Следуя Г.К.Суслову ([11], гл.53), рассмотрим задачу о вращении вокруг неподвижной точки твердого тела с неинтегрируемой связью $\langle\boldsymbol{a}, \omega\rangle=0$, где $\boldsymbol{a}$ – вектор, постоянный в подвижном пространстве. Пусть тело вращается в осесимметрическом силовом поле с потенциалом $V(\gamma)$. Следуя методу множителей Лагранжа, запишем уравнения движения ([11], гл. 46)
\[
\mathbf{I} \dot{\omega}+\omega \times \mathbf{I} \omega=\gamma \times V^{\prime}{ }_{\gamma}+\lambda \boldsymbol{a}, \quad \dot{\gamma}+\omega \times \gamma=0, \quad\langle\boldsymbol{a}, \omega\rangle=0 .
\]

Используя уравнение связи $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\omega}\rangle=0$, множитель Лагранжа можно найти как функцию от $\omega$ и $\gamma$
\[
\lambda=-\left\langle\boldsymbol{a}, I^{-1}(\mathbf{I} \omega \times \omega)+I^{-1}\left(\gamma \times V^{\prime \prime}\right)\right\rangle /\left\langle\boldsymbol{a}, I^{-1} \boldsymbol{a}\right\rangle .
\]

Уравнения (5.1) всегда имеют три независимых интеграла:
\[
F_{1}=\langle\mathbf{I} \omega, \omega\rangle / 2+V(\gamma), \quad F_{2}=\langle\gamma, \gamma\rangle, \quad F_{3}=\langle\boldsymbol{a}, \omega\rangle .
\]

Для реальных движений $F_{2}=1, F_{3}=0$. Таким образом, задача интегрирования уравнений (5.1) сводится к нахождению инвариантной меры (ее существование вовсе не очевидно) и четвертого независимого интеграла.

Предложение 5. Если вектор а является собственным вектором оператора I, то фазовый поток системы (5.1) сохраняет «стандартную» меру в $\mathbb{R}^{6}=\mathbb{R}^{3}\{\omega\} \times \mathbb{R}^{3}\{\gamma\}$.

Доказательство состоит в непосредственной проверке следующего факта: дивергенция правой части слстемы (5.1) равна нулю, когда $\mathbf{I} \boldsymbol{a}=$ $=\mu a$.

Г. К. Суслов рассмотрел частный случай задачи, когда на твердое тело не действуют внешние силы: $V \equiv 0$. В этом случае первое уравнение сисгемы (5.1) является замкнутым относительно $\omega$. Можно показать, что оно интегрируется з квадратурах (см. [11], гл. 53). Анализ этих квадратур показывает, что если вектор $\boldsymbol{a}$ не является собственным вектором оператора инерции, то все траектории $\omega(t)$ при $t \rightarrow$ $\pm \infty$ асимптотически приближаются к некоторой прямой на плоскости $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\omega}\rangle=0$ (см. рис. 1). Следовательно, уравнение для $\omega$ и полная система не имеют инвариантной меры с непрерывной плотностью. В этом случае теорема 1 не применима и в связи с этим остается открытым вопрос о возможности отыскания вектора $\gamma(t)$ с помощью квадратур. Если же $\mathbf{I} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{a}$, то уравнения (5.1) имеют дополнительный интеграл
\[
F_{4}=\langle\mathrm{I} \omega, \mathbf{I} \omega\rangle:
\]

сохраняется величина кинетического момента. По теореме 1 уравнения (5.1) интегрируемы. Впрочем, эту возможность легко реализовать непосредственно. По-видимому, и в самом общем случае наличие инвариантной меры связано с условием предложения 5: $\mathbf{I} \boldsymbol{a}=\mu \boldsymbol{a}$. Это условие в дальнейшем предполагается выполненным.

