Будем рассматривать движение произвольного твердого тела, заключенного жестко в сферическую оболочку, причем геометрический центр последней совпадает с центром масс обоих тел. Оболочка поддерживается произвольным количеством массивных динамически симметричных шаров. Центры шаров неподвижны в пространстве, скольжение в точках их контакта с оболочкой отсутствует (рис. 1).
Уравнения движения всей системы тел запишем в виде
\[
\begin{array}{c}
\Lambda \dot{\boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{\omega} \times \Lambda \boldsymbol{\omega}=\sum_{i=1}^{n} \gamma^{i} \times \boldsymbol{R}^{i}, \\
D_{i} \dot{\boldsymbol{\omega}}^{i}=\lambda_{i} \gamma^{i} \times \boldsymbol{R}^{i}, \quad i=1, \ldots, n .
\end{array}
\]
Рис. 1
Здесь $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость центрального тела, $\Lambda$ его тензор инерции в главных центральных осях, $\boldsymbol{\omega}^{i}, D_{i}$ – угловая скорость 1-го шара и его центральный момент инерции, $\lambda_{i}$ – его радиус, $\gamma^{i}=\left(\gamma_{1}^{i}, \gamma_{2}^{i}, \gamma_{3}^{i}\right)-$ неподвижный в пространстве единичный вектор, проведенный из центра $O$ в точку контакта с $i$-м шаром, $R^{i}$ – реакция в данной точке. Кроме того, выполнены неинтегрируемые соотношения
\[
\begin{array}{c}
-\lambda_{i} \boldsymbol{\omega}^{i}=\boldsymbol{\omega}-\left(\boldsymbol{\omega} \cdot \gamma^{i}\right) \gamma^{i}-c_{i} \gamma^{i}, \\
c_{i}=\lambda_{i}\left(\boldsymbol{\omega}^{i} \cdot \gamma^{i}\right)=\mathrm{const}, \quad i=1, \ldots, n,
\end{array}
\]
которые замыкают систему (1). С учетом этого первое уравнение системы (1) может быть представлено в форме
\[
\begin{array}{c}
\Lambda \dot{\boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{\omega} \times \Lambda \boldsymbol{\omega}=\Gamma \dot{\boldsymbol{\omega}}, \quad \Gamma=\sum_{k=1}^{n} \Gamma^{(k)} \\
\Gamma_{i j}^{(k)}=\left(\gamma_{i}^{k} \gamma_{j}^{k}-\delta_{i j}\right) D_{k} / \lambda_{k}^{2}, \quad k=1, \ldots, n ; \quad i, j=1,2,3 .
\end{array}
\]
Таким образом, $\Gamma$ – симметричная матрица, причем в случае $n=1$ будет справедливо $\operatorname{det} \Gamma
eq 0$.
В связанных с телом осях имеют место уравнения Пуассона
\[
\dot{\Gamma}=[\Gamma, \Omega], \quad \Omega_{i j}=\sum_{l=1}^{3} \varepsilon_{i j l} \omega_{l}, \quad \boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right),
\]
$\varepsilon_{i j l}-$ символ Леви-Чивита.
В дальнейшем нас будет интересовать только движение центрального тела. Очевидно, что ориентация последнего полностью определяется компонентами $\Gamma$.
Совокупность уравнений (2), (3) можно также представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{K}}=\boldsymbol{K} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \boldsymbol{K}=A \boldsymbol{\omega}, \quad A=\Lambda-\Gamma, \\
\dot{\Gamma}=[\Gamma, \Omega], \quad \boldsymbol{K}=\left(K_{1}, K_{2}, K_{3}\right) .
\end{array}
\]
Система (4) описывает движение по инерции некоторого «обобщенного» твердого тела, тензор инерции которого складывается из двух частей: левоинвариантной (т.е. неподвижной в теле) компоненты $\Lambda$ и правоинвариантной (неподвижной в пространстве) $\Gamma$.
Основное утверждение работы состоит в том, что система (4) является интегрируемой по теореме Якоби [1].
