В статье рассматриваются две интегрируемые системы, представляющие собой модификацию классических интегрируемых задач Бруна (Клебша) и Чаплыгина. Модификация состоит в том, что правые части уравнений Пуассона для этих задач умножаются на -1 . Затрагивается вопрос об интегрируемости других систем, получаемых из названных путем модификаций более общего вида.

1. Рассмотрим формальную систему уравнений
$$\begin{array}{c}\dot{\mathit{M}}=\mathit{M}\times \mathit{\omega }+\rho \gamma \times \mathrm{\Lambda }\gamma ,\mathit{\omega }={\mathrm{\Lambda }}^{-1}\mathit{M},\\ \dot{\mathit{\gamma }}=k\mathit{\gamma }\times \mathit{\omega },k\in \mathbb{Z},\rho =\mathrm{const},\mathit{M},\mathit{\gamma }\in {\mathbb{R}}^3,\end{array}$$

где $\mathrm{\Lambda }:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ — постоянный невырожденный симметрический оператор. Символ $\times$ и скобка (, ) обозначают векторное и евклидово скалярное произведения в ${\mathbb{R}}^3$. Положим $\mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}({\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2,{\mathrm{\Lambda }}_3)$.
Известные интегралы данной системы имеют вид
$$\begin{array}{l}{I}_1=(\mathit{M},{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\mathit{M})+\frac{\rho }{k}(\gamma ,\mathrm{\Lambda }\mathit{\gamma }),\\ I_2=(\mathit{M},\mathit{M})-\frac{\rho }{k}\det \mathrm{\Lambda }(\gamma ,{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\gamma ),\\ I_3=(\gamma ,\gamma ).\end{array}$$

Система (1) обладает также инвариантной мерой с постоянной плотностью. Тем самым согласно теореме Якоби для ее интегрируемости в квадратурах недостает одного дополнительного интеграла.

Полагая в (1) $k=1$, получаем интегрируемую систему Бруна [1], описывающую движение твердого тела с тензором инерции $\mathrm{\Lambda }$ и угловой скоростью $\mathit{\omega }$ в осесимметричном силовом поле с потенциалом $\rho (\gamma ,\mathrm{\Lambda }\gamma )/2$, которая эквивалентна интегрируемому случаю Клебша в задаче о движении твердого тела в идеальной жидкости. В этой задаче существует независимый с (2) интеграл площадей
$$I_4=(\mathit{M},\gamma ).$$

Оказывается, уравнения (1) допускают и другой интегрируемый случай при $k=-1$. При этом дополнительный интеграл имеет вид
$$(M,A\gamma ),A=E-2\mathrm{\Lambda }/({\mathrm{\Lambda }}_1+{\mathrm{\Lambda }}_2+{\mathrm{\Lambda }}_3).$$

Выпишем соответствующие уравнения в явной форме:
$$\dot{M}=M\times {\mathrm{\Lambda }}^{-1}M+\rho \gamma \times \mathrm{\Lambda }\gamma ,\dot{\gamma }={\mathrm{\Lambda }}^{-1}M\times \gamma .$$

Уравнения (4) все же не являются существенно новой интегрируемой системой. Действительно, замена переменных
$$\mathit{W}=A\mathit{M},\mathit{W}\in {\mathbb{R}}^3$$

преобразует их к виду
$$\begin{array}{c}\dot{\mathit{W}}=J^{-1}\mathit{W}\times \mathit{W}-\rho \mathit{\gamma }\times J\mathit{\gamma },\\ \dot{\mathit{\gamma }}=J^{-1}\mathit{W}\times \gamma ,J=A\mathrm{\Lambda }.\end{array}$$

Полученная система с точностью до замены $t\to -t$ по форме совпадает с системой Бруна.

Используя метод Ковалевской, можно показать, что для мероморфности общего решения системы (1) необходимо, чтобы $k$ было целым числом. K тому же необходимому условию приводит анализ существования у данной системы дополнительного, независимого с (2) однозначного интеграла. Оказывается, что последний может быть квадратичным только при $k\pm 1$.

Отметим, что для системы, получаемой из (1) при $\rho =0$, аналогичные выводы были сделаны в работе [2]. Первая тройка уравнений такой системы описывает свободное движение твердого тела (случай ЭйлераПуансо) и интегрируется в эллиптических функциях.