Предположим теперь, что тело вращается в однородном силовом поле: $V=\langle\boldsymbol{b}, \gamma\rangle$. Если $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0$, то уравнения (5.1) допускают интеграл
\[
F_{4}=\langle\mathbf{I} \omega, \boldsymbol{b}\rangle
\]

и, следовательно, интегрируются в квадратурах. Этот случай отмечен Е.И.Харламовой в работе [12]. Мы рассмотрим «противоположный» случай, когда $\boldsymbol{b}=\varepsilon \boldsymbol{a}, \varepsilon
eq 0$. Без ущерба общности можно считать, что вектор $\boldsymbol{a}$ имеет компоненты $(0,0,1)$. Два первых уравнения (5.1) с учетом уравнения $\omega_{3}=0$ будут иметь следующий вид:
\[
I_{1} \dot{\omega}_{1}=\varepsilon \gamma_{2}, \quad I_{2} \dot{\omega}_{2}=-\varepsilon \gamma_{1} ; \quad \omega=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right) .
\]

Откуда $I_{1} \ddot{\omega}_{1}=\varepsilon \dot{\gamma}_{2}, I_{2} \ddot{\omega}_{2}=-\varepsilon \dot{\gamma}_{1}$. С помощью уравнений Пуассона $\dot{\gamma}_{1}=$ $=-\omega_{2} \gamma_{3}, \dot{\gamma}_{3}=\omega_{1} \gamma_{3}$ получим, что
\[
I_{1} \ddot{\omega}_{1}=\varepsilon \gamma_{3} \omega_{1}, \quad I_{2} \ddot{\omega}_{2}=\varepsilon \gamma_{2} \omega_{2} .
\]

Интеграл энергии
\[
\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}\right) / 2+\varepsilon \gamma_{3}=h
\]

позволяет выразить $\gamma_{3}$ через $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. После этого уравнения (5.2) можно переписать в виде уравнений Лагранжа
\[
\begin{array}{c}
I_{i}^{2} \ddot{\omega}_{i}=\frac{\partial V}{\partial \omega_{i}} \Leftrightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\omega}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial \omega_{i}} \quad(i=1,2), \\
L=T-V, \quad T=\frac{I_{1}^{2} \dot{\omega}_{1}^{2}+I_{2}^{2} \dot{\omega}_{2}}{2}, \quad V=\frac{1}{2}\left(h-\frac{I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}}{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Эти уравнения имеют интеграл энергии $T+V$, постоянная которого для реальных движений равна $\varepsilon^{2} / 2$. Подчеркнем, что, в отличие от теории приводящего множителя, наше приведение уравнений (5.1) к уравнениям Лагранжа (или Гамильтона) не использует замену времени (ср. с [11]).

Замена $I_{i} \omega_{i}=k_{i}$, соответствующая переходу от угловой скорости к кинетическому моменту, сводит рассматриваемую задачу о вращении твердого тела к задаче о движении материальной точки в потенциальном силовом поле
\[
\ddot{k}_{i}=-\frac{\partial V}{\partial k_{i}} \quad(i=1,2), \quad V=\frac{1}{2}\left(h-\frac{k_{1}^{2} I_{1}^{-1}+k_{2}^{2} I_{2}^{-1}}{2}\right)^{2} .
\]

При $I_{1}=I_{2}$ будем иметь движение точки в центральном поле. Ему отвечает известный интегрируемый «случай Лагранжа» обобщенной задачи Г. К. Суслова. Так же, как и в классической задаче Лагранжа о тяжелом симметричном волчке, в этом случае уравнения движения интегрируемы в эллиптических функциях времени. Если $I_{1}
eq I_{2}$, то, по-видимому, уравнения не имеют дополнительного аналитического интеграла, независимого от интеграла энергии. В пользу этого предположения свидетельствует следующее наблюдение. Положим формально $I_{1}=-I_{2}=1$. Тогда при $h=0$ уравнения (5.3) будут фактически совпадать с уравнениями однородной двухкомпонентной модели Янга-Миллса, неинтегрируемость которых установлена в [14].

