Уравнения движения динамически несимметричного шара с центром масс, совпадающим с геометрическим центром, можно записать в форме
$$\begin{array}{ll}\dot{\mathit{M}}=\mathit{M}\times \mathit{\omega }+\mathit{\gamma }\times \frac{\partial U}{\partial \gamma },& \dot{\mathit{\gamma }}=\mathit{\gamma }\times \mathit{\omega },\\ \mathit{M}=\mathbf{I}\mathit{\omega }+D\mathit{\gamma }\times (\mathit{\omega }\times \gamma ),& D=m{a}^2,\end{array}$$
$\mathbf{I}=\mathrm{diag}(I_1,I_2,I_3)$ — центральный тензор инерции, $U=U(\gamma )$ — потенциальная энергия. Уравнения (2.1) всегда имеют меру с плотностью $\rho$ и первые интегралы вида
$$\begin{array}{l}\rho =\frac{1}{\sqrt{1-D(\mathit{\gamma },\mathbf{A}\gamma )}},\mathbf{A}=(\mathbf{I}+D\mathbf{E}{)}^{-1},\mathbf{E}=\Vert {\delta }_{ij}\Vert ,\\ H=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathit{\omega })+U(\gamma ),F_1={\gamma }^2=1F_2=(\mathit{M},\gamma ).\end{array}$$

При $U=0$ появляется еще интеграл $F_3=M^2$ и задача становится интегрируемой (С.А.Чаплыгин, 1903 г. [25]), соответствующее трехмерное отображение приведено на рис. 3 .

Как показано в [15], эта задача остается интегрируемой при добавлении потенциала Бруна
$$U=\frac{1}{2}k(\mathbf{I}\gamma ,\gamma )$$

Интеграл $F_3$ при этом несколько видоизменяется
$$F_3=M^2-\frac{k}{\det \mathbf{A}}(\gamma ,\mathbf{A}\gamma )$$

Как было указано авторами в [6], уравнения (2.1) после замены времени $d\tau =\rho dt$ для любых потенциалов $U$ становятся гамльтоновыми со скобкой Пуассона, которая нелинейна по фазовым переменным $(\mathit{M},\mathit{\gamma })$ и имеет вид
$$\begin{array}{c}\{M_i,M_j\}={\epsilon }_{ijk}{\rho }^{-1}(M_k-g{\gamma }_k),\{M_i,{\gamma }_j\}={\epsilon }_{ijk}{\rho }^{-1}{\gamma }_k,\{{\gamma }_i,{\gamma }_j\}=0,\\ g=D(\mathit{\omega },\gamma )=\frac{D(\mathit{\gamma },\mathbf{A}\mathit{M})}{1-D(\mathit{\gamma },\mathbf{A}\gamma )}.\end{array}$$

Скобка (2.3) является вырожденной, ее функциями Казимира являются интегралы $F_1,F_2$ (2.2). Гамильтониан, соответствующй скобке (2.3) получается из энергии (2.2), выраженной через моменты по формуле
$$H=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathbf{A}\mathit{M})+\frac{1}{2}g(\mathbf{A}\mathit{M},\gamma )+U(\gamma ).$$

После замены переменных $\mathit{K}=\rho \mathit{M}$ скобка Пуассона и гамильтониан прелставляются в форме
$$\begin{array}{c}\{K_i,K_j\}={\epsilon }_{ijk}(K_k-D{\rho }^2(\mathit{K},\gamma )a_k{\gamma }_k),\{K_i,{\gamma }_j\}={\epsilon }_{ijk}{\gamma }_k,\{{\gamma }_i,{\gamma }_j\}=0,\\ H=\frac{1}{2}{\rho }^{-2}(\mathit{K},\mathbf{A}\mathit{K})+\frac{1}{2}D(\mathbf{A}\mathit{K},\gamma {)}^2+U(\gamma ).\end{array}$$

Таким образом, на нулевом уровне $(\mathit{K},\mathit{\gamma })=0$ скобка (2.5) переходит в скобку, описываемой алгеброй $е(3)$, на которой записываются уравнения Эйлера — Пуассона и Кирхгофа [5].

Отметим, что для рассматриваемой задачи плотность меры $\rho$ является приводящим множителем (по Чаплыгину [27]), с помощью которого неголономные уравнения сводятся к гамильтоновой системе. Сам Чаплыгин при интегрировании уравнений движения несимметричного шара использовал такое сведение, тредварительно введя неголономный аналог сфероконических координат. Можно поступить и обратным образом [25] и сначала сделать замену времени $d\tau =\rho dt$, получить гамильтонову систему, а затем ввести обычные сфероконические координаты и воспользоваться методом Гамильтона — Якоби.

В отличие от пуассоновой структуры (2.8), которая относится к системе, приведенной по полю симметрии, соответствующего собственному вращению, структура (2.12) относится к полной системе (1.1), (1.2).

K сожалению, нам не удалось распространить (поднять) приведенную структуру (2.8) на такую полную систему. Возможно, что это либо слишком сложно, либо этому препятствуют некоторые динамические эффекты. K сожалению, динамические эффекты, препятствующие гамильтоновости, почти совсем не изучены ${}^1$ [4].