В этом введении мы хотим выделить основные аспекты развития механики неголономных систем не столько с исторической точки зрения, а по степени влияния различных работ на последующее развитие теории динамических систем. С этой точки зрения многие направления, на которые были затрачены большие усилия, оказались мало востребованными современной наукой, с другой стороны, исследования, которым не придавали большой роли – вновь возрожденными к жизни и получившими новое развитие. Мы также сразу укажем на свое негативное отношение к излишнему современному формализму в динамике, который, вообще говоря, связан с ее недавней бурбакизацией. Как и во всей математике, механике и в обсуждаемой книге области, такого сорта методы почти ни к чему не привели и мы здесь подчеркиваем свое предпочтение к исследованию конкретных систем, обнаружению действительных динамических эффектов в новых и классических задачах. Эти положения и продиктовали выбор работ для этого сборника.

В развитии неголономной механики можно выделить два направления, в каждом из которых имеются интересные исследования. Одно из них связано с общим формализмом уравнений динамики, который отличается от лагранжева и гамильтонова метода составления уравнений движения. Исторически ряд ошибок известных математиков, среди которых можно назвать К. Неймана [33] и Э. Линделефа [32] был связан с некорректностью применения уравнений Лагранжа при наличии неинтегрируемых связей для описания задачи о качении тела без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Общее понимание неприменимости уравнений Лагранжа и вариационных принципов в неголономной механике принадлежит Г.Герцу, который обсуждает эти вопросы
в своем фундаментальном труде «Принципы механики, изложенные в новой связи» [4]. Заметим, что этот труд в основном посвящен концепции скрытых циклических параметров (координат, масс), которую Герц противопоставлял обычному представлению о взаимодействии как результате действия сил.

Замечания Герца развил А. Пуанкаре [13] в своей известной работе «Идеи Герца в механике», из которой здесь мы приведем несколько абзацев, иллюстрирующих взгляды обоих ученых.
«Герц называет системы голономными, если связи не позволяют непосредственно переходить из одного положения в другое бесконечно близкое положение, то они не позволяют также переходить от первого положения ко второму косвенно. В таких системах существуют только жесткие связи.
Видно, что наша сфера ${ }^{1}$ не является голономной системой.
Итак, бывает, что принцип наименьшего действия не применим к неголономным системам. Действительно, можно перейти от положения $A$ к положению $B$ таким путем, который мы только что рассмотрели, и, несомненно, множеством других путей. Среди всех этих путей есть, очевидно, один, который соответствует наименьшему действию. Следовательно, сфера должна была бы быть в состоянии проследовать по этому пути из $A$ в $B$. Но это не так: каковы бы ни были начальные условия движения, сфера никогда не перейдет из $A$ в $B$.

Более того, если сфера действительно переходит из положения $A$ в положение $A^{\prime}$, она не всегда движется тем путем, который соответствует минимальному действно.
Принцип наименьшего действия больше не является верным.
«В этом случае, – говорит Герц, – сфера, которая подчинялась бы этому принципу, казалась бы живым существом, которое сознательно преследовало бы определенную цель, тогда как сфера, которая следовала бы закону природы, имела бы вид неодушевленной однообразно катящейся массы… Но подобных связей в природе не существует. Так называемое качение без проскальзывания является на самом деле качением с небольшим проскальзыванием. Это явление входит в ряд необратимых явлений, таких как трение, еще плохо изученных, к которым мы еще не умеем применять истинные принципы Механики.»
«Качение без проскальзывания, – ответим мы, – не противоречит ни закону сохранения энергии, ни какому-либо из известных законов физики. Это явление может быть осуществлено в наблюдаемом мире с такой точностью, которая позволяет использовать его для конструирования самых точных машин интегрирования (планиметры, гармонические анализаторы и т. д.) Мы не имеем никакого права исключать его как невозможное. Проблемы же наши остаются независимо от того, реализуется ли такое качение в точности или же лишь приблизительно. Для того, чтобы принять принцип, необходимо потребовать, чтобы его применение к задаче, данные которой близки к точным, давало бы и близкие к точным результаты. К тому же, другие, жесткие связи также лишь

приблизительно осуществимы в природе. Однако их ведь не исключают из рассмотрения …»

Основное отличие неголономной механики от обычной лагранжевой состоит в том, что уравнения связей, записанные через обобщенные координаты $q_{j}$ и обобщенные скорости $\dot{q}_{j}$ в виде
\[
f_{i}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)=0, \quad i=1, \ldots, k, \quad \boldsymbol{q}=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)
\]

не могут быть представлены в конечном (интегральном) виде
\[
F_{i}(\boldsymbol{q}, t)=0,
\]

задающем ограничения только на обобщенные координаты. В этом смысле говорят, что связи являются неинтегрируемыми (дифференциальными). По Герцу [4] они также называются неголономными ${ }^{2}$.

