2 и 3 , во всех точках $x$ векторы $\boldsymbol{v}_{c}, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}$ линейно независимые. Фазовые потоки $g_{v_{i}}^{s}$ переводят решения уравнения (7.2) в решения того же уравнения (предложение 8). Для завершения доказательства осталось применить известную теорему Ли об интегрируемости в квадратурах систем дифференциальных уравнений (см., например, [18]).

В качестве иллюстративного примера рассмотрим задачу о скольжении уравновешенного конька по горизонтальному льду. Единицы длины, времени и массы можно подобрать так, чтобы лагранжиан принял следующий вид:
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)
\]

Здесь $x, y$ – координаты точки контакта, $z$ – угол поворота конька. Уравнение связи
\[
f=\dot{x} \sin z-\dot{y} \cos z=0 .
\]

Уравнения движения имеют два первых интеграла
\[
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}=h, \quad \dot{z}=c .
\]

Второй выводится из предложения 9 с помощью векторного поля $v_{3}=$ $=(0,0,1)$. Из (7.4) и (7.5) найдем поле $\boldsymbol{v}_{h, c}=\left(\sqrt{h-c^{2}} \cos z\right.$, $\left.\sqrt{h-c^{2}} \sin z, c\right)$. Поля $\boldsymbol{v}_{1}=(1,0,0)$ и $\boldsymbol{v}_{2}=(0,1,0)$ являются коммутирующими полями симметрии. Если $c
eq 0$, то векторы $\boldsymbol{v}_{h, c}, \boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ линейно независимы. Следовательно, в этом случае все условия теоремы 4 выполнены. Подчеркнем, что поля $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ не порождают законов сохранения.

Теорема 4 налагает жесткие ограничения на неголономную систему. Эти ограничения можно ослабить, заменив условие 2) на условие
2) для фиксированного $c=\left(c_{m+1}, \ldots, c_{h}\right)$ существуют $n-1$ линейно независимых полей $\boldsymbol{v}_{i}(x, c)$, порождающих разрешимую алгебру Ли и коммутирующих с полем $\boldsymbol{v}_{c}(x)$.

Добавим к лагранжиану (7.3) слагаемое $-x / 2$. Это означает, что мы поместили конек на наклонную плоскость. Уравнения (7.4)-(7.5) останутся справедливыми, если заменить $h$ на $h+x$. Тогда поле $\boldsymbol{v}_{h, c}$ станет равным
\[
\left(\sqrt{h-c^{2}+x} \cos z, \sqrt{h-c^{2}+x} \sin z, c\right) .
\]

При фиксированных значениях $h$ и $c
eq 0$ поля
\[
\boldsymbol{v}_{1}=\left(2 \sqrt{h-c^{2}+x},-(\cos z) / c, 0\right), \quad \boldsymbol{v}_{2}=(0,1,0)
\]

независимы с полем $\boldsymbol{v}_{h, c}$ и все их коммутаторы обращаются в нуль. Точно так же можно решить задачу о качении однородного диска по шероховатой плоскости, задачу о качении шара в вертикальной трубе и ряд других задач неголономной механики.