Делается попытка найти теоретическое обоснование некоторых динамических эффектов, которые обнаружены экспериментально в одной из задач динамики твердого тела на плоскости – задаче о движении «кельтского камня» [1]-[4]. Основное внимание уделяется колебаниям твердого тела вблизи положения равновесия или стационарного вращения. Предполагается, что движение происходит без скольжения, опорная горизонтальная плоскость неподвижна. Кратко рассматриваются малые колебания тела в окрестности его стационарного вращения вокруг вертикали, получена приближенная система уравнений, описывающая нелинейные колебания тела вблизи его равновесного положения на плоскости и дан ее полный анализ. Результаты исследования находятся в соответствии с наблюдаемыми в экспериментах [1], [3] изменениями направления вращения кельтского камня вокруг вертикали без активного внешнего воздействия и возникновением вращения в том или ином направлении за счет колебаний вокруг горизонтальной оси.

Динамика кельтского камня в.ервые были исследована в [2]. Показано существование зависимости устойчивости вращения тела вокруг вертикали от направления вращения, а также сделан вывод о возможности возникновения вращения тела вокруг вертикали из-за его колебаний вокруг горизонтальной оси. Строгое решение задачи об устойчивости стационарного вращения тела вокруг вертикали при отсутствии скольжения содержится в [5]-[7]. В [8] многие экспериментальные выводы о

движении кельтского камня подтверждены при помощи численного интегрирования уравнений движения. В [4] предложена абстрактная математическая модель кельтского камня без анализа ее соответствия движению реальных твердых тел на плоскости.

1. Пусть тяжелое твердое тело под действием начального толчка совершает такое движение, при котором оно опирается одной точкой выделенной в ней выпуклой поверхности на абсолютно шероховатую неподвижную горизонтальную плоскость. Пусть Охуz – неподвижная система координат с началом в точке $O$ опорной плоскости $z=0$. Ось $O z$ направлена вертикально вверх. С телом свяжем систему координат $G \xi \eta \zeta$, оси которой направлены вдоль главных центральных осей инерции тела. За обобщенные координаты примем три угла Эйлера и две координаты $x, y$ центра тяжести тела в системе Oxyz. Третья координата $z$ центра тяжести представляет собой взятое со знаком расстояние центра тяжести до опорной плоскости. Величина $z$ положительна или отрицательна в зависимости от того, лежит центр тяжести тела выше (как на рис. 1 в случае типичного кельтского камня) или ниже опорной плоскости. Тяжелое твердое тело на неподвижной горизонтальной плоскости представляет собой неголономную систему Чаплыгина [10]. Дифференциальные уравнения движения в форме Чаплыгина будут описывать движение твердого тела относительно центра тяжести и могут рассматриваться независимо от уравнений неинтегрируемых связей, выражаюший отсутствие скольжения.
Рис. 1
Можно показать [7], что угол прецессии $\psi$ не входит в уравнения движения и они имеют частное решение
\[
\theta=\pi / 2, \quad \varphi=0, \quad \dot{\psi}=\omega=\text { const }
\]

