Исследуется задача о качении шара по неподвижной горизонтальной плоскости; предполагается, что шар имеет многосвязную полость с идеальной жидкостью, совершающей безвихревое движение. Показано, что решение задачи может быть сведено к квадратурам.

1. Рассмотрим движение без скольжения шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Шар содержит многосвязную полость, целиком заполненную однородной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей безвихревое движение. Цент? тяжести системы считаем совпадающим с геометрическим центром шара.

Движение можно описать при помощи следующих двенадцати дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
A_{* 1} \dot{\omega}_{1}+\left(A_{* 3}-A_{* 2}\right) \omega_{2} \omega_{3}+k_{3} \omega_{2}-k_{2} \omega_{3}=M_{1} \\
m\left(\dot{v}_{1}+\omega_{2} v_{3}-\omega_{3} v_{2}\right)=R_{1} \\
v_{1}+\rho\left(\omega_{3} \gamma_{2}-\omega_{2} \gamma_{3}\right)=0 \\
\dot{\gamma}_{1}=\omega_{3} \gamma_{2}-\omega_{2} \gamma_{3} \quad\{123\} .
\end{array}
\]

Невыписанные восемь уравнений получаются из уравнений (1)-(4) круговой перестановкой индексов, указанных в фигурной скобке.

В (1)-(4) $m$ – сумма масс твердого тела и жидкости, $\rho$ – радиус шара, $A_{* i}$ – момент инерции преобразованного тела для центра $O$ шара, равный сумме момента инерции твердого тела и эквивалентного тела [1] относительно главной центральной оси инерции системы $O_{x i}$. Через $\omega_{i}, v_{i}, \gamma_{i}, k_{i}, M_{i}$, и $R_{i}$ в (1)-(4) обозначены проекции на ось $O_{x i}$ следующих векторов: угловой скорости тела; скорости центра тяжести системы; единичного вектора, направленного по вертикали вверх; момента количества циклического движения жидкости; главного момента и главного вектора внешних сил, представляющих собой силу тяжести и реакцию плоскости.

Уравнения (1)-(4) имеют ту же форму, что и уравнения движения твердого тела с ротором. При специальных предположениях о геометрии масс системы, а именно для случая полого шара с ротором внутри, задача проинтегрирована в [2]. Упрощенный вариант той же задачи изучен в [3]. Для случая однородного тела вращения с ротором, ось которого направлены вдоль оси симметрии, задача сведена к квадратурам в [4]. Если начальное движение жидкости отсутствует, то в уравнениях (1)(4) $k_{i}=0$ и с математической точки зрения рассматриваемая задача сводится к задаче о качении неоднородного шара по плоскости, проинтегрированной в [5].

Цель данной работы состоит в доказательстве интегрируемости системы (1)-(4)при любом тензоре иғерции преобразованного тела и произвольных значениях величин $k_{i}$.

В связанной с телом системе координат $O x_{1} x_{2} x_{3}$ координаты $x_{i}$ точки касания тела и плоскости будут равны $-\rho \gamma_{i}(i=1,2,3)$. Используя уравнения движения центра тяжести (2) и условие отсутствия скольжения (3), можно реакцию плоскости исключить из (1). В результате получим уравнения
\[
\begin{array}{c}
\dot{A}_{1} \omega_{1}+\left(A_{3}-A_{2}\right) \omega_{2} \omega_{3}+A_{3} \Omega_{3} \omega_{2}-A_{2} \Omega_{2} \omega_{3}= \\
=\gamma_{1}\left(\dot{\omega}_{1} \gamma_{1}+\dot{\omega}_{2} \gamma_{2}+\dot{\omega}_{3} \gamma_{3}\right) \quad\{123\}, \\
A_{i}=A_{* i} /\left(m \rho^{2}\right)+1, \Omega_{i}=k_{i} /\left(A_{* i}+m \rho^{2}\right) \quad(i=1,2,3) .
\end{array}
\]

Уравнения (4) и (5) образуют замкнутую систему, описывающую движение шара относительно центра тяжести. Если она проинтегрирована, то траектория центра шара и реакция плоскости находятся из (3) и (2) при помощи квадратур. Ниже показано, что система уравнений также сводится к квадратурам.