При фиксированном значении $h$ точка движется в области, определяемой неравенством $V \leqslant \varepsilon^{2} / 2$. Эти области при разных значениях $h$ изображены на рис. 2. Особо выделены траектории либрационных движений, когда одна из компонент $k_{1}$ или $k_{2}$ обращается в нуль. Эти движения выражены через эллиптические функции времени.
Еще один случай интегрируемости уравнений (5.1) дает
Теорема 3. Пусть $\mathbf{I} \boldsymbol{a}=\mu \boldsymbol{a}$ и потенциал $V(\gamma)$ задан формулой (4.1). Тогда уравнения (5.1) интегрируются в квадратурах.
ДоКАЗАТЕЛьство. Покажем, что уравнения (5.1) имеют интеграл

Рис. 2
Клебша-Тиссерана
\[
F_{4}=\frac{1}{2}\langle\mathbf{I} \omega, \mathbf{I} \omega\rangle-\frac{1}{2}\langle A \gamma, \gamma\rangle, \quad A=\varepsilon \mathbf{I}^{-1} \operatorname{det} \mathbf{I} .
\]

Действительно,
\[
\begin{array}{l}
F_{4}=\langle\mathbf{I} \omega, \gamma \times \varepsilon \mathbf{I} \gamma\rangle+\lambda\langle\boldsymbol{a}, \mathbf{I} \omega\rangle+\langle A \gamma, \omega \times \gamma\rangle= \\
=\langle\omega, \mathbf{I}(\gamma \times \varepsilon \mathbf{I} \gamma)\rangle+\lambda \mu\langle\boldsymbol{a}, \omega\rangle+\langle\omega, \gamma \times A \gamma\rangle= \\
\quad=\langle\omega, \mathbf{I}(\gamma \times \varepsilon \mathbf{I} \gamma)+\gamma \times A \gamma\rangle=0,
\end{array}
\]

поскольку $\mathbf{I}(\gamma \times \mathbf{I} \gamma)=-\left(\gamma \times \mathbf{I}^{-1} \gamma\right) \operatorname{det} \mathbf{I}$. Для завершения доказательства осталось учесть заключение предложения 5 и воспользоваться теоремой 1 .

Покажем, как можно проинтегрировать уравнения (5.1) в явном виде. Пусть, для определенности, $\boldsymbol{a}=(0,0,1)$ и $\varepsilon>0, I_{3} \geqslant I_{1}, I_{3} \geqslant I_{2}$. Тогда уравнения (5.1) можно представить в виде следующей замкнутой системы из четырех дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
I_{1} \dot{\omega}_{1}=\varepsilon\left(I_{1}-I_{2}\right) \gamma_{2} \gamma_{3}, \quad I_{2} \dot{\omega}_{2}=\varepsilon\left(I_{3}-I_{1}\right) \gamma_{1} \gamma_{3}, \\
\dot{\gamma}_{1}=-\omega_{2} \gamma_{3}, \quad \dot{\gamma}_{2}=\omega_{1} \gamma_{3}, \quad \gamma_{3}^{2}=1-\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2} .
\end{array}
\]

Введем новое время $\tau$ по формуле $d \tau=\gamma_{3} d t$ и обозначим штрихом дифференцирование по $\tau$. Тогда уравнения движения примут вид линейной системы с постоянными коэффициентами
\[
\begin{array}{ll}
I_{1} \omega_{1}^{\prime}=\varepsilon\left(I_{2}-I_{3}\right) \gamma_{2}, & \gamma_{2}^{\prime}=\omega_{1}, \\
I_{2} \omega_{2}^{\prime}=\varepsilon\left(I_{3}-I_{1}\right) \gamma_{1}, & \gamma_{1}^{\prime}=-\omega_{2} .
\end{array}
\]