отвечающее вращению тела с произвольной постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $G \eta$, занимающей вертикальное положение. Пусть $x_{1}$, $x_{2}, x_{3}$ – возмущения величин $\theta, \varphi, \dot{\psi}$. Уравнения возмущенного движения будут такими:
\[
\begin{array}{c}
\left(A+m h^{2}\right) \ddot{x}_{1}=m l h \omega \dot{x}_{1}-\left[(A+C-B)+2 m h^{2}-\right. \\
\left.-m l_{1} h\right] \omega \dot{x}_{2}+\left[(C-B) \omega^{2}+m\left(h-l_{2}\right)\left(g+\omega^{2} h\right)\right] x_{1}- \\
-m l\left(g+\omega^{2} h\right) x_{2}+X_{1} \\
\left(C+m h^{2}\right) \ddot{x}_{2}=\left[(A+C-B)+2 m h^{2}-m l_{2} h\right] \omega \dot{x}_{1}- \\
-m l h \omega \dot{x}_{2}-m l\left(g+\omega^{2} h\right) x_{1}+\left[(A-B) \omega^{2}+\right. \\
\left.+m\left(h-l_{1}\right)\left(g+\omega^{2} h\right)\right] x_{2}+X_{2} \\
B \dot{x}_{3}=X_{3}
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
X_{1}=\left\{m l h \dot{x}_{1}-\left[(A+C-B)+2 m h^{2}-m l_{1} h\right] \dot{x}_{2}+\right. \\
\left.+2 \omega\left[(C-B)+m h\left(h-l_{2}\right)\right] x_{1}-2 m l h \omega x_{2}\right\} x_{3}+F_{1} \\
X_{2}=\left\{\left[(A+C-B)+2 m h^{2}-m l_{2} h\right] \dot{x}_{1}-m l h \dot{x}_{2}-\right. \\
\left.-2 m l h \omega x_{1}+2 \omega\left[(A-B)+m h\left(h-l_{1}\right)\right] x_{2}\right\} x_{3}+F_{2}, \\
X_{3}=\left\{m l h x_{1}-\left[(A-B)+m h\left(h-l_{1}\right)\right] x_{2}\right\} \ddot{x}_{1}+\{[C+ \\
\left.\left.+m h\left(h-l_{2}\right)\right] x_{1}-m l h x_{2}\right\} \ddot{x}_{2}+(B+C-A) \dot{x}_{1} \dot{x}_{2}+m(3 h- \\
\left.-r_{1}-r_{2}\right) l \omega\left(\left(\dot{x}_{1} x_{2}+\right.\right. \\
\left.+x_{1} \dot{x}_{2}\right)-\omega\left[2(C-B)+m\left(2 h^{2}-3 l_{2} h+r_{1}^{2} \cos ^{2} \alpha+\right.\right. \\
\left.\quad+r_{2}^{2} \sin ^{2} \alpha\right] x_{1} \dot{x}_{1}- \\
-\omega\left[2(A-B)+m\left(2 h^{2}-3 l_{1} h+r_{1}^{2} \sin ^{2} \alpha+r_{2}^{2} \cos ^{2} \alpha\right)\right] x_{2} \dot{x}_{2}, \\
l=\left(r_{2}-r_{1}\right) \sin \alpha \cos \alpha, \quad l_{1}=r_{1} \sin ^{2} \alpha+r_{2} \cos ^{2} \alpha, \\
l_{2}=r_{1} \cos ^{2} \alpha+r_{2} \sin ^{2} \alpha .
\end{array}
\]

Здесь $m$ – масса тела, $g$ – усксрение свободного падения, $A, B, C-$ моменты инерции тела относительно осей $G \xi, G \eta, G \zeta, h$ – взятое со знаком расстояние от центра тяжести тела до опорной плоскости в невозмущенном движении (1), $r_{1}$ и $r_{2}$ – главные радиусы кривизны поверхности тела в точке его касания с плосхостью, $\alpha$ – угол между осью между осью $G \xi$ и линией кривизны, соответствующей $r_{1}$, он отсчитывается от оси $G \xi$ против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси $G \eta$, занимающей вертикальное положение в движении (1). Через $F_{1}, F_{2}$ в (3) обозначены квадратичные формы относительно $x_{i}, \dot{x}_{i}(i=1,2)$; их явный вид не потребуется.

2. Характеристическое уравнение линеаризованной системы уравнений возмущенного движения (2) запишем в виде [7]
\[
\begin{array}{c}
\lambda\left(P \lambda^{4}+Q \omega \lambda^{3}+R \lambda^{2}+Q \omega^{3} \lambda+S\right)=0 \\
P=\left(A+m h^{2}\right)\left(C+m h^{2}\right), \quad Q=m l h(A-C), \\
R=\left[\left(A+C-B+2 m h^{2}\right)^{2}-\left(A+C-B+2 m h^{2}\right) m h\left(r_{1}+\right.\right. \\
\left.\left.+r_{2}\right)+m^{2} h^{2} r_{1} r_{2}\right] \omega^{2}-\left(A+m h^{2}\right)\left[(A-B) \omega^{2}+m(h-\right. \\
\left.\left.-l_{1}\right)\left(g+\omega^{2} h\right)\right]-\left(C+m h^{2}\right)\left[(C-B) \omega^{2}+m\left(h-l_{2}\right) \cdot\left(g+\omega^{2} h\right)\right], \\
S=(A-B)(C-B) \omega^{4}+m\left(g+\omega^{2} h\right) \omega^{2}\left[A\left(h-l_{2}\right)+\right. \\
\left.+C\left(h-l_{1}\right)-B\left(2 h-r_{1}-r_{2}\right)\right]+m^{2}\left(g+\omega^{2} h\right)^{2} \cdot\left(h-r_{1}\right)\left(h-r_{2}\right) .
\end{array}
\]