Исторически первой общей формой уравнений неголономной механики следует считать уравнения Феррерса с неопределенными множителями $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}$ (1871г.)
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=Q_{i}+\sum_{j} \lambda_{j} \frac{\partial f_{j}}{\partial q_{i}} .
\]

В уравнениях (3) $T$ – кинетическая энергия, $Q_{i}$ – обобщенные силы, а $\lambda_{j}$ являются неопределенными множителями, которые, вообще говоря, однозначно восстанавливаются из условия связи $f(q, \dot{q})=0$. Рассматриваемые в неголономной механике связи, как правило, являются линейными по обобщенным скоростям
\[
f_{i}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)=\sum_{k} a_{i k}(\boldsymbol{q}, t) \dot{q}_{k}+a_{i}(\boldsymbol{q}, t)=0 .
\]

Именно такие связи реализуются в содержательных задачах. Тем не менее, Больцманом и Гамелем был указан несколько искусственный пример нелинейной неголономной связи. Феррерс также исключил неопределенные множители и получил некоторый аналог лагранжевых уравнений движения [27].

Кроме уравнений Феррерса в неголономной механике используются также уравнения Аппеля, Чаплыгина, Маджи, Вольтерра, Больцмана-

Гамеля. Такое разнообразие форм уравнений, вообще говоря, не является значительным продвижением. Все эти формы связаны с различными способами исключения неопределенных множителей и на практике, как правило, не используются. При составлении конкретных уравнений движения, связанных, например, с качением обычно пользуются общими уравнениями динамики или универсальными уравнениями в форме (3).

В качестве интересного факта отметим, что, например, С. А. Чаплыгин, получивший общую форму уравнений неголономной механики, носящей его имя, при решении конкретных неголономных задач (принесших ему мировую известность) пользовался не этими уравнениями, а общими принципами динамики. С другой стороны, известный киевский механик П. В. Воронец, также получивший общие динамические неголономные уравнения, кстати говоря, имеющие очень громоздкую форму, настойчиво старался использовать их при изучении конкретных систем. К сожалению, во многих случаях это привело лишь к неоправданным усложнениям в анализе и, видимо, только препятствовало открытию новых динамических результатов.

Bторое направление, имеющее, по нашему мнению, для динамики существенно большее значение представляет собой исследования, связанные с анализом конкретных неголономных систем. Первые постановки подобных задач восходят к Э. Раусу, С. А. Чаплыгину, П. В. Воронцу, П. Аппелю и Г.К.Суслову, которые нашли замечательные интегрируемые ситуации и дали их аналитическое и качественное описание. Большинство из этих задач опять же связано с качением тел. Кроме нахождения интегрируемых случаев было выполнено множество исследований устойчивости частных решений (как правило, стационарных вращений) для общих, неинтегрируемых, систем. Среди них наиболее известны исследования, связанные с устойчивостью вращений вокруг вертикальной оси так называемого кельтского камня, который демонстрирует удивительную зависимость устойчивости от направления вращения. Наиболее полные аналитические результаты получены здесь А.В.Карапетяном, И.С.Астаповым, А.П.Маркеевым, М.Паскаль, которые, тем не менее, не решили полностью проблему описания эволюции такой системы (предварительные численные результаты имеются в [31]). До сих пор имеется ряд свойств кельтских камней, отличающихся несовпадением геометрических и динамических осей, не получивших надлежащего теоретического объяснения. Новые подходы к этой задаче, использующие в основном современные численно-аналитические методы содержатся в работе авторов (см. статью 19 этого сборника).

В последние два десятилетия развитие исследований неголономных систем связано с нахождением новых интегрируемых задач, которые принадлежат В. В. Козлову, А. П. Маркееву, А. П. и Л. Е. Веселовым,

Ю.Н.Федорову и авторам, а также с компьютерными и качественными исследованиями как в интегрируемых, так и в неинтегрируемых ситуациях. Основные работы указанных авторов собраны в этом сборнике, эти результаты также систематизированы в написанных нами обзорных статьях 15,16 .

С другой стороны, укажем также на ряд работ $[21,22,23,25]$, в которых содержится некоторая информация методического характера о различных способах записи неголономных систем. В работе [35] предложена почти гамильтонова форма записи уравнений неголономной механики (кососимметричная форма записи без сохранения тождества Якоби), без обсуждения препятствий к гамильтоновости. Один из динамических эффектов, препятствующих существованию пуассоновой структуры, связанный с несуществованием инвариантной меры и асимптотическими свойствами был отмечен В. В. Козловым в фундаментальной работе [10] (см. статью 14 этого сборника).

