2.1. Уравнения движения и интегралы

Рассмотрим задачу о качении уравновешенного динамически несимметричного шара по горизонтальной шероховатой плоскости [12]. Движение шара в проекциях на главнье оси, связанные с шаром, описывается системой
\[
\begin{array}{c}
\left\{\begin{array}{l}
\dot{M}=M \times \omega \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \omega
\end{array}\right. \\
M=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+D \gamma \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma), \quad D=m a^{2},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{\omega}$ – вектор угловой скорости, $\gamma$ – орт вертикали, I – тензор инерции шара относительно его центра, $m$ – масса шара, $a$ – его радиус. Вектор $\boldsymbol{M}$ имеет смысл кинетического момента шара относительно точки контакта.

Как показал С.А.Чаплыгин в [12] уравнения (2.1) обладают интегрирующим множителем
\[
\begin{array}{l}
\mu=\frac{1}{\sqrt{1-D\left(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{J}^{-1} \gamma\right)}} \\
\boldsymbol{J}=\mathbf{I}+D \mathbf{E}, \quad \mathbf{E}=\left\|\delta_{i j}\right\|
\end{array}
\]

и четырьмя независимыми интегралами
\[
h=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}), \quad C=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}), \quad(\gamma, \gamma)=1, \quad n=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}),
\]

что позволяет проинтегрировать систему по теореме Эйлера-Якоби. В этой же работе С.А.Чаплыгин выполнил также интегрирование системы (2.1) в гиперэллиптических функциях.

Для определения движения шара в абсолютном пространстве к системе (2.1) следует добавить уравнения для ортов неподвижной системы
\[
\dot{\alpha}=\alpha \times \omega, \quad \dot{\beta}=\boldsymbol{\beta} \times \omega .
\]

Большой интерес для понимания движения шара в абсолютном пространстве представляет траектория точки контакта на плоскости, которая очевидно совпадает с траекторией центра масс. Уравнение движения точки контакта можно получить из условия равенства нулю ее скорости:
\[
v=r \times \omega,
\]

где $v-$ скорость центра масс, $\boldsymbol{r}=-a \boldsymbol{\gamma}-$ вектор, соединяющий центр масс и точку контакта. Запишем уравнение (2.5) в проекциях на неподвижные оси координат:
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{\alpha})=a(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\beta}), \quad \dot{\boldsymbol{y}}=(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{\beta})=-a(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\alpha}) .
\]

Вместе с (2.4) полученные уравнения определяют траекторию точки контакта (и центра масс) на плоскости.

2.2. Интегрирование уравнений движения в случае нулевой константы площадей
Рассмотрим сначала сведение задачи к квадратурам в случае нулевой постоянной площадей $C=(M, \gamma)=0$.

В (2.1) произведем замену переменных приведенную в работе А. В. Борисова, И.С.Мамаева (см. работу 7 в настоящем сборнике)
\[
d t \rightarrow \mu d \tau, \quad \boldsymbol{M} \rightarrow \frac{1}{\mu} M, \quad \gamma \rightarrow \gamma
\]

После этого уравнения движения иожно представить в гамильтоновом виде с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(1-D\left(\gamma, \boldsymbol{J}^{-1} \boldsymbol{\gamma}\right)\right)\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{J}^{-1} \boldsymbol{M}\right)+\frac{1}{2} D\left(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{J}^{-1} \boldsymbol{M}\right)^{2},
\]

и нелинейной скобкой
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k}\left(M_{k}-D(\boldsymbol{M}, \gamma) \mu^{2} \boldsymbol{J}_{k, k}^{-1} \gamma_{k}\right), \\
\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Интегралы движения принимают вид
\[
C=\frac{1}{\mu}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}), \quad n=\frac{1}{\mu^{2}} \boldsymbol{M}^{2}, \quad \boldsymbol{\gamma}^{2}=1 .
\]

Как следует из (2.9) на нулевой константе интеграла площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ скобка Пуассона соответствует алгебре $e(3)$, а соответствующий симплектический лист является кокасательным расслоением к сфере.

Как уже ранее отмечалось, для системы (2.1) явное сведение к квадратурам (уравнениям Абеля – Якоби) было указано С. А. Чаплыгиным, который однако никак не связывал его с методом Гамильтона – Якоби вследствие того, что гамильтонова структура (2.9) ему не была известна. Покажем, что интегрирование системы возможно при помощи обычного разделения переменных, придав тем самым геометрический смысл виртуозным, но неочевидным преобразованиям Чаплыгина.