В [5]-[7] получены
\[
\begin{array}{c}
\left(R-P \omega^{2}\right) \omega^{2}-S>0, \quad S>0, \\
\omega h(A-C)\left(r_{2}-r_{1}\right) \sin \alpha \cos \alpha>0,
\end{array}
\]

при выполнении который движение (1) устойчиво, причем асимптотически по отношению к возмущениям величин $\theta, \dot{\theta}, \varphi, \dot{\varphi}$. Неравенства (5) накладывает ограничения на распределение масс, геометрию поверхности тела и величину угловой скорости, а неравенство (6) – и на знак угловой скорости (направление вращения) тела. Если $h>0$, т.е. в невозмущенном движении центр тяжести тела лежит выше опорной плоскости, то при устойчивом вращении меньшая горизонтальная ось центрального эллипсоида инерции идет впереди линии наименьшей кривизны поверхности тела в точке его касания с плоскостью; при $h<0$ картина обратная.

Показано также [5]-[7], что при строгом нарушении хотя бы одного из неравенств (5) или (6) имеет место неустойчивость. Отсюда, в частности, следует, что если $Q
eq 0$, то при достаточно малых $\omega$ стационарное вращение (1) неустойчиво независимо от знака $\omega$, так как при малых $\omega$ неравенства (5) несовместны.

Если хотя бы одна из величин $\omega, h, A-C, r_{2}-r_{1}, \sin 2 \alpha$ равна нулю, то $Q=0$ и неравенство (6) не выполняется. Характеристическое уравнение (4) по-прежнему имеет один нулевой корень, а остальные четыре корня удовлетворяют биквадратному уравнению. Пусть биквадратное уравнение имеет две пары чисто мнимых корней $\pm i \omega_{1}, \pm i \omega_{2}$ $\left(\omega_{1}>\omega_{2}>0\right)$. Тогда движение устойчиво в линейном приближении. Рассмотрим корни уравнения (4) при малых $Q \omega$. Вычисления показывают,

что в первом приближении относительно $Q \omega$ у корней $\pm i \omega_{j}(j=1,2)$ помимо поправок к их мнимым частям появляются еще и вещественные части $\chi_{j}(j=1,2)$.
\[
\begin{array}{l}
\chi_{1}=\frac{Q \omega\left(\omega^{2}-\omega_{1}^{2}\right)}{2\left(A+m h^{2}\right)\left(C+m h^{2}\right)\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right)}, \\
\chi_{2}=\frac{Q \omega\left(\omega_{2}^{2}-\omega^{2}\right)}{2\left(A+m h^{2}\right)\left(C+m h^{2}\right)\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Пусть $Q \omega>0$, т. е. неравенство (6) удовлетворяется. Из (7) тогда следует, что если $\omega_{2}^{2}<\omega^{2}<\omega_{1}^{2}$, то $\chi_{j}<0(j=1,2)$ и малые колебания тела, близкие его стационарному вращению (1), будут экспоненциально затухать; если $0<\omega^{2}<\omega_{2}^{2}$, то $\chi_{1}<0, \chi_{2}>0$ и экспоненциально затухают высокочастотные колебания (с частотой $\omega_{1}$ ), а низкочастотные (с частотой $\omega_{2}$ ) экспоненциально возрастают; если же $\omega^{2}>\omega_{1}^{2}$, то, наоборот, затухают низкочастотные колебания, а высокочастотные растут. При $Q \omega<0$ характер развития малых колебаний будет противоположным.

3. Пусть в (1) $\omega=0$, т.е. тело покоится на плоскости, опираясь на нее одной своей точкой, лежащей на оси $G \eta$, занимающей вертикальное положение. Необходимым и достаточным условием устойчивости этого положения равновесия будет, согласно [5], выполнение неравенств $r_{1}>h, r_{2}>h$. Считая это условие выполненным, рассмотрим движение тела вблизи положения равновесия.
Уравнения возмущенного движения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left(A+m h^{2}\right) \ddot{x}_{1}=m g\left(h-l_{2}\right) x_{1}-m g l x_{2}+X_{1}, \\
\left(c+m h^{2}\right) \ddot{x}_{2}=-m g l x_{1}+m g\left(h-l_{1}\right) x_{2}+X_{2}, \quad B \dot{x}_{3}=X_{3} .
\end{array}
\]

Здесь $X_{j}(j=1,2,3)$ – соответствующие функции из (3), вычисленные при $\omega=0$. Сделаем в системе (8) замену переменных $x_{1}, x_{2} x_{3} \rightarrow$ $y_{1}, y_{2}, y_{3}$, приводящую линеаризованные первые ее два уравнения к виду, соответствующему нормальным колебаниям.

