1. Качение тела вращения по плоскости (С. А. Чаплыгин [26], П. Аппель $[1,31])$. При условии, что как поверхность тела, так и центральный эллипсоид инерции являются соосными поверхностями вращения, уравнения (1.1), (1.2) обладают двумя дополнительными интегралами и инвариантной мерой. Потенциал $U$ при этом предполагается произвольной функцией от $\gamma_{3}=\cos \theta$, т. е. зависящей только от наклона оси вращения тела к вертикали. В частности, для поля тяжести центр масс необходимо должен находиться на оси вращения.

Для произвольного тела вращения интегрируемость была показана С.А.Чаплыгиным в 1897 г. [26], который также указал на возможность добавления – без потери интегрируемости – уравновешенного равномерно вращающегося ротора вдоль оси вращения (гиростата). Более частные случаи этой задачи изучались

a. Раусом (1884 г.) – качение неуравновешенного динамически симметричного шара по плоскости.
b. Нейманом, Карвалло (Carvallo, 1898 г.), Аппелем (1899 г.) и Кортевегом (1900г.) – качение круглого диска.

Результаты Неймана и Карвалло относятся в основном к выводу уравнений движения и нахождению стационарных решений. При этом отметим, что Нейман, как и Линделеф, сначала допустил ошибку при выводе уравнений, воспользовавшись лагранжевым формализмом без соответствующих «неголсномных» модификаций. В дальнейшем он поправил ее, но не смог свести задачу к квадратурам. Ошибку Линделефа подробно проанализировал С. А. Чаплыгин (1897 г.), что привело его к новой форме уравнений неголономной механики, а также к рассматриваемой задаче о качении тела вращения, которую он свел к двум линейным уравнениям первого порядка. Для случая качения круглого диска С.А.Чаплыгина указал возможность получения из двух линейных уравнений одного линейного уравнения (второго порядка), решаемого в гипергеометрических функциях. Отметим также, что ранее Чаплыгина уравнения движения тяжелого тела вращения получил Г. Слессер в 1861 г. [37], который, однако, не установил их интегрируемость.

Несколько позже (1898 г.) аналогичную подстановку (в уравнениях, полученных Карвалло в работе на премию Фурнерона (Fourneyron)) использовал Аппель и в несколько иной форме – Кортевег. Они оба не были знакомы с работой С. А. Чаплыгина, которая была опубликована в малодоступном журнале только на русском языке. Вследствие этого во многих современных учебниках и работах (O. Reily [36]) задачу о качении круглого диска связывают с именами Аппеля и Кортевега, хотя как видно из предыдущего, это не является вполне справедливым.

Мы здесь приведем результаты С.А.Чаплыгина в более современной алгебраической форме, которая позволяет указать в явном виде инвариантную меру, а также наиболее простые формы первых интегралов, которые, как оказывается, можно сообщить на динамически несимметричную ситуацию.

Уравнение поверхности (1.6) в случае тела вращения можно разрешить в явном виде
\[
r_{1}=f_{1}\left(\gamma_{3}\right) \gamma_{1}, \quad r_{2}=f_{1}\left(\gamma_{3}\right) \gamma_{2}, \quad r_{3}=f_{2}\left(\gamma_{3}\right),
\]

где $f_{i}\left(\gamma_{3}\right), i=1,2$ – функции, которые подчинены одному дифференциальному уравнению, определяющему меридианальное сечение
\[
\frac{d f_{2}}{d \gamma_{3}}=f_{1}-\frac{1-\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{3}} \frac{d f_{1}}{d \gamma_{3}} .
\]