Действительно, имеются семь независимых первых интегралов данной системы:
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Tr} \Gamma=d_{1}, \quad \operatorname{Tr} \Gamma^{2}=d_{2}, \quad \operatorname{Tr} \Gamma^{3}=d_{3}, \quad \operatorname{Tr}\left(\widehat{K}^{2} \Gamma\right)=d_{4} \\
\operatorname{Tr}\left(\widehat{K}^{2} \Gamma^{2}\right)=d_{5}, \quad(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{K})=d_{6}, \quad(\boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{\omega})=d_{7} ; \\
\widehat{K}_{i j}=\sum_{l=1}^{3} \varepsilon_{i j l} K_{l} ; \quad i, j=1,2,3 ; \quad d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{7}=\text { const. }
\end{array}
\]
Для доказательства отметим, что уравнения (4) позволяют записать
\[
\frac{d}{d t}(\widehat{K}+\lambda \Gamma)=[\widehat{K}+\lambda \Gamma, \Omega], \quad \lambda=\text { const } \in \mathbb{C} .
\]
Поэтому для любого $m \in \mathbb{Z}$ справедливо $\operatorname{Tr}(\widehat{K}+\lambda \Gamma)^{m}=$ const и следы матриц, стоящих при различных степенях $\lambda$, также будут иметь постоянные значения [2]. Таким образом находятся первые шесть интегралов в (5). Их независимость, а также существование седьмого интеграла устанавливаются прямыми выкладками.
Наконец, система (4) обладает последним множителем Якоби $\mu=$ $=\sqrt{\operatorname{det} A}$. Чтобы показать это, найдем выражение для дивергенции $\Delta$ правых частей (4). Очевидно, что
\[
\Delta=\sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \dot{\omega}_{i}}{\partial \omega_{i}}
\]
Воспользуемся далее матрицами вида
\[
\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial \boldsymbol{\omega}}, \quad \boldsymbol{V}=\left(V_{1}, V_{2}, V_{3}\right), \quad \text { где } \quad\left(\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial \boldsymbol{\omega}}\right)_{i, j}=\frac{\partial V_{i}}{\partial \omega_{j}} ; \quad i, j=1,2,3 .
\]
Следствием первого уравнения (4) будет соотношение
\[
A \frac{\partial \dot{\boldsymbol{\omega}}}{\partial \boldsymbol{\omega}}=U, \quad U=\frac{\partial(\Lambda \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\omega})}{\partial \boldsymbol{\omega}},
\]
и, таким образом,
\[
\Delta=\operatorname{Tr}\left(A^{-1} U\right) .
\]
Поскольку матрица $A^{-1}$, как и $A$, симметрична, кососимметрическая часть $U$ не дает вклада в значение $\Delta$. Для симметрической части $U$ имеем
\[
U^{+}=\frac{1}{2}\left(U+U^{T}\right)=\frac{1}{2}[\Lambda, \Omega] .
\]
Воспользовавшись теоремой Кэли-Гамильтона [3], найдем, что
\[
A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left[A^{2}-(\operatorname{Tr} A) A\right]+\operatorname{Tr}\left(A^{-1}\right) E .
\]
Отсюда следует
\[
\operatorname{Tr}\left(A^{-1}\right)=-\frac{1}{2 \operatorname{det} A}\left[\operatorname{Tr}\left(A^{2}\right)-(\operatorname{Tr} A)^{2}\right] .
\]
Далее формулы (8) и (9) дадут
\[
3 \operatorname{det} A=\operatorname{Tr}\left[A^{3}-A^{2}(\operatorname{Tr} A)-\left(\operatorname{Tr}\left(A^{2}\right)-(\operatorname{Tr} A)^{2}\right) A / 2\right] .
\]
В результате с учетом второго уравнения (4) получим
\[
\frac{d}{d t}(\operatorname{det} A)=\operatorname{Tr}\left[\left(A^{2}-(\operatorname{Tr} A) A\right)[\Omega, \Lambda]\right]
\]
и в силу (6), (7), (8), а также очевидного свойства $\operatorname{Tr} U=0$ будем иметь
\[
\Delta=-\frac{1}{2} \frac{(\operatorname{det} A)}{\operatorname{det} A} .
\]
Поэтому $\sqrt{\operatorname{det} A}$ удовлетворяет уравнению на последний множитель:
\[
\dot{\mu}+\mu \Delta=0 .
\]
В заключение отметим, что при наличии только одного шара ( $n=1$ ) уравнения (4) формально совпадают с системой, описывающей качение без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости шара единичного радиуса с тензором инерции $\Lambda^{0}[4$, с. $76-101]$. При этом величина $D_{1} / \lambda_{1}^{2}$ в (2) приравнивается массе катящегося шара.