Возникает естественный вопрос об интегрируемости системы более общего вида
$$\begin{array}{l}\dot{\mathit{M}}=(\mathit{M}+\mathit{\gamma })\times \mathit{\omega },\mathit{\omega }={\mathrm{\Lambda }}^{-1}\mathit{M}\\ \dot{\mathit{\gamma }}=k\mathit{\gamma }\times \mathit{\omega },\mathit{\gamma }={(g_1,g_2,g_3)}^T=\mathrm{const}\end{array}$$

первая тройка уравнений, в которой описывает свободное движение гиростата (задача Жуковского-Вольтерра) и также интегрируется в эллиптических функциях. Общее решение системы (7) известно лишь для классического случая $k=1$ и содержится в [3].
2. Рассмотрим теперь задачу из неголономной механики о качении динамически несимметричного уравновешенного шара по внутренней поверхности абсолютно шероховатой сферы. Уравнения движения можно представить в виде
$$\begin{array}{l}\dot{\mathit{K}}=\mathit{K}\times \mathit{\omega },\dot{\mathit{\gamma }}=\sigma \mathit{\gamma }\times \mathit{\omega }\\ \mathit{K}=\mathrm{\Lambda }\mathit{\omega }-D\mathit{\gamma }(\mathit{\omega },\mathit{\gamma }),\sigma =\frac{R}{R-a}\\ D=m{a}^2,\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}^0+DE\end{array}$$

Здесь $\mathit{\omega }$ — угловая скорость шара; $\mathit{K}$ — его кинетический момент относительно точки контакта со сферой, ${\mathrm{\Lambda }}^0$ — тензор инерции шара в центральных осях; $m,a$ — его масса и радиус; $R$ — радиус сферы; $\gamma -$ единичный вектор, проведенный из центра сферы в точку контакта.

Уравнения (8) имеют три независимых первых интеграла, которые с учетом соотношений
$$\mathrm{\Lambda }\mathit{\omega }=\mathit{K}+D\frac{(\mathit{K},{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\gamma )}{F}\gamma ,F=(\gamma \cdot {\mathrm{\Lambda }}^0{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\gamma )$$

могут быть представлены в форме
$$(\mathit{K},\mathit{K})=n,(\mathit{\gamma },\mathit{\gamma })=1,(\mathit{K},{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\mathit{K})+\frac{{(\mathit{K},{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\mathit{\gamma })}^2}{F}=l,n,l=\mathrm{const}.$$

Указанные уравнения обладаю: также последним множителем Якоби, имеющим в переменных $\gamma ,\mathit{K}$ влд $\mu =1/\sqrt{F}$.

Устремим радиус $R$ сферы качения к бесконечности. При этом $\sigma =1$ и система (8) переходит в уравнения движения известной интегрируемой

задачи С. А. Чаплыгина о качении шара по плоскости [4], а дополнительный интеграл, как и соотношение (3), является интегралом площадей $(\mathit{K},\mathit{\gamma })=h_1,h_1=$ const.

Вместе с тем система (8) оказьвается интегрируемой и при $\sigma =-1$. В этом случае дополнительный интеграл имеет вид
$$(\mathit{K},A\mathit{\gamma })=h,A=E-2\mathrm{\Lambda }/\mathrm{tr}\mathrm{\Lambda },h=\text{ const. }$$

Согласно определению величины $\sigma$ радиус шара должен теперь вдвое превышать радиус сферы качения. Данный случай можно реализовать механически, заменяя шар массивной неоднородной сферой того же радиуса (или телом со сферической полостью), обкатывающей без проскальзывания неподвижную сферу. Отметим без доказательства, что условие неподвижности сферы можно заменить ее однородностью. Уравнения движения такой обобщенной системы будут по форме совпадать c (8).

Таким образом, мы получаем новую интегрируемую задачу неголономной динамики. Может ли она быть приведена некоторой заменой переменных к описанной выше системе Чаплыгина подобно тому, как уравнения (4) заменой (5) приводятся к системе Бруна (6)? Данный вопрос представляет собой трудную самостоятельную задачу.