Перейдем к сфероконическим координатам $q_{1}, q_{2}$, которые задаются как корни квадратного уравнения
\[
f(q)=\frac{\gamma_{1}^{2}}{a_{1}-q}+\frac{\gamma_{2}^{2}}{a_{2}-q}+\frac{\gamma_{3}^{2}}{a_{3}-q}=0,
\]

где $a_{i}=\frac{1}{I_{i}}$ и $a_{3}<q_{2}<a_{2}<q_{1}<a_{1}$. Выражения для $\gamma$ в новых

координатах имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}^{2}=\frac{\left(a_{1}-q_{1}\right)\left(a_{1}-q_{2}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)}, \quad \gamma_{2}^{2}=\frac{\left(a_{2}-q_{1}\right)\left(a_{2}-q_{2}\right)}{\left(a_{2}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{1}\right)}, \\
\gamma_{3}^{2}=\frac{\left(a_{3}-q_{1}\right)\left(a_{3}-q_{2}\right)}{\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right)} .
\end{array}
\]

Выражение для момента $M$ через новые координаты $q_{1}, q_{2}$ и сопряженные им импульсы $p_{1}, p_{2}$ имеет вид
\[
\boldsymbol{M}=\boldsymbol{p} \times \gamma=p_{1}\left(\frac{\partial q_{1}}{\partial \gamma} \times \gamma\right)+p_{2}\left(\frac{\partial q_{2}}{\partial \gamma} \times \gamma\right),
\]

где $\frac{\partial q_{1}}{\partial \gamma}, \frac{\partial q_{2}}{\partial \gamma}$ и $\gamma$ выражаются через $q_{1}$ и $q_{2}$ по формулам (2.12). Окончательно получим
\[
\begin{aligned}
M_{1} & =F\left(q_{1}, q_{2}\right) \sqrt{a_{2}-a_{3}}\left(p_{1} \sqrt{\frac{a_{1}-q_{1}}{a_{1}-q_{2}}}-p_{2} \sqrt{\frac{a_{1}-q_{2}}{a_{1}-q_{1}}}\right), \\
M_{2} & =F\left(q_{1}, q_{2}\right) \sqrt{a_{1}-a_{3}}\left(p_{1} \sqrt{\frac{q_{1}-a_{2}}{a_{2}-q_{2}}}+p_{2} \sqrt{\frac{a_{2}-q_{2}}{q_{1}-a_{2}}}\right), \\
M_{3} & =F\left(q_{1}, q_{2}\right) \sqrt{a_{1}-a_{2}}\left(-p_{1} \sqrt{\frac{q_{1}-a_{3}}{q_{2}-a_{3}}}+p_{2} \sqrt{\frac{q_{2}-a_{3}}{q_{1}-a_{3}}}\right) \\
F\left(q_{1}, q_{2}\right) & =\frac{2}{q_{1}-q_{2}} \sqrt{\frac{\left(a_{1}-q_{1}\right)\left(a_{1}-q_{2}\right)\left(q_{1}-a_{2}\right)\left(a_{2}-q_{2}\right)\left(q_{1}-a_{3}\right)\left(q_{2}-a_{3}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)}} .
\end{aligned}
\]

Подставив (2.12) и (2.13) в (2.8)-(2.10) выразим гамильтониан в канонических переменных
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{q_{2}}-\frac{1}{q_{1}}\right)^{-1}\left(-p_{1}^{2} f\left(q_{1}\right)+p_{2}^{2} f\left(q_{2}\right)\right), \\
f(q)=\frac{1}{q}\left(q-a_{1}\right)\left(q-a_{2}\right)\left(q-a_{3}\right)(1+D q),
\end{array}
\]

дополнительный интеграл можно представить в форме
\[
n=\frac{-p_{1}^{2} f\left(q_{1}\right) q_{1}\left(1+D q_{2}\right)+p_{2}^{2} f\left(q_{2}\right) q_{2}\left(1+D q_{1}\right)}{q_{1}-q_{2}}
\]

