Остановимся на различных симметриях (инволюциях) системы (2) и соответствующих им симметриях трехмерного отображения.

Свойство обратимости.

Система (2) инвариантна относительно преобразования
\[
\gamma \rightarrow \gamma, \quad \boldsymbol{\omega} \rightarrow-\boldsymbol{\omega}, \quad t \rightarrow-t .
\]

Для определенного выше сечения при $g_{0}=0$ преобразование (10) задает следующую инволюцию
\[
l^{\prime}=\pi-l, \quad\left(\frac{L}{G}\right)^{\prime}=-\frac{L}{G}, \quad\left(\frac{H}{G}\right)^{\prime}=-\frac{H}{G}, \quad \mathscr{F}^{\prime}=\mathscr{F}^{-1},
\]

где через $\mathscr{F}^{-1}$ обозначено обратнсе отображение (9). Основные следствия обратимости следующие.

1. Вблизи неподвижных точек инволюции, т. е. вблизи положений равновесия $\boldsymbol{\omega}=0$, применима КАМ-теория. Нелинейный анализ вблизи устойчивых положений равновесия выполнен А.П.Маркеевым [7] и более подробно обсуждается ниже.
2. Неподвижные точки отображения $\mathscr{F}$ (т.е. периодические траектории системы (2)), не инвариантные относительно инволюции (10) встречается парами, причем их мультипликаторы равны по модулю и имеют противоположные знаки. Таким образом, если система (2) имеет притягивающее множество при $t \rightarrow+\infty$, то оно имеет аналогичное симметричное притягивающее множество при $t \rightarrow-\infty$.

Если тело обладает дополнительными геометрическими и динамическими симметриями, то уравнения (2) могут допускать другие инволюции.

Симметрия относительно поворота осей.
Если главная геометрическая ось $e_{3}$ совпадает с главной осью инерции (две оставшиеся могут быть повернуты вокруг нее на угол $\delta$ по отношению к динамическим осям) то уравнения (2) допускают поворот осей $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ на угол $\pi$ вокруг оси $e_{3}$, т. е. остаются инвариантными относительно преобразования
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1} \rightarrow-\omega_{1}, \quad \omega_{2} \rightarrow-\omega_{2}, \quad \omega_{3} \rightarrow \omega_{3}, \\
\gamma_{1} \rightarrow-\gamma_{1}, \quad \gamma_{2} \rightarrow-\gamma_{2}, \quad \gamma_{3} \rightarrow \gamma_{3} . \\
\end{array}
\]

Для отображения $x_{n+1}=\mathscr{F}\left(x_{n}\right)$ этому преобразованию соответствует симметрия
\[
l^{\prime}=l-\pi, \quad\left(\frac{L}{G}\right)^{\prime}=\frac{L}{G}, \quad\left(\frac{H}{G}\right)^{\prime}=\frac{H}{G} .
\]

Как следствие, отображение $\mathscr{F}$ симметрично относительно плоскости $l=\pi$, а все неподвижные точки, не принадлежацие этой плоскости, спарены.

Симметрия относительно плоскости.
Если, например, у эллипсоида геометрическая и динамическая оси $e_{3}$ совпадают, то уравнения (2) инвариантны при отражении относительно плоскости $e_{1} e_{2}$ и последующей замены времени, т.е.
\[
\begin{array}{c}
\omega_{1} \rightarrow \omega_{1}, \quad \omega_{2} \rightarrow \omega_{2}, \quad \omega_{3} \rightarrow-\omega_{3}, \\
\gamma_{1} \rightarrow \gamma_{1}, \quad \gamma_{2} \rightarrow \gamma_{2}, \quad \gamma_{3} \rightarrow-\gamma_{3}, \quad t \rightarrow-t .
\end{array}
\]

Трехмерное отображение при этом становится инвариантным относительно инволюции $\mathscr{F}$ :
\[
l^{\prime}=l, \quad\left(\frac{L}{G}\right)^{\prime}=-\left(\frac{L}{G}\right), \quad\left(\frac{H}{G}\right)^{\prime}=\frac{H}{G}, \quad \mathscr{F}^{\prime}=\mathscr{F}^{-1} .
\]

Докажем следующее простое утверждение:
для неподвижных точек отображения $\mathscr{F}$ одно собственное число равно 1, а произведение двух других также равно 1.

Действительно, если обозначить матрицу линейного преобразования координат (12) через $\sigma=\operatorname{diag}(1,-1,1)$, а матрицу линеаризации отображения $\mathscr{F}$ вблизи неподвижной точки через $\mathbf{A}$, из условия инвариантности (12) следует
\[
\mathbf{A}=\sigma \mathbf{A}^{-1} \sigma
\]

а также $\operatorname{det} \mathbf{A}=\operatorname{det} \mathbf{A}^{-1}=1, a=\operatorname{Tr} \mathbf{A}=\operatorname{Tr} \mathbf{A}^{-1}$. Для характеристического полинома матрицы $\mathbf{A}$ имеем
\[
\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}+(1-a) \lambda+1\right) .
\]

Появление единичного собственного значения связано с вырождением неподвижных точек, которые лежат в плоскости $L=0$ (см. рис. 9). Если два оставшиеся мультипликатора будут иметь ненулевые мнимые части, то вблизи этих точек имеются замкнутые инвариантные кривые.

Аналогичным образом может быть рассмотрен случай, при котором все динамические и геометрические оси совпадают (см. далее). Здесь имеются еще две плоскости симметрии и инвариантные кривые существуют вблизи вертикальных вращений, которые оказываются инвариантными при отражении в плоскостях, проходящих через ось вращения.