Частоты $\Omega_{1}, \Omega_{2}\left(\Omega_{1}>\Omega_{2}>0\right)$ нормальных колебаний удовлетворяют уравнению
\[
\begin{array}{c}
\left(A+m h^{2}\right)\left(C+m h^{2}\right) \Omega^{4}-m g\left[\left(A+m h^{2}\right)\left(l_{1}-h\right)+\right. \\
\left.+\left(C+m h^{2}\right)\left(l_{2}-h\right)\right] \Omega^{2}+(m g)^{2}\left(r_{1}-h\right)\left(r_{2}-h\right)=0 .
\end{array}
\]

Приведение к нормальным косрдинатам $y_{1}, y_{2}$ осуществляется при помощи замены переменных
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=u_{11} y_{1}+u_{12} y_{2}, \quad x_{2}=u_{21} y_{1}+u_{22} y_{2}, \quad x_{3}=y_{3} \\
u_{1 j}=k_{j} m g l, \quad u_{2 j}=k_{j}\left[\left(A+m h^{2}\right) \Omega_{j}^{2}+m g\left(h-l_{2}\right)\right] \\
k_{j}=\left\{\left(A+m h^{2}\right)(m g l)^{2}+\left(C+m h^{2}\right)\left[\left(A+m h^{2}\right) \Omega_{j}^{2}+\right.\right. \\
\left.\left.+m g\left(h-l_{2}\right)\right]^{2}\right\}^{-1 / 2}, \quad(j=1,2) .
\end{array}
\]

В линейном приближении по $x_{1}, x_{2}$ уравнение следа, описываемого точкой касания $M$ на поверхности тела, будет таким
\[
\xi(t)=-l x_{1}(t)-l_{1} x_{2}(t), \quad \xi(t)=l_{2} x_{1}(t)+l x_{2}(t)
\]

Поэтому из (10) следует, что для $j$-го нормального колебания (с частотой $\Omega_{j}$ ) касательная к следу в точке $M$ составляет с осью $G \xi$ угол $\beta_{j}$, вычисляемый по формуле
\[
\operatorname{tg} \beta_{j}=-\left(l u_{1 j}+l_{1} u_{2 j}\right) /\left(l_{2} u_{1 j}+l u_{2 j}\right) \quad(j=1,2) .
\]

Отсюда видно, какими должны быть возмущения $x_{1}, x_{2}$, чтобы тело совершало высокочастотные (с частотой $\Omega_{1}$ ) или низкочастотные (с частотой $\Omega_{2}$ ) малые колебания.
В переменных $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ уравнения (8) примут вид
\[
\begin{array}{c}
\ddot{y}_{1}+\Omega_{1}^{2} y_{1}=\left(a_{1} \dot{y}_{1}+a_{2} \dot{y}_{2}\right) y_{3}+G_{1}, \\
\ddot{y}_{2}+\Omega_{2}^{2} y_{2}=\left(b_{1} \dot{y}_{1}+b_{2} \dot{y}_{2}\right) y_{3}+G_{2}, \\
B \dot{y}_{3}=Y_{3},
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
a_{j}=\left(c_{1} u_{22}+c_{2} u_{12}\right) u_{1 j}+\left(d_{1} u_{22}+d_{2} u_{12}\right) u_{2 j}, \\
b_{j}=-\left(c_{1} u_{21}+c_{2} u_{11}\right) u_{1 j}-\left(d_{1} u_{21}+d_{2} u_{11}\right) u_{2 j}, \\
(j=1,2),
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
c_{1}=-\frac{m l h}{\left(A+m h^{2}\right) \Delta}, \quad c_{2}=\frac{(A+C-B)+2 m h^{2}-m l_{2} h}{\left(C+m h^{2}\right) \Delta}, \\
d_{1}=\frac{(A+C-B)+2 m h^{2}-m l_{1} h}{\left(A+m h^{2}\right) \Delta}, \quad d_{2}=-\frac{m l h}{\left(C+m h^{2}\right) \Delta}, \\
\Delta=k_{1} k_{2} m g l\left(A+m h^{2}\right)\left(\Omega_{1}^{2}-\Omega_{2}^{2}\right),
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
Y_{3}=-\left(u_{11} \Omega_{1}^{2} y_{1}+u_{12} \Omega_{2}^{2} y_{2}\right)\left\{m l h\left(u_{11} y_{1}+u_{12} y_{2}\right)-\right. \\
\left.-\left[(A-B)+m h\left(h-l_{1}\right)\right]\left(u_{21} y_{1}+u_{22} y_{2}\right)\right\}-\left(u_{21} \Omega_{1}^{2} y_{1}+\right. \\
\left.+u_{22} \Omega_{2}^{2} y_{2}\right)\left\{\left[C+m h\left(h-l_{2}\right)\right]\left(u_{11} y_{1}+u_{12} y_{2}\right)-m l h\left(u_{21} y_{1}+\right.\right. \\
\left.\left.+u_{22} y_{2}\right)\right\}+(B+C-A)\left(u_{11} \dot{y}_{1}+u_{12} \dot{y}_{2}\right)\left(u_{21} \dot{y}_{1}+u_{22} \dot{y}_{2}\right) .
\end{array}
\]