Как видно из (2.15) в новых переменных уравнения разделяются. Решение уравнения Гамильтона-Якоби имеет вид
\[
\begin{array}{c}
S\left(q_{1}, q_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right)= \pm \int \frac{2 \alpha_{1}+q_{1} \alpha_{2}}{\sqrt{R\left(q_{1}\right)}} d q_{1} \pm \int \frac{2 \alpha_{1}+q_{2} \alpha_{2}}{\sqrt{R\left(q_{2}\right)}} d q_{2}, \\
R(q)=\left(2 \alpha_{1}+q \alpha_{2}\right)\left(q-a_{1}\right)\left(q-a_{2}\right)\left(q-a_{3}\right)(1+D q),
\end{array}
\]

где $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ – константы разделения, связанные со значениями интегралов (2.10) следующим образом
\[
\alpha_{1}=H, \quad \alpha_{2}=2 D H-n .
\]

Используя $S$ как производящую функцию можно перейти к новым (по Якоби – оскулирующим) переменным $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$
\[
\boldsymbol{p}=\frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{q}}, \quad \boldsymbol{\beta}=\frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{\alpha}} .
\]

В этих переменных уравнения движения имеют вид
\[
\dot{\alpha}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial \beta_{i}}=0, \quad \dot{\beta}_{i}=\frac{\partial H}{\partial \alpha_{i}}=\delta_{1 i}, \quad i=1,2
\]

и их решение
\[
\alpha_{i}=\mathrm{const}, \quad \beta_{i}=\delta_{1 i} \tau+\beta_{i}^{0}, \quad i=1,2
\]

где $\beta_{i}^{0}$ – константы, определяющке начальное положение на траектории. Таким образом решение (2.21) и система (2.19) задают траекторию (первое уравнение системы) и движение по ней (второе уравнение) в фазовом пространстве $(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ ). Соответствующие уравнения Абеля-Якоби, определяющие эволюцию $q_{1}$ и $q_{2}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d q_{1}}{\sqrt{R\left(q_{1}\right)}} \pm \frac{d q_{2}}{\sqrt{R\left(q_{2}\right)}}=d \tau, \\
\frac{q_{1} d q_{1}}{\sqrt{R\left(q_{1}\right)}} \pm \frac{q_{2} d q_{2}}{\sqrt{R\left(q_{2}\right)}}=0 .
\end{array}
\]

Явная зависимость $\boldsymbol{p}(\tau), \boldsymbol{q}(\tau)$ может быть получена в тэта-функциях.
Полученные уравнения движения (2.22), (2.19) и (2.21) с точностью до переобозначения переменных совпадают с уравнениями С.А.Чаплыгина [12].

Наличие разделяющих переменных и пуассоновой структуры позволяет стандартным образом ввести переменные действие-угол (для системы в новом времени (2.7)). Для переменных действие используя первое уравнение системы (2.19) получим
\[
I_{1}=\oint p_{1} d q_{1}=\int_{a_{2}}^{a_{1}} \frac{2 \alpha_{1}+q \alpha_{2}}{\sqrt{R(q)}} d q, \quad I_{2}=\oint p_{2} d q_{2}=\int_{a_{3}}^{a_{2}} \frac{2 \alpha_{1}+q \alpha_{2}}{\sqrt{R(q)}} d q .
\]

Выражение для угловых переменных можно получить используя неявную зависимость $\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{I})$
\[
\varphi_{i}=\frac{\partial S(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{I}))}{\partial I_{i}} .
\]

Выразив частные производные $\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial I_{j}}$ из уравнений (2.23), окончательно для угловых переменных получим
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{1}=\frac{1}{F}\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{a_{3}}^{a_{2}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}}\left(\int \frac{d q_{1}}{\sqrt{R\left(q_{1}\right)}}+\int \frac{d q_{2}}{\sqrt{R\left(q_{2}\right)}}\right)-\right. \\
\left.-\frac{1}{2 \pi} \int_{a_{3}}^{a_{2}} \frac{d q}{\sqrt{R(q)}}\left(\int \frac{q_{1} d q_{1}}{\sqrt{R\left(q_{1}\right)}}+\int \frac{q_{2} d q_{2}}{\sqrt{R\left(q_{2}\right)}}\right)\right), \\
\varphi_{2}=\frac{1}{F}\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{a_{2}}^{a_{1}} \frac{d q}{\sqrt{R(q)}}\left(\int \frac{q_{1} d q_{1}}{\sqrt{R\left(q_{1}\right)}}+\int \frac{q_{2} d q_{2}}{\sqrt{R\left(q_{2}\right)}}\right)-\right. \\
\left.-\frac{1}{2 \pi} \int_{a_{2}}^{a_{1}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}}\left(\int \frac{d q_{1}}{\sqrt{R\left(q_{1}\right)}}+\int \frac{d q_{2}}{\sqrt{R\left(q_{2}\right)}}\right)\right), \\
F=\frac{1}{2 \pi} \int_{a_{3}}^{a_{2}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}} \frac{1}{2 \pi} \int_{a_{2}}^{a_{1}} \frac{d q}{\sqrt{R(q)}}-\frac{1}{2 \pi} \int_{a_{3}}^{a_{1}} \frac{d q}{\sqrt{R(q)}} \frac{1}{2 \pi} \int_{a_{2}}^{a_{1}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}} .
\end{array}
\]

