Остановимся на различных симметриях (инволюциях) системы (2) и соответствующих им симметриях трехмерного отображения.

Свойство обратимости.

Система (2) инвариантна относительно преобразования
$$\gamma \to \gamma ,\mathit{\omega }\to -\mathit{\omega },t\to -t.$$

Для определенного выше сечения при $g_0=0$ преобразование (10) задает следующую инволюцию
$$l^{\prime }=\pi -l,{\left(\frac{L}{G}\right)}^{\prime }=-\frac{L}{G},{\left(\frac{H}{G}\right)}^{\prime }=-\frac{H}{G},{\mathcal{F}}^{\prime }={\mathcal{F}}^{-1},$$

где через ${\mathcal{F}}^{-1}$ обозначено обратнсе отображение (9). Основные следствия обратимости следующие.

1. Вблизи неподвижных точек инволюции, т. е. вблизи положений равновесия $\mathit{\omega }=0$, применима КАМ-теория. Нелинейный анализ вблизи устойчивых положений равновесия выполнен А.П.Маркеевым [7] и более подробно обсуждается ниже.
2. Неподвижные точки отображения $\mathcal{F}$ (т.е. периодические траектории системы (2)), не инвариантные относительно инволюции (10) встречается парами, причем их мультипликаторы равны по модулю и имеют противоположные знаки. Таким образом, если система (2) имеет притягивающее множество при $t\to +\mathrm{\infty }$, то оно имеет аналогичное симметричное притягивающее множество при $t\to -\mathrm{\infty }$.

Если тело обладает дополнительными геометрическими и динамическими симметриями, то уравнения (2) могут допускать другие инволюции.

Симметрия относительно поворота осей.
Если главная геометрическая ось $e_3$ совпадает с главной осью инерции (две оставшиеся могут быть повернуты вокруг нее на угол $\delta$ по отношению к динамическим осям) то уравнения (2) допускают поворот осей ${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2$ на угол $\pi$ вокруг оси $e_3$, т. е. остаются инвариантными относительно преобразования
$$\begin{array}{l}{\omega }_1\to -{\omega }_1,{\omega }_2\to -{\omega }_2,{\omega }_3\to {\omega }_3,\\ {\gamma }_1\to -{\gamma }_1,{\gamma }_2\to -{\gamma }_2,{\gamma }_3\to {\gamma }_3.\end{array}$$

Для отображения $x_{n+1}=\mathcal{F}\left(x_n\right)$ этому преобразованию соответствует симметрия
$$l^{\prime }=l-\pi ,{\left(\frac{L}{G}\right)}^{\prime }=\frac{L}{G},{\left(\frac{H}{G}\right)}^{\prime }=\frac{H}{G}.$$

Как следствие, отображение $\mathcal{F}$ симметрично относительно плоскости $l=\pi$, а все неподвижные точки, не принадлежацие этой плоскости, спарены.

Симметрия относительно плоскости.
Если, например, у эллипсоида геометрическая и динамическая оси $e_3$ совпадают, то уравнения (2) инвариантны при отражении относительно плоскости $e_1{e}_2$ и последующей замены времени, т.е.
$$\begin{array}{c}{\omega }_1\to {\omega }_1,{\omega }_2\to {\omega }_2,{\omega }_3\to -{\omega }_3,\\ {\gamma }_1\to {\gamma }_1,{\gamma }_2\to {\gamma }_2,{\gamma }_3\to -{\gamma }_3,t\to -t.\end{array}$$

Трехмерное отображение при этом становится инвариантным относительно инволюции $\mathcal{F}$ :
$$l^{\prime }=l,{\left(\frac{L}{G}\right)}^{\prime }=-\left(\frac{L}{G}\right),{\left(\frac{H}{G}\right)}^{\prime }=\frac{H}{G},{\mathcal{F}}^{\prime }={\mathcal{F}}^{-1}.$$

Докажем следующее простое утверждение:
для неподвижных точек отображения $\mathcal{F}$ одно собственное число равно 1, а произведение двух других также равно 1.

Действительно, если обозначить матрицу линейного преобразования координат (12) через $\sigma =\mathrm{diag}(1,-1,1)$, а матрицу линеаризации отображения $\mathcal{F}$ вблизи неподвижной точки через $\mathbf{A}$, из условия инвариантности (12) следует
$$\mathbf{A}=\sigma {\mathbf{A}}^{-1}\sigma$$

а также $\det \mathbf{A}=\det {\mathbf{A}}^{-1}=1,a=\mathrm{Tr}\mathbf{A}=\mathrm{Tr}{\mathbf{A}}^{-1}$. Для характеристического полинома матрицы $\mathbf{A}$ имеем
$${\lambda }^3-a{\lambda }^2+a\lambda -1=(\lambda -1)({\lambda }^2+(1-a)\lambda +1).$$

Появление единичного собственного значения связано с вырождением неподвижных точек, которые лежат в плоскости $L=0$ (см. рис. 9). Если два оставшиеся мультипликатора будут иметь ненулевые мнимые части, то вблизи этих точек имеются замкнутые инвариантные кривые.

Аналогичным образом может быть рассмотрен случай, при котором все динамические и геометрические оси совпадают (см. далее). Здесь имеются еще две плоскости симметрии и инвариантные кривые существуют вблизи вертикальных вращений, которые оказываются инвариантными при отражении в плоскостях, проходящих через ось вращения.