Как и в (8), в системе (11) отброшены члены выше второго порядка относительно возмущений. Через $G_{1}, G_{2}$ в (11) обозначены квадратичные формы переменных $y_{j}, \dot{y}_{j}(j=1,2)$.

Для исследования нелинейной системы (11) приведем ее к нормальной форме [11]. Сначала сделаем замену переменных
\[
\begin{array}{c}
y_{1}=\frac{z_{1}-z_{3}}{2 i \Omega_{1}}, \quad y_{2}=\frac{z_{2}-z_{4}}{2 i \Omega_{2}}, \quad \dot{y}_{1}=\frac{z_{1}+z_{3}}{2}, \quad \dot{y}_{2}=\frac{z_{2}+z_{4}}{2}, \\
y_{3}=z_{5} .
\end{array}
\]

В переменных $z_{k}(k=1, \ldots, 5)$ линейная часть системы (11) имеет диагональную форму и получение нормальной формы сводится к выделению резонансных членов из нелинейностей в правых частях преобразованной системы (11). При $\Omega_{1}
eq 2 \Omega_{2}$ структура нормальной формы не зависит от квадратичных форм $G_{j}(j=1,2)$ в уравнениях (11), или, что то же, от квадратичных форм $F_{j}$ в (3). Считая, что $\Omega_{1}
eq 2 \Omega_{2}$, получаем следующую нормальную форму системы (11), записанную в комплексных переменных:
\[
\begin{array}{c}
\dot{z}_{1}=i \Omega_{1} z_{1}+c_{10001} z_{1} z_{5}, \quad \dot{z}_{2}=i \Omega_{2} z_{2}+c_{01001} z_{2} z_{5} \\
\dot{z}_{3}=-i \Omega_{1} z_{3}+c_{00101} z_{3} z_{5}, \quad \dot{z}_{4}=-i \Omega_{2} z_{4}+c_{00011} z_{4} z_{5} \\
\dot{z}_{5}=c_{10100} z_{1} z_{3}+c_{01010} z_{2} z_{4} \\
c_{10001}=c_{00101}=a_{1} / 2, \quad c_{01001}=c_{00011}=b_{2} / 2 \\
c_{01010}=m h\left(r_{2}-r_{1}\right) \Omega_{1}^{2}\left[\left(u_{21}^{2}-u_{11}^{2}\right) \sin \alpha \cos \alpha-u_{11} u_{21} \cos 2 \alpha\right] /(2 B)
\end{array}
\]

Введя вещественные полярные координаты согласно формулам
\[
\begin{array}{c}
z_{1}=\rho_{1}\left(\cos \sigma_{1}+i \sin \sigma_{1}\right), \quad z_{2}=\rho_{2}\left(\cos \sigma_{2}+i \sin \sigma_{2}\right), \\
z_{3}=\bar{z}_{1}, \quad z_{4}=\bar{z}_{2}, \quad z_{5}=\rho_{3}
\end{array}
\]

и проведя затем некоторые выкладки, использующие формулы (10), (12), и уравнение частот (9), получим нормализованную систему уравнений

возмущенного движения, которая распадается на две независимые подсистемы
\[
\begin{array}{c}
\dot{\rho}_{1}=-a \Omega_{1}^{2} \rho_{1} \rho_{3}, \quad \dot{\rho}_{2}=a \Omega_{2}^{2} \rho_{2} \rho_{3}, \quad B \dot{\rho}_{3}=a\left(\Omega_{1}^{4} \rho_{1}^{2}-\Omega_{2}^{4} \rho_{2}^{2}\right), \\
\dot{\sigma}_{1}=\Omega_{1}, \quad \dot{\sigma}_{2}=\Omega_{2}, \\
a=\frac{(A-C) m h\left(r_{2}-r_{1}\right) \sin \alpha \cos \alpha}{2\left(A+m h^{2}\right)\left(C+m h^{2}\right)\left(\Omega_{1}^{2}-\Omega_{2}^{2}\right)} .
\end{array}
\]

В (17) отброшены члены выше второго, а в (18) – выше первого порядка относительно $\rho_{k}(k=1,2,3)$.