2. Уравнения (4), (5) имеют интеграл энергии
\[
A_{1} \omega_{1}^{2}+A_{2} \omega_{2}^{2}+A_{3} \omega_{3}^{2}-\omega_{n}^{2}=\mathrm{const}\left(\omega_{n}=\omega_{1} \gamma_{1}+\omega_{2} \gamma_{2}+\omega_{3} \gamma_{3}\right) .
\]

Интегралами будет также величина вектора кинетического момента системы шар-жидкость относительно точки касания шара и плоскости $\left[A_{1}\left(\omega_{1}+\Omega_{1}\right)-\omega_{n} \gamma_{1}\right]^{2}+\left[A_{2}\left(\omega_{2}+\Omega_{2}\right)-\omega_{n} \gamma_{2}\right]^{2}+\left[A_{3}\left(\omega_{3}+\Omega_{3}\right)-\omega_{n} \gamma_{3}\right]^{2}=\mathrm{const}$ и проекция этого вектора на вертикаль
\[
A_{1}\left(\omega_{1}+\Omega_{1}\right) \gamma_{1}+A_{2}\left(\omega_{2}+\Omega_{2}\right) \gamma_{2}+A_{3}\left(\omega_{3}+\Omega_{3}\right) \gamma_{3}-\omega_{n}=\text { const. }
\]

Кроме того, существует геометрический интеграл $\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=$ $=1$. Указанных четырех интегралов достаточно, чтобы интегрирование системы (4), (5) можно было свести к квадратурам. Как и в [5], для доказательства воспользуемся теорией множителя Якоби [6]. Согласно этой теории, для доказательства сводимости интегрирования системы (4), (5) к квадратурам достаточно найти последний множитель Якоби $\mu$.
Разрешив уравнения (5) относительно $\omega_{i}^{\text {, }}$, получим
\[
\begin{array}{c}
\dot{\omega}_{1}=\left[\left(A_{2}-A_{3}\right) \omega_{2} \omega_{3}-A_{3} \Omega_{3} \omega_{2}+A_{2} \Omega_{2} \omega_{3}+F \gamma_{1}\right] / A_{1} \quad\{123\}, \\
F=\frac{1}{f}\left[\begin{array}{c}
\frac{\left(A_{2}-A_{3}\right) \omega_{2} \omega_{3}-A_{3} \Omega_{3} \omega_{2}+A_{2} \Omega_{2} \omega_{3}}{A_{1}} \gamma_{1}+ \\
+\frac{\left(A_{3}-A_{1}\right) \omega_{3} \omega_{1}-A_{1} \Omega_{1} \omega_{3}+A_{3} \Omega_{3} \omega_{1}}{A_{2}} \gamma_{2}+ \\
+\frac{\left(A_{1}-A_{2}\right) \omega_{1} \omega_{2}-A_{2} \Omega_{2} \omega_{1}+A_{1} \Omega_{1} \omega_{2}}{A_{3}} \gamma_{3}
\end{array}\right], \\
f=1-\gamma_{1}^{2} / A_{1}-\gamma_{2}^{2} / A_{2}-\gamma_{3}^{2} / A_{3} .
\end{array}
\]

Множитель $\mu$ – функция переменных $\omega_{i}, \gamma_{i}(i=1,2,3)$ и удовлетворяет уравнению
\[
\sum_{i=1}^{3} \partial\left(\mu \dot{\omega}_{i}\right) / \partial \omega_{i}+\partial\left(\mu \dot{\gamma}_{i}\right) / \partial \gamma_{i}=0
\]

где $\dot{\omega}_{i}$ и $\dot{\gamma}_{i}$ – правые части уравнений (6) и (4) соответственно. Учитывая (4), уравнение (9) можно преобразовать к форме
\[
\dot{\mu}+\mu\left(\frac{\partial \dot{\omega}_{1}}{\partial \omega_{1}}+\frac{\partial \dot{\omega}_{2}}{\partial \omega_{2}}+\frac{\partial \dot{\omega}_{3}}{\partial \omega_{3}}\right)=0 .
\]

Подставив в выражение, стоящее в круглых скобках, правые части уравнений (6), произведя необходимые дифференцирования и упростив

получающиеся выражения с использованием обозначений (7), (8), получим уравнение (10) в виде
\[
f \dot{\mu}+\mu\left(\frac{\omega_{3} \gamma_{2}-\omega_{2} \gamma_{3}}{A_{1}} \gamma_{1}+\frac{\omega_{1} \gamma_{3}-\omega_{3} \gamma_{1}}{A_{2}} \gamma_{2}+\frac{\omega_{2} \gamma_{1}-\omega_{1} \gamma_{2}}{A_{3}} \gamma_{3}\right)=0
\]

Учитывая теперь (4) и (8), имеем окончательно $2 / \dot{\mu}-\mu \dot{f}=0$. Интегрируя это уравнение, найдем $\mu=c f^{1 / 2}$ ( $c$ – произвольная постоянная). Таким образом показано, что интегрирование уравнений (4), (5) сводится к квадратурам.