Обозначив через $\mathbf{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{1}, I_{3}\right),\left(I_{1}=I_{2}\right)$ – главный центральный тензор инерции, с помощью явных вычислений можно найти выражение для плотности инвариантной меры уравнений (1.1), (1.2), которая существует для произвольных функций $f_{1}\left(\gamma_{3}\right), f_{2}\left(\gamma_{3}\right)$, задающих поверхность
\[
\rho=\frac{1}{\sqrt{I_{1} I_{3}+m(\boldsymbol{r}, \mathbf{I} \boldsymbol{r})}}=\frac{1}{\sqrt{I_{1} I_{3}+I_{1} m f_{1}^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+I_{3} m f_{2}^{2}}} .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. Для уравнений движения в переменных $\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma}$ плотность инвариантной меры отличается от (2.3) на множитель $\operatorname{det} \mathbf{I}_{Q}$, где $\mathbf{I}_{Q}=\mathbf{I}+m\left(r^{2} \mathbf{E}-\right.$ $-\boldsymbol{r} \otimes \boldsymbol{r})$ – тензор инерции относительно точки контакта. Для случая $I_{1}=I_{2}$ $\operatorname{det} \mathbf{I}_{Q}=\left(I_{1}+m \boldsymbol{r}^{2}\right)\left(I_{1} I_{3}+m(\boldsymbol{r}, \mathbf{I} \boldsymbol{r})\right)$, при этом любопытно, что мера (2.3) содержит один из этих множителей.

Как несложно проверить, при перечисленных условиях уравнения движения обладают также полем симметрий $\boldsymbol{v}$, определяемым дифференциальным оператором
\[
\widehat{\boldsymbol{v}}=M_{1} \frac{\partial}{\partial M_{2}}-M_{2} \frac{\partial}{\partial M_{1}}+\gamma_{1} \frac{\partial}{\partial \gamma_{2}}-\gamma_{2} \frac{\partial}{\partial \gamma_{1}} .
\]

Оно соответствует инвариантности системы относительно вращений вокруг оси динамической симметрии. С помощью этого поля можно понизить порядок системы, для чего необходимо выбрать приведенные (редуцированные) переменные, которые являются интегралами векторного поля (2.4), в которых уравнения имеют наиболее простой вид. После ряда попыток в качестве таких переменных мы выбрали
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\frac{(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r})}{f_{1}}=M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}+\frac{f_{2}}{f_{1}} M_{3} \\
K_{2}=\frac{\omega_{3}}{\rho}=\rho\left(m f_{1} f_{2}\left(M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}\right)+\left(I_{1}+m f_{2}^{2}\right) M_{3}\right) \\
K_{3}=\frac{M_{2} \gamma_{1}-M_{1} \gamma_{2}}{\sqrt{\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)\left(I_{1}+m \boldsymbol{r}^{2}\right)}} .
\end{array}
\]

Уравнения движения в этих переменных, определяющие приведенную систему, имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\gamma}_{3}=k K_{3} \\
\dot{K}_{1}=-k K_{3} \rho I_{3}\left(1-\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime}\right) K_{2} \\
\dot{K}_{2}=-k K_{3} \rho m f_{1}\left(f_{1}-f_{2}^{\prime}\right) K_{1} \\
\dot{K}_{3}=-\frac{k}{I_{1}^{2} f_{1}^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)^{2}}\left(f_{2}\left(f_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+\gamma_{3} f_{2}\right)\left(m f_{1}^{2} K_{1}^{2}+I_{3} K_{2}^{2}\right)+\right. \\
+\gamma_{3} f_{1}^{2} I_{1} K_{1}^{2}+f_{1}\left(f_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+2 \gamma_{3} f_{2}\right) \frac{K_{1} K_{2}}{\rho}+ \\
\left.+m f_{1}^{2} \rho f_{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)\left(\gamma_{3} f_{1} I_{1}-f_{2} I_{3}\right) K_{1} K_{2}\right)-\frac{\partial U\left(\gamma_{3}\right)}{\partial \gamma_{3}}
\end{array}
\]

где $k=\sqrt{\frac{1-\gamma_{3}^{2}}{I_{1}+m r^{2}}}$.
Несложно показать, что эти уравнения обладают инвариантной мерой с плотностью $\rho=k^{-1}$ и интегралом энергии
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+U\left(\gamma_{3}\right)= \\
=\frac{1}{2 I_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)}\left(K_{1}^{2}-\frac{I_{3}}{m f_{1}^{2}} K_{2}^{2}+\frac{m f_{2}^{2}}{I_{1}}\left(K_{1}-\frac{K_{2}}{\rho m f_{1} f_{2}}\right)^{2}\right)+\frac{1}{2} K_{3}^{2}+U\left(\gamma_{3}\right) .
\end{array}
\]

