Рассмотрим задачу о качении шара при условии, что его центр масс движется по произвольной цилиндрической поверхности. Оказывается, что эта система в случае отсутствия внешнего поля интегрируется в квадратурах, а в случае, когда внешняя сила направлена вдоль образующей цилиндра, уравнения приводятся к гамильтоновой системе с полутора степенями свободы.

В случае кругового цилиндра, как установил Раус [3], центр шара почти для всех движений (кроме движение вниз по прямой) совершает в поле тяжести периодические колебания вдоль оси цилиндра по гармоническому закону и поэтому в среднем не смещается вниз. Оказывается, что для произвольного цилиндра система также является интегрируемой, центр масс шара также в среднем не испытывает ухода вниз, но при этом уже совершает не периодические, а квазипериодические колебания с двумя независимыми частотами.

Выберем неподвижную систему координат, одна из осей которой $(O z)$ направлена вдоль образующей цилиндра (см. рис. 2), при этом для вектора нормали имеем
\[
\gamma=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, 0\right), \quad \gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}=1 .
\]

Обозначим проекции нормали и радиуса-вектора центра масс шара на нормальное сечение через $\widetilde{\boldsymbol{r}}=\left(r_{1}+\right.$ $\left.+R \gamma_{1}, r_{2}+R \gamma_{2}\right), \widetilde{\gamma}=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}\right)$, для них выполняются очевидные геометрические соотношения
\[
(\dot{\tilde{r}}, \widetilde{\gamma})=(\dot{\tilde{\gamma}}, \widetilde{\gamma})=0 .
\]

Отсюда заключаем, что $\dot{\widetilde{\gamma}}$ параллельна $\dot{\widetilde{r}}$
Рис. 2
\[
\dot{\tilde{\gamma}}=\lambda(\gamma) \dot{\tilde{r}}
\]

причем функция $\lambda(\gamma)$ задается геометрией сечения цилиндра и не зависит от угловой скорости.

Используя уравнения (1.3), получим уравнения движения шара по поверхности цилиндра в предположении, что вдоль образующей цилиндра действует сила с потенциалом $U(z)$, где $z=\frac{r_{3}}{R}$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{M}}=\frac{M_{3}}{\mu+D} \lambda(\gamma) \frac{D}{\mu+D}\left(\boldsymbol{M} \times \gamma, \boldsymbol{e}_{z}\right) \gamma+\frac{\partial U}{\partial z} \boldsymbol{e}_{z} \times \gamma, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\frac{M_{3}}{\mu+D} \lambda(\gamma) \boldsymbol{e}_{z} \times \gamma, \quad \dot{z}=\frac{1}{\mu+D}\left(\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{e}_{z}\right) . \\
\end{array}
\]

Уравнения (2.2) всегда допускают помимо интеграла энергии линейный интеграл, равный проекции момента на ось цилиндра:
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+U(z), \\
F_{2}=M_{3}=(\mu+D) \omega_{3}=\mathrm{const} .
\end{array}
\]

Кроме того, система (2.3) обладает инвариантной мерой с плотностью
\[
\rho(\gamma)=\lambda^{-1}(\gamma)
\]

Как следует из (2.2), уравнения для вектора $\gamma$ отделяются. Воспользуемся параметризацией
\[
\gamma_{1}=\cos \varphi, \quad \gamma_{2}=\sin \varphi,
\]

для угла $\varphi(t)$ получим уравнение
\[
\dot{\varphi}=\frac{M_{3}}{\mu+D} \lambda(\cos \varphi, \sin \varphi)=Q^{-1}(\varphi),
\]

где $Q(\varphi)$ в общем случае $2 \pi$-периодическая функция от $\varphi$, определяемая формой поперечного сечения цилиндра.

В оставшихся уравнениях системы (2.2) выполним замену переменных
\[
K_{1}=M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{1}, \quad K_{2}=M_{1} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{1},
\]

а вместо времени в качестве независимой переменной будем использовать угол $\varphi$. В результате получим неавтономную систему с $2 \pi$ периодическими коэффициентами
\[
\begin{array}{c}
\frac{d K_{1}}{d \varphi}=-\frac{\mu}{\mu+D} K_{2}, \quad \frac{d K_{2}}{d \varphi}=K_{1}-Q(\varphi) U^{\prime}(z), \\
\frac{d z}{d \varphi}=\frac{Q(\varphi)}{\mu+D} K_{2}
\end{array}
\]

с интегралом энергии
\[
\widetilde{H}=\frac{1}{2}\left(\frac{K_{1}^{2}}{\mu}+\frac{K_{2}^{2}}{\mu+D}\right)+U(z) .
\]

В случае поля тяжести $U(z)=m g z$ и уравнения (2.6) интегрируются в квадратурах:
\[
\begin{array}{l}
K_{1}(\varphi)=-
u m g \int_{\varphi_{0}}^{\varphi} \sin
u(\tau-\varphi) Q(\tau) d \tau+
u A \cos
u \varphi+
u B \sin
u \varphi, \\
K_{2}(\varphi)=-m g \int_{\varphi_{0}}^{\varphi} \cos
u(\tau-\varphi) Q(\tau) d \tau+A \sin
u \varphi-B \cos
u \varphi,
\end{array}
\]

где $A, B-$ константы интегрирования, $
u^{2}=\frac{\mu}{\mu+D}$.
Покажем, что интегралы в (2.8) являются ограниченными функциями. Разложим функцию $Q(\tau)$ в ряд Фурье
\[
Q(\tau)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} Q_{n} e^{i n \tau} .
\]

Интегралы входящие в выражения для $K_{1}(\varphi)$ и $K_{2}(\varphi)$ в (2.8) можно рассматривать как действительную и мнимую части интеграла
\[
\int e^{i
u \tau} Q(\tau) d \tau=\int \sum_{n} Q_{n} e^{i(n+
u) \tau} d \tau .
\]

Пользуясь известными теоремами Фурье-анализа и тем, что $n+
u
eq 0$ (так как $0<
u<1$ ) внесем интеграл под знак суммы и проинтегрируем ряд почленно:
\[
\int \sum_{n} Q_{n} e^{i(n+
u) \tau} d \tau=\sum_{n} \frac{Q_{n}}{i(n+
u)} e^{i(n+
u) \tau} .
\]

Полученный ряд сходится к некоторой квазипериодической функции, следовательно $K_{1}(\varphi)$ и $K_{2}(\varphi)$ являются ограниченными. Из доказанной ограниченности $K_{1}(\varphi)$ и $K_{2}(\varphi)$, а также из сохранения энергии приведенной системы (2.7) следует ограниченность $z(\varphi)$.

Таким образом, при качении шара по абсолютно шероховатой цилиндрической поверхности с произвольным поперечным сечением в поле тяжести не наблюдается вертикального векового ухода.