Предположим, что в задаче Чаплыгина имеется дополнительная связь, вынуждающая шар катиться по прямой (например, поставлены вертикальные абсолютно гладкие стенки, рис. 3). В этом случае уравнения движения можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\dot{M} & =\boldsymbol{M} \times \mathrm{A} M+\lambda_{1} N_{1}+\lambda_{2} N_{2}, & \dot{p} & =\lambda_{2}, \\
\dot{N}_{1} & =N_{1} \times \mathrm{A} M, & \dot{N}_{2} & =\boldsymbol{N}_{2} \times \mathbf{A} \boldsymbol{M},
\end{aligned}
\]

где орты $\boldsymbol{N}_{1}, \boldsymbol{N}_{2}$ показаны на рис. $3, p=m v-$ величина импульса, $\mathbf{I}=\mathbf{A}^{-1}$ – центральный тензор инерции. Величины $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ находятся из условий связи
\[
\left(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}_{1}\right)=0, \quad\left(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}_{2}\right)+\frac{1}{m} p=0,
\]

наряду с которыми система обладает следующими интегралами:
\[
\begin{array}{c}
F_{1}=\frac{1}{2 m} p_{2}+\frac{1}{2}(\mathrm{~A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})-\text { энергии, } \\
F_{2}=\boldsymbol{N}_{1}^{2}=1, F_{3}=\boldsymbol{N}_{2}^{2}=1, F_{4}=\left(\boldsymbol{N}_{1}, \boldsymbol{N}_{2}\right)-\text { геометрические, } \\
F_{5}=\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}_{1} \times \boldsymbol{N}_{2}\right)-\text { типа площадей, } \\
F_{6}=\boldsymbol{M}^{2}+p^{2}-2 p\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}_{2}\right)-\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}_{1}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Рис. 3. Качение шара по прямой (А. П. Веселов, Л. Е. Веселова).

Наличие интегрирующего множителя вида
\[
N=\sqrt{\left(\mathrm{A} \boldsymbol{N}_{1}, \boldsymbol{N}_{1}\right)\left(\mathrm{A} \boldsymbol{N}_{2}, \boldsymbol{N}_{2}\right)-\left(\mathrm{A} \boldsymbol{N}_{1}, \boldsymbol{N}_{2}\right)^{2}+\frac{1}{m}\left(\mathrm{~A} \boldsymbol{N}_{1}, \boldsymbol{N}_{1}\right)}
\]

позволяет проинтегрировать задачу по теореме Эйлера – Якоби.