4. В $\varepsilon$-окрестности положения равновесия правые части уравнений (17) и (18) отличаются от соответствующих им правых частей точных уравнений возмущенного движения на величины порядка $\varepsilon^{3}$ и $\varepsilon^{2}$ соответственно. Решения точных уравнений аппроксимируются решениями системы (17), (18) с погрешностью порядка $\varepsilon^{2}$ для $\rho_{k}$ и порядка $\varepsilon$ для $\sigma_{j}$ на интервале времени порядка $\varepsilon^{-1}$. Ограничиваясь этой точностью, будем вместо полных уравнений возмущенного движения рассматривать приближенную систему (17), (18).

Уравнения (18) сразу интегрируются. Получаем $\sigma_{j}(t)=\Omega_{j} t+$ $+\sigma_{j}(0)(j=1,2)$. Система (17) имеет интегралы
\[
\begin{array}{c}
\Omega_{1}^{2} \rho_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2} \rho_{2}^{2}+B \rho_{3}^{2}=B \mu^{2} \quad(\mu>0) ; \\
\rho_{1}^{\chi} \rho_{2}=
u \quad\left(\chi=\Omega_{2}^{2} / \Omega_{1}^{2}\right),
\end{array}
\]

где $\mu$ и $
u$ – постоянные, определяемые начальными условиями.
Траектории системы (17) представлены на рис. 2 в пространстве $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}$. Они расположены в области $\rho_{1} \geqslant 0, \rho_{2} \geqslant 0$ и представляют собой кривые, являющиеся пересечением поверхности эллипсоида (19) и цилиндрической поверхности (20). Принято обозначение $A_{j}=$ $=B^{1 / 2} \mu / \Omega_{j}(j=1,2)$. Для заданного значения постоянной $\mu$ величина $
u$ должна удовлетворять неравенствам
\[
0 \leqslant
u \leqslant
u_{*}=\chi^{-1}\left\{B \mu^{2} \chi /\left[(1+\chi) \Omega_{1}^{2}\right]\right\}^{(1+\chi) / 2} .
\]

При $
u>
u_{*}$ движение невозможно. Штриховкой показан плоскость $\rho_{1} \Omega_{1}^{2}=\rho_{2} \Omega_{2}^{2}$, на которой обращается в нуль правая часть третьего уравнения системы (17). Траектории симметричны относительно плоскости $\rho_{3}=0$. Направление движения по траекториям показано стрелками. Считается, что $a>0$; при $a<0$ направление движения изменится на обратное.

Остановимся на свойствах решений системы (17) и их связи с характером движения твердого тела по плоскости. Точками $P_{1}=(0,0, \mu), P_{2}=$ $=(0,0,-\mu), P_{3}=\left(\rho_{1}^{0}, \rho_{2}^{0}, 0\right)$ на рис. 2 отмечены положения равновесия системы (17). Точкам $P_{1}$ и $P_{2}$ отвечают стационарные вращения тела вокруг вертикали соответственно против чассвой стрелки с угловой скоростью $\mu$ и по часовой стрелке с угловой скоростью $-\mu$. Оба этих вращения неустойчивы, что следует из линеаризованных уравнений (17) и иллюстрируется рис. 2.

Положению равновесия $P_{3}$ отвечают условно-периодические или периодические, если $\Omega_{1} / \Omega_{2}$ – рациональное число (не равное двум, так как случай $\Omega_{1}=2 \Omega_{2}$ исключен из рассмотре-

Рис. 2 ния), колебания тела. При этом
\[
\rho_{1}^{0}-\frac{\mu}{\Omega_{1}}\left(\frac{B \chi}{1+\chi}\right)^{1 / 2}, \quad \rho_{2}^{0}-\frac{\mu}{\Omega_{1}}\left[\frac{B}{\chi(1+\chi)}\right]^{1 / 2}, \quad
u-
u_{*} .
\]