Кроме того, для системы (2.6) справедлива следующая
Теорема. После замены времени $k d t=d \tau$ векторное поле (2.6) становится гамильтоновым
\[
\frac{d x_{i}}{d \tau}=\left\{x_{i}, H\right\}, \quad x=\left(\gamma_{3}, K_{1}, K_{2}, K_{3}\right)
\]

с гамильтонианом (2.7) и вырожденной скобкой Пуассона вида:
\[
\begin{array}{c}
\left\{\gamma_{3}, K_{3}\right\}=1, \quad\left\{K_{1}, K_{3}\right\}=-I_{3} \rho\left(1-\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime}\right) K_{2}, \\
\left\{K_{2}, K_{3}\right\}=-m \rho f_{1}\left(f_{1}-f_{2}^{\prime}\right) K_{1}
\end{array}
\]
(все остальные скобки равны нулю).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – прямая проверка уравнений и тождества Якоби. Оказывается, что уравнения (2.6) допускают кососимметричную запись (иногда говорят – косоградиентную) почти гамильтонового вида
\[
\frac{d x_{i}}{d \tau}=J_{\lambda i j} \frac{\partial H}{\partial x_{j}}, \quad \mathbf{J}_{\lambda}=-\mathbf{J}_{\lambda}^{\mathrm{T}},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{J}_{\lambda}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & \lambda & -I_{3} \rho\left(1-\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime}\right) K_{2}-\lambda u \\
0 & -\lambda & 0 & -m \rho f_{1}\left(f_{1}-f_{2}^{\prime}\right) K_{1}-\lambda v \\
-1 & I_{3} \rho\left(1-\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime}\right) K_{2}+\lambda u & m \rho f_{1}\left(f_{1}-f_{2}^{\prime}\right) K_{1}+\lambda v & 0
\end{array}\right) \\
u=\frac{1}{f_{1}^{2} I_{1}^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right) K_{3}}\left(\frac{(\boldsymbol{r}, \mathbf{I} \boldsymbol{r})}{m} K_{2}-\frac{f_{1} f_{2}}{\rho} K_{1}\right), \\
v=\frac{1}{I_{1}^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right) K_{3}}\left(\frac{f_{2}}{f_{1} \rho} K_{2}-\left(I_{1}+m f_{2}^{2}\right) K_{1}\right),
\end{array}
\]

причем $\lambda$ является произвольной функцией от $\left(K_{1}, K_{2}, K_{3}, \gamma_{3}\right)$. При $\lambda=$ $=0$ получаем вырожденный тензор $\mathbf{J}_{0}$, соответствующий скобке (2.8), тем не менее при $\lambda
eq 0$ тензор (2.10) невырожден, но не удовлетворяет тождеству Якоби, т. е. не определяет скобку Пуассона.
В случае, когда $\lambda$ выбирается в форме
\[
\lambda=\alpha\left(\gamma_{3}\right) K_{3},
\]

тензор $\widetilde{\mathbf{J}}=\left(\lambda^{-1} \mathbf{J}_{\lambda}\right)$ удовлетворяет тождеству Якоби, а соответствующее векторное поле
\[
\boldsymbol{v}=\left(\lambda^{-1} \mathbf{J}_{\lambda}\right)
abla H
\]

является гамильтоновым, в то же время дивергенция поля (2.12) отлична от нуля. Таким образом, рассматриваемая неголономная система порождает пример гамильтонового векторного поля с нетривиальной мерой $\rho=\alpha\left(\gamma_{3}\right) K_{3}$. Отметим также, что функция $\rho=\alpha\left(\gamma_{3}\right) K_{3}$ является, по терминологии Чаплыгина, приводящим множителем, в данном случае отличается от инвариантной меры (2.3). Близкий пример пуассоновой структуры для качения шара по телу вращения был указан Эрмансом $[32]$.