Любопытно, что работы С.А.Чаплыгина [16, 17, 18], Г.К.Суслова [15], В. Вагнера [2], В.В.Козлова [10] не были переведены на иностранные (в частности, английский) языки и оказались недоступными большинству западных специалистов. Вследствие этого возникли пересечения полученных результатов, а также различные подходы при обсуждении сходных проблем (например, проблемы интегрируемости). В качестве замечания только отметим, что для русской школы более характерным оказалось исследование конкретных задач, а для западной – общего геометрического и динамического формализма. По-видимому, формальное перенесение многих известных фактов гамильтоновой механики (циклические координаты, отображение момента и пр.) на неголономную ситуацию не всегда оправдано. Згесь ситуация аналогична с множеством форм записи неголономных уравнений движения – в конкретных задачах большинство результатов общего формализма совсем не используется и на первый план выходят совсем другие вопросы, касающиеся характерных динамических эффектов неголономных систем.

Укажем здесь на также сразнительно недавние замечательные исследования В.А.Ярощук $[19,20]$, обнаружившей новые случаи существования инвариантной меры, а также работы А.В.Карапетяна [7] и В.В.Козлова [9], посвященных вопросу реализации неголономных связей. Эти работы развивают более ранние исследования К. Каратеодори [24], который связывал вопрос происхождения неинтегрируемых связей с наличием сил вязкого трения с бесконечно большим коэффициентом вязкости. Относительно других моделей динамики систем с неинтегрируемыми связами – о механике Дирака и вакономной механике можно прочитать в обзорах $[1,36]$.

С современными достижениями в исследовании устойчивости неголономных систем можно познакомиться по книге [8], более элементарные вопросы разобраны в $[12,14]$.

По неголономной механике имеется всего лишь две специальные монографии, принадлежащие Ю.И.Неймарку, Н. А. Фуфаеву [12] и В.В.Добронравову [6]. Они уже сильно устарели, а вторая из них содержит также множество некорректных утверждений. Более поздние обзоры, принадлежащие Ф.Гриффитсу [5], А.М.Вершику и В.Я.Гершковичу [3] можно отнести скорее к неголономной геометрии (восходящей к Картану, Вагнеру и Рашевскому), поскольку в них не обсуждаются собственно проблемы неголономной динамики. Кроме того, в упомянутых работах, например, уравнения движения постулируются из вариационного принципа, несправедливость которого для неголономной механики была указана еще Г. Герцем и А. Пуанкаре. При этом, например, для качения диска на плоскости получаются уравнения вакономной механики, которые не описывают качение тел. (В вакономной механике связи реализуются при помощи присоединенных масс – с подобными вопросами можно ознакомиться по работам $[1,9]$.) По-видимому, из теоретических работ только работа В. Вагнера [2] представляет интерес для динамики (в которой, кстати, Вагнер привел чисто механическую интерпретацию связи задачи Суслова в отличие от ошибочной реализации той же связи, данной самим Сусловым [15]).

Существенно более современной по сравнению с указанными монографиями и обзорами является замечательная книга А. П. Маркеева [11]. В настоящем сборнике мы приводим две работы А. П. Маркеева, – о динамике кельтского камня и об интегрируемом движении шара, несущего гиростат.

В заключении отметим также, что на многих исторических подробностях и новых достижениях, не упомянутых в этом очерке, мы останавливаемся в двух наших работах, посвященных качению твердого тела по неподвижной поверхности без проскальзывания – классической области приложения неголономной динамики. В сборнике представлена также статья А.С.Сумбатова (см. статью 2), специально посвященная некоторым аспектам истории неголономных систем, опущенных в этом очерке.

В заключение укажем полученные нами и нашими учениками новые результаты в неголономной механике, вошедшие в этот сборник: открытие иерархии динамики неголономных систем, новые интегрируемые случаи в задачах о качении тела по поверхности, описание странного аттрактора в динамике кельтского камня. Мы считаем также, что этими результатами открывается новая страница в исследовании неголономных систем, связанная с эффективным использованием компьютерных методов (систем аналитических вычислений, визуализации движения, численных экспериментов). На этом пути могут быть получены результаты, о которых было даже сложно было предполагать, владея только аналитическими методами. Видимо, в этом новом направлении исследований и будут происходить основные открытия в ближайшие десятилетия.