Их можно представить в эквивалентной форме
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}^{\prime \prime}+\lambda_{1}^{2} \gamma_{1}=0, \quad \gamma_{2}^{\prime \prime}+\lambda_{2}^{2} \gamma_{2}=0 \\
\lambda_{1}^{2}=\varepsilon\left(I_{3}-I_{1}\right) / I_{2}, \quad \lambda_{2}^{2}=\left(I_{3}-I_{2}\right) / I_{1} .
\end{array}
\]

Положим
\[
\varphi_{1}=-\operatorname{arctg} \frac{\lambda_{1} \gamma_{1}}{\omega_{2}}, \quad \varphi_{2}=\operatorname{arctg} \frac{\lambda_{2} \gamma_{2}}{\omega_{1}} .
\]

Эти переменные являются угловыми координатами на двумерных инвариантных торах, причем
\[
\varphi_{1}^{\prime}=\lambda_{1}, \quad \varphi_{2}^{\prime}=\lambda_{2} .
\]

Следовательно,
\[
\dot{\varphi}_{1}=\lambda_{1} / \Phi, \quad \dot{\varphi}_{2}=\lambda_{2} / \Phi ; \quad \Phi=\left(1-c_{1}^{2} \sin ^{2} \varphi_{1}-c_{2}^{2} \sin ^{2} \varphi_{2}\right)^{-1 / 2} .
\]

Постоянные $c_{1}$ и $c_{2}\left(c_{1}^{2}+c_{2}^{2} \leqslant 1\right)$ можно выразить как функции от постоянных интегралов энергии и Клебша-Тиссерана. Удивительная особенность этой задачи заключается в том, что отношение частот $\lambda_{1} / \lambda_{2}$ не зависит от начальных данных, а зависит лишь от постоянных параметров задачи. Следовательно, если число
\[
\sqrt{\frac{\left(I_{3}-I_{1}\right) I_{1}}{\left(I_{3}-I_{2}\right) I_{2}}}
\]

рационально, то все решения периодичны; в противном случае практически все траектории незамкнуты (кроме вырожденных движений, когда $\gamma_{1} \equiv 0$ или $\gamma_{2} \equiv 0$ ). Пусть $\varphi_{s}(0)=a_{s}$. Тогда
\[
t=\int_{0}^{\tau} \frac{d x}{\sqrt{1-c_{1}^{2} \sin ^{2}\left(\lambda_{1} x+a_{1}\right)-c_{2}^{2} \sin ^{2}\left(\lambda_{2} x+a_{2}\right)}} .
\]

Если $c_{1}=0$ (или $c_{2}=0$ ), то $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ (следовательно, $\omega_{1}, \omega_{2}$ и $\gamma_{3}$ ) являются эллиптическими функциями времени. Этот же вывод справедлив и в случае $\lambda_{1}=\lambda_{2}$ (т.е. когда $I_{1}=I_{2}$ или $I_{3}=I_{1}+I_{2}$ ) при всех $c_{1}, c_{2}$. В самом общем случае аналитическая природа решений существенно сложнее. Отметим в заключение, что в этой задаче ряд (2.5) расходится, если иррациональное отношение $\lambda_{1} / \lambda_{2}$ аномально быстро приближается рациональными числами.

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнения (5.1) интегрируемы и для потенциалов более общего вида
\[
V(\gamma)=\frac{1}{2}\left(c_{11} \gamma_{1}^{2}+c_{22} \gamma_{2}^{2}+c_{33} \gamma_{3}^{2}+2 c_{12} \gamma_{1} \gamma_{2}\right)
\]

Заменой времени $d \tau=\gamma_{3} d t$ уравнения движения приводятся к линейной системе
\[
I_{2} \gamma^{\prime \prime}{ }_{1}=-\frac{\partial \tilde{V}}{\partial \gamma_{1}}, \quad I_{1} \gamma^{\prime \prime}{ }_{2}=-\frac{\partial V}{\partial \gamma_{2}} ; \quad \tilde{V}=\left.V\right|_{\gamma_{3}^{2}=1-\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2}} .
\]

В общем случае потенциалу $V$ трудно дать простую физическую интерпретацию.