Уравнения движения в переменных действие-угол имеют вид $I_{i}=$ $=\mathrm{const}, \quad \frac{d \varphi_{i}}{d \tau}=\omega_{i}(\boldsymbol{I})$, где частоты определяются соотношениями
\[
\omega_{1}(\boldsymbol{I})=\frac{1}{2 \pi F} \int_{a_{3}}^{a_{2}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}}, \quad \omega_{2}(\boldsymbol{I})=-\frac{1}{2 \pi F} \int_{a_{2}}^{a_{1}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}} .
\]

Число вращения для торов, равное отношению частот, выражается формулой
\[
n\left(I_{1}, I_{2}\right)=\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=\frac{\int_{a_{3}}^{a_{2}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}} d q}{\int_{a_{2}}^{a_{1}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}} d q} .
\]

В своей работе [7] В.В.Козлов ввел более простые угловые переменные на торах для системы с исходным временем $t$ (2.7)
\[
x=\frac{\int \frac{q_{1} d q_{1}}{\sqrt{R\left(q_{1}\right)}}}{\frac{1}{\pi} \int_{a_{2}}^{a_{1}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}}}, \quad y=\frac{\int \frac{q_{2} d q_{2}}{\sqrt{R\left(q_{2}\right)}}}{\frac{1}{\pi} \int_{a_{3}}^{a_{2}} \frac{q d q}{\sqrt{R(q)}}} .
\]

Данные переменные являются линейной комбинацией переменных (2.25) с коэффициентами зависящими от констант интегралов. Хотя переменные (2.28) не являются переменными действие угол, они представляют интерес для изучения динамики на инвариантных торах.

2.3. Интегрирование уравнений движения в случае ненулевой константы площадей
В случае ненулевой константы площадей $C=(M, \gamma)
eq 0$ уравнения движения интегрируются с помощью сведения к случаю $C=0$. Для этого введем новые переменные
\[
M_{i}=\mu^{\prime} \gamma_{i}^{\prime}+\mu M_{i}^{\prime}, \quad \gamma_{i}=\lambda^{\prime} \gamma_{i}^{\prime}+\lambda M_{i}^{\prime}
\]

и подберем постоянные $\lambda, \lambda^{\prime}, \mu, \mu^{\prime}$ так, чтобы с учетом интегралов движения выполнялись соотношения
\[
\begin{aligned}
\left(M^{\prime}, M^{\prime}\right) & =n_{1}, \\
\left(\gamma^{\prime}, \gamma^{\prime}\right) & =1, \\
\left(M^{\prime}, \gamma^{\prime}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Подставляя (2.29) в интегралы движения, получаем
\[
\begin{aligned}
\mu^{\prime 2}+\mu^{2} n_{1} & =n, \\
\lambda^{\prime 2}+\lambda^{2} n_{1} & =1, \\
\lambda^{\prime} \mu^{\prime}+\lambda \mu n_{1} & =C .
\end{aligned}
\]

Потребуем, чтобы интегралы энергии $h_{1}$ и количества момента $n_{1}$ в новых переменных имели вид инте ралов на нулевом уровне константы площадей:
\[
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{J}^{\prime} \boldsymbol{\omega}^{\prime}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)-D^{\prime}\left(\boldsymbol{\omega}^{\prime}, \gamma^{\prime}\right)^{2} & =2 h \\
\left(\boldsymbol{J}^{\prime} \boldsymbol{\omega}^{\prime}, \boldsymbol{J}^{\prime} \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)-D^{\prime 2}\left(\boldsymbol{\omega}^{\prime}, \gamma^{\prime}\right)^{2} & =n
\end{aligned}
\]

