Уравнения движения динамически несимметричного шара с центром масс, совпадающим с геометрическим центром, можно записать в форме
\[
\begin{array}{ll}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial U}{\partial \gamma}, & \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \\
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+D \boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma), & D=m a^{2},
\end{array}
\]
$\mathbf{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$ – центральный тензор инерции, $U=U(\gamma)$ – потенциальная энергия. Уравнения (2.1) всегда имеют меру с плотностью $\rho$ и первые интегралы вида
\[
\begin{array}{l}
\rho=\frac{1}{\sqrt{1-D(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{A} \gamma)}}, \quad \mathbf{A}=(\mathbf{I}+D \mathbf{E})^{-1}, \quad \mathbf{E}=\left\|\delta_{i j}\right\|, \\
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+U(\gamma), \quad F_{1}=\gamma^{2}=1 \quad F_{2}=(\boldsymbol{M}, \gamma) .
\end{array}
\]

При $U=0$ появляется еще интеграл $F_{3}=M^{2}$ и задача становится интегрируемой (С.А.Чаплыгин, 1903 г. [25]), соответствующее трехмерное отображение приведено на рис. 3 .

Как показано в [15], эта задача остается интегрируемой при добавлении потенциала Бруна
\[
U=\frac{1}{2} k(\mathbf{I} \gamma, \gamma)
\]

Интеграл $F_{3}$ при этом несколько видоизменяется
\[
F_{3}=M^{2}-\frac{k}{\operatorname{det} \mathbf{A}}(\gamma, \mathbf{A} \gamma)
\]

Как было указано авторами в [6], уравнения (2.1) после замены времени $d \tau=\rho d t$ для любых потенциалов $U$ становятся гамльтоновыми со скобкой Пуассона, которая нелинейна по фазовым переменным $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$ и имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \rho^{-1}\left(M_{k}-g \gamma_{k}\right), \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \rho^{-1} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0, \\
g=D(\boldsymbol{\omega}, \gamma)=\frac{D(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})}{1-D(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{A} \gamma)} .
\end{array}
\]

Скобка (2.3) является вырожденной, ее функциями Казимира являются интегралы $F_{1}, F_{2}$ (2.2). Гамильтониан, соответствующй скобке (2.3) получается из энергии (2.2), выраженной через моменты по формуле
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2} g(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \gamma)+U(\gamma) .
\]

После замены переменных $\boldsymbol{K}=\rho \boldsymbol{M}$ скобка Пуассона и гамильтониан прелставляются в форме
\[
\begin{array}{c}
\left\{K_{i}, K_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k}\left(K_{k}-D \rho^{2}(\boldsymbol{K}, \gamma) a_{k} \gamma_{k}\right), \quad\left\{K_{i}, \gamma_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0, \\
H=\frac{1}{2} \rho^{-2}(\boldsymbol{K}, \mathbf{A} \boldsymbol{K})+\frac{1}{2} D(\mathbf{A} \boldsymbol{K}, \gamma)^{2}+U(\gamma) .
\end{array}
\]

Таким образом, на нулевом уровне $(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{\gamma})=0$ скобка (2.5) переходит в скобку, описываемой алгеброй $е(3)$, на которой записываются уравнения Эйлера – Пуассона и Кирхгофа [5].

Отметим, что для рассматриваемой задачи плотность меры $\rho$ является приводящим множителем (по Чаплыгину [27]), с помощью которого неголономные уравнения сводятся к гамильтоновой системе. Сам Чаплыгин при интегрировании уравнений движения несимметричного шара использовал такое сведение, тредварительно введя неголономный аналог сфероконических координат. Можно поступить и обратным образом [25] и сначала сделать замену времени $d \tau=\rho d t$, получить гамильтонову систему, а затем ввести обычные сфероконические координаты и воспользоваться методом Гамильтона – Якоби.

В отличие от пуассоновой структуры (2.8), которая относится к системе, приведенной по полю симметрии, соответствующего собственному вращению, структура (2.12) относится к полной системе (1.1), (1.2).

K сожалению, нам не удалось распространить (поднять) приведенную структуру (2.8) на такую полную систему. Возможно, что это либо слишком сложно, либо этому препятствуют некоторые динамические эффекты. K сожалению, динамические эффекты, препятствующие гамильтоновости, почти совсем не изучены ${ }^{1}$ [4].