Скобка (2.8) обладает двумя функциями Казимира [5], которые являются интегралами движения и, следовательно, система (2.6) интегрируема. Интегрируемость и существование линейных интегралов можно установить иным – классическим способом: разделим второе и третье уравнения системы (2.6) на $\dot{\gamma}_{3}$ и получим систему двух линейных неавтономных уравнения первого порядка
\[
\frac{d K_{1}}{d \gamma_{3}}=-\rho I_{3}\left(1-\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime}\right) K_{2}, \quad \frac{d K_{2}}{d \gamma_{3}}=-m \rho f_{1}\left(f_{1}-f_{2}^{\prime}\right) K_{1} .
\]

Уравнения (2.13) в несколько иных переменных, связанных с полуподвижными осями, были получены С. А. Чаплыгиным. Уравнения (2.13) не содержат потенциала, который входит лишь в выражение интеграла энергии (2.7). Из этого уравнения после решения линейной системы (2.13) определяется зависимость угла нутации от времени, которая в общем случае имеет периодический колебательный характер.

Вследствие того, что относительно $\gamma_{3}$ уравнения (2.13) представляют собой линейную систему, общее решение может быть получено в виде линейной суперпозиции
\[
K_{i}=c_{1} g_{i}^{(1)}+c_{2} g_{i}^{(2)}, \quad i=1,2,
\]

где $g_{i}^{(1)}\left(\gamma_{3}\right), g_{i}^{(2)}\left(\gamma_{3}\right)$ – фундаментальные решения (2.13). При обращении выражений (2.14) относительно $c_{i}$ получим выражения для недостающих первых интегралов, которые в общем случае выражаются через вещественно-аналитические, но не алгебраические (например, гипергеометрические), функции. Тем не менее они всегда являются линейными по $M_{i}$ (т. е. по обобщенным скоростям).

Эти интегралы в некотором смысле обобщают интеграл площадей (соответствующему циклическому углу прецессии) и циклический интеграл Лагранжа (соответствующий циклическому углу собственного вращения) [5], имеющиеся в классической задаче о движении тяжелого симметричного волчка вокруг неподвижной точки (случай Лагранжа). Наличие таких интегралов обуславливает большое сходство при качественном исследовании этих задач.

Рассмотрим все известные ситуации, когда интегралы являются алгебраическими или выражаются через некоторые известные классы специальных функций.

2. Круглый диск (С.А.Чаплыгин, П. Аппель, Д. Кортевег), вообще говоря, со смещенным вдоль оси динамической симметрии центром масс (рис. 2). В этом случае для функций (2.1) имеем явные выражения
\[
f_{1}=\frac{R}{\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}}, \quad f_{2}=a,
\]

гдє $R$ – радиус монеты, $a$ – смещение центра масс по оси динамической симметрии (рис. 2).

Любопытным фактом для этого случая является независимость меры (2.3) от фазовых переменных $\rho=$ $=$ const. Для переменных (2.5) получаются уравнения
Рис. 2
\[
\begin{array}{c}
\frac{d K_{1}}{d \theta}=\frac{\rho m R^{2}}{\sin \theta} K_{2}, \\
\frac{d K_{2}}{d \theta}=I_{3} \rho\left(R \sin \theta+\frac{a}{R} \cos \theta\right) K_{1},
\end{array}
\]

где $\rho=\left(I_{1} I_{3}+I_{1} m R^{2}+I_{3} m a^{2}\right)^{-1 / 2}$. Эти два линейных уравнения сводятся к одному линейному уравнению второго порядка для $\omega_{3}$
\[
\frac{d^{2} \omega_{3}}{d \theta^{2}}-\operatorname{ctg} \theta \frac{d \omega_{3}}{d \theta}+\rho^{2} m R(R+a \operatorname{ctg} \theta) I_{3} \omega_{3}=0 .
\]

При $a=0$ с помощью замены $\cos \theta=1-2 x$ уравнение ((2.3)) преобразуется к гипергеометрическому типу [1]
\[
x(1-x) \frac{d^{2} \omega_{3}}{d x^{2}}+(1-2 x) \frac{d \omega_{3}}{d x}-\rho^{2} I_{3} m R^{2} \omega_{3}=0 .
\]

В работах $[17,24]$ показано, что диск при почти всех начальных условиях не упадет на плоскость, в [2] аналогичный результат получен для неинтегрируемой задачи о качении тяжелого диска по наклонной плоскости.

Относительно устойчивости стационарных движений, а также качественного анализа движения следует указать работы $[19,24]$, а также книгу [22].