где $\boldsymbol{J}^{\prime}=\boldsymbol{J}=\boldsymbol{I}+D \boldsymbol{E}-$ матрица моментов инерции относительно точки контакта, инвариантная относительно замены (2.29). Используя (2.31) получаем соотношения
\[
\begin{array}{c}
\left(\lambda^{\prime} \mu-\mu^{\prime} \lambda\right)^{2} h_{1}=h \lambda^{\prime 2}+\frac{\mu^{\prime 2}}{D}, \\
\left(\lambda^{\prime} \mu-\mu^{\prime} \lambda\right)^{2} \frac{1}{D^{\prime}}=h \lambda^{2}+\frac{\mu^{2}}{D}, \\
h \lambda^{\prime} \lambda+\frac{\mu \mu^{\prime}}{D}=0 \\
\left(\lambda^{\prime} \mu-\mu^{\prime} \lambda\right)^{2} \frac{h_{1}}{D^{\prime}}=\frac{h}{D} .
\end{array}
\]

Константы, связывающие $M, \gamma$ и $M^{\prime}, \gamma^{\prime}$, определяются уравнениями
\[
\begin{array}{c}
f^{2}-\frac{n-h D}{C} f-h D=0 \\
\mu=\lambda f \\
{\left[n-C^{2}+(C-f)^{2}\right] \lambda^{\prime 2}=(C-f)^{2}} \\
\frac{\lambda^{\prime}}{\mu^{\prime}}=\frac{C-f}{n-C f} \\
\lambda \mu-\mu \lambda^{\prime}=\frac{\lambda}{\lambda^{\prime}}(C-f),
\end{array}
\]

и между постоянными интегралов выполнены равенства:
\[
\begin{aligned}
\lambda^{2} h_{1} & =\frac{(f-C) h}{f\left(n-C^{2}+(C-f)^{2}\right)} \\
\lambda^{2} n_{1} & =\frac{n-C^{2}}{n-C^{2}+(C-f)^{2}} .
\end{aligned}
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что преобразование (2.29) определено с точностью до растяжений $\boldsymbol{M} \rightarrow \alpha \boldsymbol{M}$.

Так как интегрирование в переменных $M^{\prime}, \gamma^{\prime}$ (на нулевой константе площадей) может быть проведено в тэта-функциях, то становится возможным осуществить интегрировағие и при $C
eq 0$.

Отдельно следует рассмотреть случай, когда вектор $\boldsymbol{M}$ коллинеарен вектору $\gamma$, так как в этом случае замена (2.29) оказывается неприменимой. В данном случае, $M=C \gamma$, и интегралы имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1, \\
\mathrm{C}=(\boldsymbol{M}, \gamma), \\
n=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})=C^{2}, \\
h=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})=\frac{C}{2}(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma}),
\end{array}
\]

Уравнения движения при $\boldsymbol{M}=C \boldsymbol{\gamma}$ совпадают с уравнениями Эйлера. Действительно, из (2.1) и (2.34) получим выражение для угловой скорости $\boldsymbol{J} \boldsymbol{\omega}=\left(C+\frac{2 D h}{C}\right) \gamma$ и уравнения движения в виде $\boldsymbol{J} \dot{\boldsymbol{\omega}}=\boldsymbol{J} \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\omega}$. Таким образом, решение в данном случае выражается в эллиптических функциях.

В [12] С.А.Чаплыгин привел интересную геометрическую интерпретацию данному движению. Рассмотрим эллипсоид
\[
\frac{x_{1}^{2}}{\frac{\lambda}{I_{1}}-a}+\frac{x_{2}^{2}}{\frac{\lambda}{I_{2}}-a}+\frac{x_{3}^{2}}{\frac{\lambda}{I_{3}}-a}=\lambda K-a,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{x}=\frac{\lambda}{l} \boldsymbol{\omega}-a \gamma \\
K=\frac{2 h}{C l}, \quad l=C+\frac{2 D h}{C},
\end{array}
\]

а $\lambda$ выбираем больше величин $I_{i} a$ и $\frac{a}{K}$. Тогда шар своей поверхностью без скольжения катится по одной плоскости, а задаваемый формулой (2.35) эллипсоид – по другой. При этом угловая скорость пропорциональна длине отрезка оси вращения, заключенного между точками касания шара и эллипсоида с плоскостями. Однако, несмотря на подобную интерпретацию, качественный характер движения в абсолютном пространстве, и, в частности, динамика следа точки контакта на плоскости, остается неопределенной.