Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Будем считать, что векторное поле $\boldsymbol{v}(x) если фазовый поток $g_{v}^{s}$ дифференциального уравнения сохраняет функции $L$ и $f_{1}, \ldots, f_{m}$. Предложение 8. Фазовый поток поля симметрий переводит решения неголономной системы в решения той же системы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме о выпрямлении, в некоторых локальных координатах $x_{1}, \ldots, x_{n}$ фазовый поток $g_{v}^{s}$ является следующей однопараметрической группой: В этих переменных функции $L$ и $f_{i}$ не зависят от $x_{i}$, следовательно, уравнения движения тоже не содержат этой переменной. Отсюда вытекает заключение предложения 8 . В случае интегрируемых связей полю симметрий отвечает линейный по скоростям первый интеграл уравнений движения. Для неголономных систем это не так. Предложение 9. Если $g_{v}^{s}$ сохраняет лагранжиан и поле $v$ является полем возможных скоростей, то есть то уравнения движения имеют первый интеграл Это утверждение («теорема Нетер») обсуждается, например, в работе [6]. Теорема 4. Предположим, чпо уравнения движения (6.2) имеют $n-m$ первых интегралов $f_{m+1}, \ldots, f_{n}$. Если нет векторов $\dot{x}=\sum \lambda_{s} \boldsymbol{v}_{s}(x), \lambda_{s} \in \mathbb{R}$, тогда решения уравнений (6.2) лежащие на $E_{c}$, находятся с помощью квадратур. ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторых случаях наличие первых интегралов неголономных систем можно установить с помощью следующего наблюдения. Пусть $F(\dot{x}, x)$ — первый интеграл «свободной» голономной системы с лагранжианом $L$. Эта функция является интегралом неголономной системы с тем же лагранжианом $L$ и со связями $f_{1}=\ldots=f_{m}=0$ в том случае, если когда $f_{1}=\ldots=f_{m}=0$. Это инвариантное условие выполнено для интеграла Клебша — Тиссерана в задаче Суслова (теорема 3). Кроме того, оно выполнено для интеграла энергии в случае однородных связей и для интеграла Нетер $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \cdot \boldsymbol{v}$, если поле $v$ является полем возможных скоростей (предложение 9). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 4. По теореме о неявных функциях из системы (7.1) найдем, что Согласно условиям 2 и 3 , во всех точках $x$ векторы $\boldsymbol{v}_{c}, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n-1}$ линейно независимые. Фазовые потоки $g_{v_{i}}^{s}$ переводят решения уравнения (7.2) в решения того же уравнения (предложение 8). Для завершения доказательства осталось применить известную теорему Ли об интегрируемости в квадратурах систем дифференциальных уравнений (см., например, [18]). В качестве иллюстративного примера рассмотрим задачу о скольжении уравновешенного конька по горизонтальному льду. Единицы длины, времени и массы можно подобрать так, чтобы лагранжиан принял следующий вид: Здесь $x, y$ — координаты точки контакта, $z$ — угол поворота конька. Уравнение связи Уравнения движения имеют два первых интеграла Второй выводится из предложения 9 с помощью векторного поля $v_{3}=$ $=(0,0,1)$. Из (7.4) и (7.5) найдем поле $\boldsymbol{v}_{h, c}=\left(\sqrt{h-c^{2}} \cos z\right.$, $\left.\sqrt{h-c^{2}} \sin z, c\right)$. Поля $\boldsymbol{v}_{1}=(1,0,0)$ и $\boldsymbol{v}_{2}=(0,1,0)$ являются коммутирующими полями симметрии. Если $c Теорема 4 налагает жесткие ограничения на неголономную систему. Эти ограничения можно ослабить, заменив условие 2) на условие Добавим к лагранжиану (7.3) слагаемое $-x / 2$. Это означает, что мы поместили конек на наклонную плоскость. Уравнения (7.4)-(7.5) останутся справедливыми, если заменить $h$ на $h+x$. Тогда поле $\boldsymbol{v}_{h, c}$ станет равным При фиксированных значениях $h$ и $c независимы с полем $\boldsymbol{v}_{h, c}$ и все их коммутаторы обращаются в нуль. Точно так же можно решить задачу о качении однородного диска по шероховатой плоскости, задачу о качении шара в вертикальной трубе и ряд других задач неголономной механики.
|
1 |
Оглавление
|