В этом случае
\[
f_{1}=R, \quad f_{2}=R \gamma_{3}+a,
\]

где $R$ – радиус шара, $a$ – расстояние центра масс до геометрического центра. Мера $\rho$ уже не является постоянной
\[
\rho=\left(I_{1} I_{3}+I_{1} m R^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+I_{3} m\left(R \gamma_{3}+a\right)^{2}\right)^{-1 / 2},
\]

а уравнения для $K_{1}, K_{2}$ превращаются в тривиальные: $\dot{K}_{1}=0, \dot{K}_{2}=0$, т. е. величины
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\omega_{3} \rho^{-1}= \\
=\rho^{-1}\left(m R^{2} \gamma_{3}(\boldsymbol{M}, \gamma)+I_{1} M_{3}+\operatorname{ma} R\left((\boldsymbol{M}, \gamma)+M_{3} \gamma_{3}\right)+m a^{2} M_{3}\right)=\mathrm{const}, \\
K_{2}=\frac{1}{R}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r})=(\boldsymbol{M}, \gamma)+\frac{a}{R} M_{3}=\text { const. }
\end{array}
\]

являются интегралами движения.
Интеграл $K_{2}$ представляет собой интеграл Желле, который имеется также при произвольном законе трения в точке контакта [22]. Интеграл $K_{1}$ был найден Э. Раусом в 1884 году [23] и выглядит несколько таинственно. Он также был указан С. А. Чаплыгиным в работе [26]. Еще раз отметим, что оба интеграла линейны по скоростям, являются непосредственными обобщениями циклических интегралов, соответствующих прецессии $\psi$ и собственному вращению $\rho$, но, тем не менее, не имеют настолько же естественного динамического происхождения. Интеграл $K_{2}$ иногда называют интегралом Чаплыгина.