Для таких колебаний не наблюдаются эффекты, характерные для кельтских камней [1]-[3]: колебания относительно горизонтальных осей не вызывают вращения тела вокруг вертикали ( $\rho_{3} \equiv 0$ ). При исследовании устойчивости колебаний воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости [12]. Функцию $V$ построим в виде связки интегралов (19) и (20). Положив $\rho_{1}=\rho_{1}^{0}+R_{1}, \rho_{2}=\rho_{2}^{0}+R_{2}, \rho_{3}=R_{3}$, перепишем их в виде
\[
\begin{array}{c}
V_{1}=R_{1}+R_{2}+\frac{1}{2 \rho_{1}^{0}} R_{1}^{2}+\frac{1}{2 \rho_{2}^{0}} R_{2}^{2}+\frac{B}{2 \rho_{1}^{0} \Omega_{1}^{2}} R_{3}^{2}=\text { const }, \\
V_{2}=R_{1}+R_{2}+\frac{\Omega_{2}^{2}-1}{2 \rho_{1}^{0}} R_{1}^{2}+\frac{\Omega_{1}^{2}}{\rho_{2}^{0}} R_{1} R_{2}+\frac{\Omega_{1}^{2}-1}{2 \rho_{2}^{0}} R_{2}^{2}+\ldots=\text { const. }
\end{array}
\]

Многоточием в функции $V_{2}$ обозначены члены выше второго порядка относительно возмущений $R_{1}, R_{2}$. Положим $V=V_{1}-V_{2}+\Omega_{1}^{2} V_{2}^{2} /\left(2 \rho_{2}^{0}\right)$. Имеем разложение
\[
V=\frac{1}{\rho_{1}^{0}} R_{1}^{2}+\frac{1}{\rho_{2}^{0}} R_{2}^{2}+\frac{B}{2 \rho_{1}^{0} \Omega_{1}^{2}} R_{3}^{2}+\ldots
\]

Так как функция (21) определенно положительна, то рассматриваемые колебания устойчивы относительно возмущений $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}$. Этот вывод иллюстрируется рис. 2 , где точка $P_{3}$ окружена сколь угодно близко к ней расположенными замкнутыми траекториями, лежащими на эллипсоиде (19).

Система уравнений (17) имеет следующие два частных решения, в которых $\rho_{1}$ или $\rho_{2}$ тождественно равны нулю
\[
\begin{array}{c}
\rho_{1}=0, \quad \rho_{2}(t)=A_{2} \operatorname{sch}\left[\delta_{1}\left(t+e_{1}\right)\right], \quad \rho_{3}=\mu \operatorname{th}\left[\delta_{1}\left(t+e_{1}\right)\right] \\
\left(\delta_{1}=-a \mu \Omega_{2}^{2}, \quad e_{1}=\delta_{1}^{-1} \operatorname{Arth}\left[\rho_{3}(0) / \mu\right]\right) ; \\
\rho_{1}(t)=A_{1} \operatorname{sch}\left[\delta_{2}\left(t+e_{2}\right)\right], \quad \rho_{2}=0, \quad \rho_{3}=\mu \operatorname{th}\left[\delta_{2}\left(t+e_{2}\right)\right], \\
\left(\delta_{2}=a \mu \Omega_{1}^{2}, \quad e_{2}=\delta_{2}^{-1} \operatorname{Arth}\left[\rho_{3}(0) / \mu\right]\right) .
\end{array}
\]

Эти решения на рис. 2 представлены асимптотическими траекториями, соединяющими неустойчивые положения равновесия $P_{1}, P_{2}$.

Решение (22) отвечает таким движениям тела, когда оно, вращаясь вокруг вертикали, совершает низкочастотные колебания. Если $\rho_{3}(0) \leqslant 0$, т.е. в начальный момент тело либо совсем не закручено вокруг вертикали, либо закручено по часовой стрелке, то с течением времени «амплитуда» колебаний $\rho_{2}$ монотонно убывает (при $a>0$, как на рис. 2) от ее начального значения $\rho_{2}(0)$ до нуля, а угловая скорость возрастает по модулю. В пределе тело совершает чистое верчение вокруг вертикали по часовой стрелке с угловой скоростью $-\mu$. Если же $\rho_{3}(0)>0$, т. е. в начальный момент тело закручено против часовой стрелки, то предельное движение тела будет таким же, как и при $\rho_{3}(0) \leqslant 0$, но эволюция движения существенно иная. При $0<t<t_{*}=-e_{1}$ амплитуда колебаний $\rho_{2}$ монотонно возрастает, а тело вращается вокруг вертикали против часовой стрелки с уменьшающейся угловой скоростью. В момент $t=t_{\text {* }}$ угловая скорость обращается в нуль, а амплитуда колебаний $\rho_{2}$ достигает своего максимального значения $A_{2}$. При $t>t_{*}$ тело вращается уже по часовой стрелке с возрастающей по модулю угловой скоростью, а амплитуда колебаний монотонно убывает. Таким образом, при $\rho_{3}(0)>0$ за время эволюции движения одиғ раз происходит смена направления вращения тела вокруг вертикали.

Решение (23) описывает движения, в которых тело, вращаясь вокруг вертикали, совершает высокочастотные колебания. Анализ эволюции движения аналогичен предыдущему случаю. Предельным движением здесь будет чистое верчение вокэуг вертикали против часовой стрелки с угловой скоростью $\mu$. Если в начальный момент времени тело закручено вокруг вертикали по часовой стрелке, то при $t=-e_{2}$ происходит

смена направления вращения. В этот момент амплитуда колебаний $\rho_{1}$ достигает своего максимального значения $A_{1}$.

Рассмотрим теперь решения системы (17), отличные от решений (22), (23) и от положений равновесия $P_{1}(i=1,2,3)$. Из интегралов (19) и (20) имеем
\[
\begin{array}{c}
\rho_{2}=
u \rho_{1}^{-\chi}, \quad \rho_{3}= \pm f\left(\rho_{1}\right) \\
f\left(\rho_{1}\right)=\frac{\left[-\Omega_{2}^{2}
u^{2}+B \mu^{2} \rho_{1}^{2 \chi}-\Omega_{1}^{2} \rho_{1}^{2(\chi+1)}\right]^{1 / 2}}{B^{1 / 2} \rho_{1}^{\chi}} .
\end{array}
\]

Подставив $\rho_{3}$ из (24) в первое уравнение системы (17) и разделив переменные, получим
\[
\frac{d \rho_{1}}{\rho_{1} f\left(\rho_{1}\right)}= \pm a \Omega_{1}^{2} d t .
\]

Если из (25) найдена функция $\rho_{1}(t)$, то $\rho_{2}(t)$ и $\rho_{3}(t)$ вычисляются по формулам (24).

Найти явную аналитическую зависимость $\rho_{1}(t)$ в общем случае невозможно. Но качественный характер движения можно получить непосредственно из системы уравнений (17). Пусть, например, в начальный момент времени правая часть третьего из уравнений системы (17) и величина $\rho_{3}$ положительны. Картина движения будет такой (см. рис. 2). При $t>0$ тело все быстрее вращается вокруг вертикали против часовой стрелки ( $\rho_{3}$ растет); при этом амплитуда $\rho_{1}$ высокочастотных колебаний уменьшается, а амплитуда $\rho_{2}$ низкожастотных колебаний увеличивается. Это приведет в конце концов к тому, что правая часть третьего уравнения системы (17) обратится в нуль; на рис. 2 это соответствует моменту, когда траектория пересекает плоскость $\rho_{1} \Omega_{1}^{2}=\rho_{2} \Omega_{2}^{2}$. В этот момент угловая скорость $\rho_{3}$ вращения тела вокруг вертикали достигает максимального значения и начнет убывать, оставаясь положительной (тело продолжает вращение вокруг вертикали против часовой стрелки); при этом $\rho_{1}$ по-прежнему уменьшается, а $\rho_{2}$ растет. Это продолжается до тех пор, пока угловая скорость не обратится в нуль. В этот момент $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ достигают своих минимального и максимального значений соответственно и далее $\rho_{1}$ начинает возрастать, $\rho_{2}$ убывать, а тело вращается уже в обратном направлении по часовой стрелке $\left(\rho_{3}<0\right)$ со всевозрастающей по модулю угловой скоростью. Убывание $\rho_{2}$ и возрастание $\rho_{1}$ приведет к тому, что правая часть третьего уравнения системы (17) снова обратится в нуль (на рис. 2 траектория снова пересечет плоскость $\rho_{1} \Omega_{1}^{2}=\rho_{2} \Omega_{2}^{2}$, но уже в области отрицательных значений $\rho_{3}$ ). В этот момент достигается наибольшая по модулю угловая скорость вращения тела по часовой

стрелке и вслед за этим начнется замедление вращения тела; при этом $\rho_{1}$ продолжает возрастать, а $\rho_{2}$ убывать. Так продолжается до тех пор, пока $\rho_{3}$ не обратиться в нуль, когда $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ достигают своих максимального и минимального значений соответственно, а тело изменяет вращение с направления по часовой стрелке на вращение против часовой стрелки. В дальнейшем картина движения будет периодически повторяться. Описанному циклу движения на рис. 2 соответствует замкнутая траектория. Период колебаний может быть найден из уравнения (25).